2025年成都市中考数学复习学案：几何模型讲义

2025年成都市中考数学复习学案：几何模型讲义引言几何，作为中考数学的重要组成部分，不仅考察同学们对基本图形性质的掌握，更注重对图形关系的分析与转化能力。在成都中考的数学试卷中，几何题型灵活多变，分值占比可观。许多复杂的几何问题，往往可以通过分解、转化，归结为我们熟悉的基本几何模型。本讲义旨在梳理中考常考的几何模型，帮助同学们理解模型的构成要素、核心结论及应用场景，从而在解题时能够快速识别模型，找到解题突破口，提升解题效率与准确性。学习几何模型，并非简单记忆，而是要深刻理解其形成过程和本质特征，做到“见模思形，遇题想模”，最终达到灵活运用、举一反三的境界。希望同学们在复习过程中，结合例题与习题，勤加思考，善于总结，将这些模型内化为自己的解题工具。一、三角形中的基本模型三角形是平面几何的基石，许多复杂图形都可以看作是三角形的组合与变形。以下几个模型在中考中尤为常见。（一）“一线三垂直”模型模型解读“一线三垂直”模型通常指在一条直线上出现三个垂直关系，由此构造出两个全等或相似的直角三角形。其核心在于利用垂直产生的等角（或余角相等）关系，结合已知边的条件，证明三角形全等或相似，进而解决线段长度或角度关系的问题。图形示意（此处应有图形：一条直线上有三个点A、B、C，分别过A、B、C作该直线的垂线，垂足为A、B、C，在三条垂线上分别取点D、E、F，使得∠D、∠E、∠F的某组对应角相等或存在特定关系，形成两个直角三角形△ADE和△EFC等）核心结论1.若有两组对应边相等（如AD=BE，BD=CE），则两个直角三角形全等（△ABD≌△BCE）。2.若仅有垂直关系，通常可得到两个三角形相似，对应边成比例。3.该模型常用来证明线段相等、线段和差关系或求解线段长度。成都中考常以坐标系为背景，结合一次函数或二次函数图像，构造“一线三垂直”模型来求解点的坐标或函数解析式。同学们需注意坐标轴带来的天然垂直关系。（二）“手拉手”模型模型解读“手拉手”模型通常指两个具有公共顶点的等腰三角形（或等边三角形、等腰直角三角形），其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，与另一个三角形的对应顶点相连，形成新的图形关系。其核心特征是“共顶点、等顶角、双等腰”。图形示意（此处应有图形：两个共顶点O的等腰三角形OAB和OCD，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，连接AC、BD）核心结论1.对应“拉手线”相等（如AC=BD）。2.对应“拉手线”所在直线的夹角等于原等腰三角形的顶角（如AC与BD的夹角等于∠AOB）。3.对应“拉手线”的交点与公共顶点的连线可能平分该夹角。应用点拨在遇到共顶点的等腰三角形时，应首先考虑“手拉手”模型。证明线段相等或角相等是其直接应用。旋转是该模型的本质，因此在动态几何问题中出现旋转背景时，要高度警惕是否存在“手拉手”的构造可能。（三）“半角”模型模型解读“半角”模型指的是一个角的度数是另一个角的一半，且这两个角有公共顶点和一条公共边。最常见的是在正方形、等腰直角三角形或等边三角形中，出现一个45°角（相对于90°角而言）或30°角（相对于60°角而言）。解决此类问题的关键在于通过“截长补短”或旋转等方法，将分散的条件集中，构造全等三角形。图形示意（此处应有图形：正方形ABCD中，∠EAF=45°，E、F分别在BC、CD边上，连接EF）核心结论（以正方形内45°角为例）1.EF=BE+DF。2.△AEF的面积等于△ABE与△ADF的面积之和（通过旋转可转化）。3.相关的角平分线、垂线等性质。解题策略遇到“半角”问题，常用的辅助线作法是：将包含小角的一个三角形绕公共顶点旋转，使得被半角分开的两个角拼合在一起，从而构造出全等三角形，实现线段或角的转化。（四）“中点”相关模型模型解读与中点相关的几何模型是中考的高频考点，主要包括“倍长中线”、“构造中位线”等。中点往往意味着对称、平衡，是添加辅助线的重要提示。1.倍长中线模型*图形示意：（三角形ABC中，D为BC中点，延长AD至E使DE=AD，连接BE或CE）*核心结论：构造出全等三角形（△ADC≌△EDB），实现线段和角的转移；AE与BC互相平分（当连接CE时，四边形ABEC为平行四边形）。*应用场景：当题目中出现中线（或类中线），且需要证明线段不等关系或转移线段时，常考虑倍长中线。2.中位线模型*图形示意：（三角形ABC中，D、E分别为AB、AC中点，连接DE）*核心结论：DE∥BC，且DE=1/2BC。*应用场景：已知中点（或多个中点），需要得到线段平行或数量关系时；或已知线段平行及中点，证明另一中点时。中位线定理是三角形与四边形（尤其是梯形）中常用的桥梁。3.直角三角形斜边中线模型*图形示意：（直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AB中点，连接CD）*核心结论：CD=1/2AB=AD=BD。即直角三角形斜边中线等于斜边的一半。*引申：该模型常逆用，即若三角形一边上的中线等于该边的一半，则此三角形为直角三角形。