北师大版数学一次函数考点归纳及例题详解

北师大版数学一次函数考点归纳及例题详解一次函数是初中数学函数部分的入门和基础，其概念、图像与性质以及应用贯穿于整个初中乃至高中的数学学习。对于北师大版教材的学习者而言，扎实掌握一次函数的相关知识，不仅是应对考试的关键，更是培养函数思想和解决实际问题能力的重要一环。本文将对北师大版数学中一次函数的核心考点进行系统归纳，并辅以典型例题详解，希望能为同学们的学习提供有力的帮助。一、一次函数的定义与表达式（一）核心考点解析1.一次函数的定义：一般地，如果两个变量x与y之间的关系可以表示成y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。其中，x是自变量，y是因变量。*要点：自变量x的次数是1；系数k不能为0；常数项b可以为任意实数。2.正比例函数：当一次函数y=kx+b中的b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），称y是x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式。（二）例题详解例1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y=3x-2(2)y=-5x(3)y=2x²+1(4)y=(2/3)x(5)y=6解析：(1)y=3x-2：符合y=kx+b的形式，k=3≠0，是一次函数。b=-2≠0，不是正比例函数。(2)y=-5x：可看作y=-5x+0，符合y=kx+b的形式，k=-5≠0，是一次函数。同时b=0，也是正比例函数。(3)y=2x²+1：自变量x的次数是2，不符合一次函数定义，不是一次函数。(4)y=(2/3)x：与(2)类似，是一次函数，也是正比例函数。(5)y=6：可变形为y=0x+6，但k=0，不符合一次函数k≠0的条件，不是一次函数（它是常函数）。强调：判断一次函数的关键在于“k≠0”和“自变量x的最高次数为1”。二、一次函数的图像（一）核心考点解析1.图像的形状：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，一次函数也被称为线性函数。2.图像的画法：由于两点确定一条直线，所以画一次函数图像时，通常采用“两点法”。*选取与坐标轴的交点比较简便：*与y轴的交点：令x=0，得y=b，即交点坐标为(0,b)。*与x轴的交点：令y=0，得x=-b/k（k≠0），即交点坐标为(-b/k,0)。*有时也可选取其他易于计算的点，如当b较大或-b/k不是整数时。（二）例题详解例2：在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x+3和y=-x+1的图像。解析：对于y=2x+3：*与y轴交点：令x=0，y=3，得点A(0,3)。*与x轴交点：令y=0，2x+3=0→x=-3/2，得点B(-3/2,0)。*过点A和点B画直线，即为y=2x+3的图像。对于y=-x+1：*与y轴交点：令x=0，y=1，得点C(0,1)。*与x轴交点：令x=1，y=0，得点D(1,0)。*过点C和点D画直线，即为y=-x+1的图像。（此处为文字描述，实际作图时需在坐标系中标出点并连线）强调：描点要准确，连线要平滑，直线两端要适当延伸。三、一次函数的性质（一）核心考点解析一次函数y=kx+b（k≠0）的性质主要由系数k和b决定。1.k的作用：*增减性：*当k>0时，y随x的增大而增大（图像从左到右上升）。*当k<0时，y随x的增大而减小（图像从左到右下降）。*倾斜程度：|k|的绝对值越大，直线y=kx+b与x轴正方向所成的夹角越大，即直线越“陡”。2.b的作用：b是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标，称为截距。*当b>0时，直线与y轴交于正半轴。*当b=0时，直线经过原点（此时为正比例函数）。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴。3.直线经过的象限：由k和b共同决定。*k>0,b>0：直线经过第一、二、三象限。*k>0,b=0：直线经过第一、三象限（正比例函数）。*k>0,b<0：直线经过第一、三、四象限。*k<0,b>0：直线经过第一、二、四象限。*k<0,b=0：直线经过第二、四象限（正比例函数）。*k<0,b<0：直线经过第二、三、四象限。（二）例题详解例3：已知一次函数y=(m-1)x+m²-1。(1)若函数图像经过原点，求m的值。(2)若函数图像y随x的增大而减小，求m的取值范围。(3)若函数图像与y轴交点在x轴上方，且经过第二象限，求m的取值范围。解析：(1)函数图像经过原点(0,0)，将x=0,y=0代入解析式得：0=(m-1)*0+m²-1→m²-1=0→m=±1。又因为一次函数要求k=m-1≠0，即m≠1。所以m=-1。(2)函数图像y随x的增大而减小，说明k<0。即m-1<0→m<1。(3)函数图像与y轴交点在x轴上方，即b=m²-1>0→m²>1→m>1或m<-1。又函数图像经过第二象限。*若m>1，则k=m-1>0，此时函数图像经过第一、三象限，结合b>0，图像经过第一、二、三象限，符合经过第二象限。*若m<-1，则k=m-1<0，此时函数图像经过第二、四象限，结合b>0，图像经过第一、二、四象限，也符合经过第二象限。但题目只说“经过第二象限”，上述两种情况都满足。