中考专题复习 相似三角形

中考专题复习：相似三角形——形异质同的几何奥秘相似，是平面几何中一个极具魅力的概念。它不像全等那样要求形状和大小完全一致，却通过“形状相同，大小成比例”的特性，将看似不同的图形紧密联系起来。相似三角形作为相似图形的“主力军”，在中考几何中占据着举足轻重的地位，既是对三角形全等知识的延伸与深化，也是解决复杂几何问题、进行几何计算与证明的重要工具。本专题将引领同学们系统梳理相似三角形的核心知识，探究其判定方法与性质应用，助力大家在中考中从容应对。一、相似三角形的“基石”——定义与表示我们说两个三角形相似，是指它们的对应角相等，对应边成比例。这两个条件是判断三角形相似的根本依据，缺一不可。*定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。*表示法：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。例如，△ABC与△DEF相似，可记作△ABC∽△DEF。注意：在用符号表示相似时，对应顶点的字母通常要写在对应的位置上，这有助于我们准确找出对应角和对应边。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。若△ABC与△DEF的相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1/k。理解相似比是解决与相似三角形相关计算问题的关键。二、相似三角形的判定“利器”——方法梳理与应用辨析判断两个三角形是否相似，除了依据定义（较为繁琐，需同时验证角和边），我们还有更高效的判定方法。熟练掌握并灵活运用这些判定方法，是攻克相似三角形题目的核心。1.平行线法（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是我们接触到的第一个相似三角形的判定定理，它揭示了相似三角形与平行线之间的紧密联系，也为我们构造相似三角形提供了重要思路。如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。2.两角对应相等的两个三角形相似（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。这是中考中最常用、也是最便捷的判定方法。因为三角形内角和为180°，所以只要两个角对应相等，第三个角自然也相等。在寻找等角时，要特别注意图形中的对顶角、公共角、同角（等角）的余角（补角）相等以及平行线所形成的同位角、内错角等。3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。使用此判定方法时，务必注意“夹角”这一关键词。若相等的角不是两条成比例边的夹角，而是其中一条边的对角，则这两个三角形不一定相似。4.三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。此方法与全等三角形的“SSS”判定方法形式上类似，只需将“对应相等”替换为“对应成比例”。温馨提示：*判定两个直角三角形相似，除了上述一般三角形的判定方法外，还有其特殊性：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（可视为“HL”的相似版本）。*在具体解题时，要根据题目所给条件，灵活选择最合适的判定方法。观察图形特征，挖掘隐含条件（如公共角、对顶角、平行线）是快速找到判定依据的关键。三、相似三角形的“宝藏”性质——解题的“金钥匙”一旦两个三角形相似，它们就拥有了许多美妙的性质，这些性质是我们进行几何推理和计算的“金钥匙”。1.对应角相等，对应边成比例：这是由相似三角形的定义直接得到的基本性质，也是最核心的性质。*∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'(对应角相等)*AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k(k为相似比，对应边成比例)2.对应线段成比例：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线以及对应周长的比都等于相似比。设△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的高，则AD/A'D'=k。中线、角平分线同理。它们的周长比C△ABC/C△A'B'C'=k。3.面积比等于相似比的平方：相似三角形面积的比等于相似比的平方。即S△ABC/S△A'B'C'=k²。这条性质非常重要，在涉及面积计算或面积比的问题中经常用到，务必牢记“平方”这一关键特征，避免与其他线性比（如边长、周长、对应线段）混淆。应用技巧：*在利用性质解题时，首先要明确哪两个三角形相似，相似比是多少。*涉及到比值问题时，常设相似比为k，用含k的代数式表示相关的边，可使计算更便捷。*面积比与相似比的关系是平方关系，反之，若已知面积比，则相似比为面积比的算术平方根。四、相似三角形的“灵魂”——基本模型与辅助线构造许多复杂的相似三角形问题，都是由一些基本的相似模型组合或演变而来。熟悉并掌握这些基本模型，能帮助我们快速识别图形特征，找到解题思路。1.“A”型相似（或“正A”、“斜A”）：*正“A”型：如图，DE∥BC，交AB、AC于D、E，则△ADE∽△ABC。（由平行线法判定）*斜“A”型：如图，∠AED=∠B（或∠ADE=∠C），则△ADE∽△ACB。（由AA判定）2.“X”型相似（或“8”字型相似）：如图，AB、CD相交于点O，若∠A=∠D（或∠B=∠C），则△AOB∽△DOC。（由AA判定）3.“母子”型相似（或“双垂直”模型）：*如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则△ABC∽△ACD∽△CBD。这是一个非常重要的模型，能得到许多比例线段和等积式，如CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（射影定理）。4.“一线三垂直”模型：平面内，一条直线上有三个垂足相同（或角度相等）的直角顶点，常可构造出相似三角形。辅助线的构造：当题目中没有明显的相似三角形，或已知条件不足以直接判定相似时，我们常常需要通过添加辅助线来构造相似三角形。最常用的辅助线是作平行线，从而构造出“A”型或“X”型相似。此外，根据具体情况，还可能通过连接线段、作角平分线、作高等方式构造相似。五、相似三角形的应用——从理论到实践相似三角形的应用十分广泛，主要体现在：1.求线段的长度或比值：利用相似三角形对应边成比例的性质。2.求角的度数：利用相似三角形对应角相等的性质。3.证明比例式或等积式：这是相似三角形应用的重点。通常是通过证明比例式中的四条线段分别是两个相似三角形的对应边，或通过中间比进行转化。4.解决实际问题：如测量物体高度（旗杆、树高）、宽度（河宽）等，利用的是相似三角形的原理。中考对相似三角形的考查形式多样，选择、填空、解答题中均可能出现，难度跨度也较大。解题策略与建议：1.仔细审题，标注已知条件：将题目中的已知边、角关系在图形上清晰标注，有助于发现图形中的相似关系。2.“慧眼识图”，识别基本模型：努力从复杂图形中分解出我们熟悉的基本相似模型（如“A”型、“X”型、“母子型”等）。3.“执果索因”与“由因导果”相结合：对于证明题，既要从结论出发，思考需要什么条件才能得到结论（分析法），也要从已知条件出发，思考能推出什么结论（综合法）。4.注意对应关系：在写相似表达式和比例式时，务必注意顶点的对应顺序，避免因对应错误导致解题失误。5.规范书写过程：证明相似时，要清晰写出判定依据；利用性质时，要指明是哪两个三角形相似，以及相似比等。6.多思多练，总结反思：通过一定量的练习，积累解题经验，总结常见的解题方法和技巧，反思易错点。温馨提示：在解决与相似三角形相关的综合题时，常常需要结合全等三角形、等