二、四边形中的基本模型四边形，特别是特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形），其本身就是一种基本模型。除了掌握它们各自的性质与判定外，一些特定的组合与变化也形成了经典模型。（一）平行四边形中的“十字架”模型模型解读在矩形或正方形中，两条互相垂直的线段（通常是过对边中点或对角线交点的线段，或从顶点出发的线段）所构成的图形，类似“十字架”。该模型主要用于探究线段长度之间的关系。图形示意（此处应有图形：正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，点G、H分别在AD、BC上，且EF⊥GH，交点为O）核心结论（以正方形为例，特殊情况下）1.若EF、GH分别过对边中点或对角线交点，则EF=GH。2.一般情况下，可通过构造全等或相似三角形，结合勾股定理求解相关线段长度。解题关键对于矩形中的“十字架”，通常需要向两边作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理或相似比来解决。对于正方形，其对称性往往能简化问题。（二）梯形中的常用辅助线模型梯形作为一种特殊的四边形，其辅助线的添加有规律可循，常见的有“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“延长两腰交于一点”等，目的是将梯形转化为三角形或平行四边形来解决。1.平移一腰*图形示意：（梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE∥DC交BC于E）*核心作用：将梯形转化为一个平行四边形AECD和一个三角形ABE，从而将上底、下底和腰集中到一个三角形中。2.平移对角线*图形示意：（梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线，过D作DE∥AC交BC延长线于E）*核心作用：将两条对角线及上下底之和集中到一个三角形BDE中，若梯形为等腰梯形，则△BDE为等腰三角形。3.作高*图形示意：（梯形ABCD中，AD∥BC，分别过A、D作BC的垂线，垂足为E、F）*核心作用：将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，常用于直角梯形或需要利用高与腰的关系时。三、圆中的基本模型圆的几何性质丰富，与圆相关的模型主要围绕圆心角、圆周角、切线、弦切角等展开。（一）切线长模型模型解读从圆外一点引圆的两条切线，这一点与两个切点之间的线段长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。图形示意（此处应有图形：点P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B两点，连接OA、OB、OP）核心结论1.PA=PB。2.OP平分∠APB，OP垂直平分AB。3.OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质）。4.四边形OAPB对角互补。（二）直径所对圆周角模型模型解读直径所对的圆周角是直角。这是圆的一个非常重要的性质，常用来构造直角三角形，解决与直角相关的计算和证明问题。图形示意（此处应有图形：圆O中，AB为直径，C为圆上一点，连接AC、BC）核心结论∠ACB=90°。应用点拨看到直径，要立即联想到其所对的圆周角是直角；反之，若在圆中出现直角圆周角，要想到它所对的弦是直径。这是典型的“见直径想直角，见直角想直径”的思维模式。（三）圆内接四边形模型模型解读四边形的四个顶点都在同一个圆上，称为圆内接四边形。其主要性质是对角互补，外角等于内对角。图形示意（此处应有图形：四边形ABCD内接于圆O）核心结论1.∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。2.∠DCE=∠A（∠DCE为四边形ABCD的一个外角）。四、几何模型的综合应用与数学思想掌握了基本的几何模型后，更重要的是学会在复杂问题中识别、分解和构造模型。这需要同学们具备以下几种数学思想：（一）转化与化归思想将陌生的问题转化为熟悉的模型，将复杂的图形分解为基本的模型。例如，不规则图形的面积计算可以通过割补转化为规则图形的面积和差。（二）数形结合思想在坐标系中研究几何问题时，要充分利用代数方法解决几何问题，同时也要利用几何图形的直观性帮助分析代数关系。例如，利用函数图像上点的坐标满足函数解析式来求解几何图形中的动点问题。（三）分类讨论思想当几何图形的位置关系不唯一或点的运动导致图形形状发生改变时，需要进行分类讨论。例如，等腰三角形的腰和底不明确时，圆与圆的位置关系等。（四）方程思想在解决几何计算问题时，特别是涉及到线段长度、角度大小的计算，常常通过设未知数，根据几何图形的性质（如勾股定理、相似三角形对应边成比例等）列出方程，从而求解。总结与建议几何模型是解决中考几何问题的有效工具，但模型的掌握和运用并非一蹴而就。同学们在复习过程中：1.要注重理解：不仅要记住模型的结论，更要理解结论的推导过程和模型的适用条件。2.要勤于动手：多画图、多标注、多尝试添加辅助线，在实践中感悟模型的构造。3.要善于总结：将