但需注意这是一次函数，m≠1。综上，m的取值范围是m>1或m<-1。强调：综合运用k和b的意义来分析函数图像的特征是解题的关键。四、用待定系数法求一次函数的解析式（一）核心考点解析1.定义：先设出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0），其中k和b是待确定的系数，然后根据题目给出的条件（通常是图像上两个点的坐标，或其他能体现x与y对应关系的条件），列出关于k和b的方程组，解方程组求出k和b的值，从而确定函数解析式的方法，叫做待定系数法。2.步骤：*设：设所求一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。如果已知是正比例函数，则设为y=kx（k≠0）。*代：将已知条件（点的坐标）代入所设解析式，得到关于k、b的方程组。*解：解这个方程组，求出k、b的值。*写：将求出的k、b的值代入所设解析式，写出最终的函数解析式。（二）例题详解例4：已知一次函数的图像经过点A(1,3)和点B(-1,-1)，求这个一次函数的解析式。解析：设：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。代：因为函数图像经过点A(1,3)和点B(-1,-1)，所以将这两点坐标分别代入y=kx+b，得：3=k*1+b①-1=k*(-1)+b②解：联立①、②组成方程组：k+b=3-k+b=-1用①+②消去k：(k+b)+(-k+b)=3+(-1)→2b=2→b=1。将b=1代入①：k+1=3→k=2。写：所以，这个一次函数的解析式为y=2x+1。例5：已知一个正比例函数的图像经过点(2,-6)，求这个正比例函数的解析式。解析：设：设这个正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）。代：将点(2,-6)代入y=kx，得-6=k*2。解：解得k=-6/2=-3。写：所以，这个正比例函数的解析式为y=-3x。强调：待定系数法是求函数解析式最常用的方法，关键在于准确列出方程组并求解。五、一次函数与方程、不等式的关系（一）核心考点解析1.一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。2.一次函数与一元一次不等式的关系：对于一次函数y=kx+b（k≠0）：*不等式kx+b>0的解集，是函数图像在x轴上方部分对应的x的取值范围。*不等式kx+b<0的解集，是函数图像在x轴下方部分对应的x的取值范围。（二）例题详解例6：如图，是一次函数y=kx+b的图像。（*此处假设有图，图像经过点(1,0)和(0,2)*）(1)求这个一次函数的解析式。(2)根据图像，直接写出方程kx+b=0的解。(3)根据图像，直接写出不等式kx+b>0的解集。解析：(1)由图像可知，直线经过点(1,0)和(0,2)。设解析式为y=kx+b。将(0,2)代入得：2=0*k+b→b=2。将(1,0)和b=2代入得：0=k*1+2→k=-2。所以，一次函数解析式为y=-2x+2。(2)方程kx+b=0的解，即y=0时x的值。图像与x轴交点为(1,0)，所以方程kx+b=0的解为x=1。(3)不等式kx+b>0，即y>0时x的取值范围。观察图像，函数图像在x轴上方时，对应的x值小于1。所以不等式kx+b>0的解集为x<1。强调：数形结合是解决这类问题的高效方法，要学会从函数图像中读取信息。六、一次函数的实际应用（一）核心考点解析一次函数的实际应用是重点也是难点，常涉及行程问题、工程问题、利润问题、方案选择问题等。解决这类问题的一般步骤：1.审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。2.建模：根据题意，找出等量关系，设出合适的自变量和因变量，建立一次函数模型（即写出函数解析式）。3.求解：运用一次函数的性质（如增减性）或结合方程、不等式求解。4.检验：检验结果是否符合实际意义，并回答问题。（二）例题详解例7：某商店销售一种文具，每件成本为5元。经市场调查发现，售价为6元时，可卖出100件；售价每提高1元，销售量将减少10件。设售价为x元（x≥6，且x为整数），销售量为y件。(1)求y与x之间的函数关系式。(2)设销售该文具的利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？解析：(1)售价为6元时，销售量为100件。售价每提高1元，销售量减少10件。售价为x元时，比6元提高了(x-6)元，所以销售量减少10(x-6)件。因此，y=100-10(x-6)=100-10x+60=-10x+160。所以，y与x之间的函数关系式为y=-10x+160（x≥6，且x为整数）。(2)利润w=(售价-成本)×销售量=(x-5)y。将y=-10x+160代入得：w=(x-5)(-10x+160)=-10x²+160x+50x-800=-10x²+210x-800。这是一个二次函数，但题目只要求写出w与x的函数关系式，这里已完成。若问最大利润，对于二次函数w=-10x²+210x-800，a=-10<0，抛物线开口向下，对称轴为x=-b/(2a)=-210/(2*(-10))=10.5。因为x为整数，所以x=10或x=11时，w取得最大值。当x=10时，w=-10*(10)^2+210*10-800=-1000+2100-800=300。当x=11时，w=-10*(11)