核心素养导向下“简单的组合问题”差异化教学设计-以人教版三年级下册为例

核心素养导向下“简单的组合问题”差异化教学设计——以人教版三年级下册为例一、教学内容分析  本节课隶属“数学广角”领域，是学生在初步接触了简单的排列问题后，对“组合”这一基本计数模型的首次系统性学习。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其知识坐标定位于“数与代数”领域中的“探索规律”与“问题解决”板块。核心知识技能是理解“组合”与“排列”的本质区别——是否与顺序有关，并掌握用连线、列表等直观方法解决简单的组合问题，形成不重复、不遗漏的有序思考习惯。它在单元知识链中起到承上启下的关键作用：上承“排列”中“有序思考”的方法论，下启未来学习更复杂的组合问题（如搭配中的乘法原理）乃至概率初步思想，是培养学生模型意识与应用意识的重要载体。课标蕴含的“模型思想”与“推理意识”在本课体现为：引导学生在具体生活情境（如握手、比赛场次、选配物品）中抽象出“从n个元素中选取2个”的组合模型，并运用直观操作进行合情推理与归纳。其育人价值在于，通过解决真实问题，让学生感悟数学的简洁与有序之美，体会数学在规划、决策中的广泛应用，增强学习兴趣和解决问题的信心。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生在二年级已学过“搭配（一）”，具备用非正式方法（如画图）解决简单搭配问题的经验，对“有序思考”有初步感知，这为本课学习奠定了基础。然而，认知难点在于：极易混淆“组合”与“排列”，尤其在情境中难以自觉区分“选出来”与“排顺序”。常见的思维障碍是重复或遗漏计数。因此，教学调适策略是：创设对比鲜明的情境组，通过“动作操作”与“符号记录”相结合，强化对“顺序无关性”的体验与理解。课堂将通过“想一想、画一画、说一说”等多种形成性评价手段，动态捕捉学生的思维过程。对于理解较快的学生，将引导其探索从“连线法”到“算式法”（如3选2的组合数是3，与3×2÷2的联系）的抽象过程；对于需要支持的学生，则提供实物卡片、模板化的记录单等“脚手架”，帮助其建立清晰的表象。二、教学目标  知识目标：学生能准确理解“组合”的含义，明确其“与顺序无关”的核心特征；能在具体情境（如从3或4个对象中选取2个）中，运用连线、列表等直观方法，列举出所有可能的组合情况，做到不重复、不遗漏，并能够用规范的语言描述思考过程。  能力目标：学生通过对比“组数”与“组队”、“拍照”与“握手”等情境，提升对比辨析与抽象概括的能力；在尝试用不同方法（如符号化、算式）表达组合数的过程中，发展初步的模型意识与符号意识。  情感态度与价值观目标：学生在合作探究与交流中，能认真倾听同伴的见解，敢于发表自己的观点，体验有序思考带来的条理性和解决问题的成功感，感受组合知识在团队协作、活动规划等现实生活中的应用价值。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的分类讨论思想和有序思考的思维习惯。通过设计“固定一个，依次去连”的操作任务，引导学生掌握系统化枚举的思维方法，并能将具体问题的解决路径升华为一种可迁移的解题策略。  评价与元认知目标：学生能够依据“不重不漏、表达清晰”的标准，对他人的解题方案进行简单评价；能在课堂小结时，回顾并说出自己是如何从“有点乱”到“找对方法”的，反思“有序”对于解决问题的重要性。三、教学重点与难点  教学重点：掌握用连线、列表等方法解决简单的组合问题，体会有序思考的重要性。确立依据在于：课标在第二学段明确要求“体验从具体情境中抽象出数学模型的过程”，有序枚举是解决组合乃至更广泛计数问题的基本思想方法，是培养学生逻辑推理能力和模型意识的基石。从能力立意看，这也是学业评价中考查学生思维严谨性和解决问题策略性的常见考点。  教学难点：准确区分“组合”与“排列”，深刻理解“组合与顺序无关”。预设依据源于学情分析：三年级学生的思维正处于从具体形象向抽象逻辑过渡阶段，对“顺序”这一抽象概念的理解存在困难，极易受到之前排列知识负迁移的影响。常见错误是在组合情境中不自觉考虑顺序，导致结果翻倍。突破方向在于：强化对比性操作体验，通过“一变序就相同”的直观对比，固化“只选不排”的认知。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含对比情境动画、动态连线演示）；姓名卡片（小明、小华、小红、小丽）；实物图片（运动衣、裤子）。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础操作区、对比辨析区、挑战区）；课堂巩固练习卡。2.学生准备2.1学具：每人一套可粘贴的姓名贴纸或简易卡片；彩笔。2.2预习：简单回顾二年级“搭配”中学过的方法。3.环境布置3.1座位：四人小组合作式布局，便于讨论与操作。3.2板书：左侧预留核心概念与模型区，中部为方法探究区，右侧为对比辨析区。五、教学过程第一、导入环节1.情境激疑，唤醒旧知1.1教师活动：创设贴近学生生活的连贯情境。“同学们，马上要开运动会了，咱们班要选出2名同学代表去参加年级的跳绳比赛。现在有3位候选人：小明、小华和小红。如果不考虑顺序，只是选出2个人，有多少种不同的选法呢？”（板书：简单的组合问题）。“别急，我们先来热热身。还记得吗？如果给这三位同学排成一排拍照，有多少种站法？这和刚才的问题一样吗？”1.2学生活动：基于旧知快速回答排列问题（6种）。对新问题产生思考，可能尝试说出几种选法，但可能不系统。1.3设计意图：从真实活动规划切入，激发兴趣。通过对比“拍照（排列）”与“选代表（组合）”两个相似情境，制造认知冲突，自然引出本课核心问题——“如何系统地找出所有选法？这两个问题到底哪里不一样？”从而明确本节课的学习路线：探究一种“只选人不排队”的新问题。第二、新授环节任务一：动手操作，初探“选代表”问题教师活动：首先，请大家拿出小明、小华、小红的名字卡片，摆在桌上。我们的任务就是：找出所有“选出两人”的可能。先别急着画，咱们动手“选一选”。（巡视，观察学生是随机拿取还是有序拿取）。好，我看到有的同学已经找出三种了。谁能上来演示一下你是怎么选的？哦，你是先选出小明和小华，再……（引导学生描述）。大家发现了吗？像这样有时会漏掉。怎样才能一个不漏呢？我给大家一个小秘诀：“固定一人，轮流搭档”。比如，我们先固定小明，他可以和谁搭档？（小华、小红）。好，这两组找到了。接下来，我们固定谁？注意，小明已经和小华组过队了，小华还需要再和小明组一次吗？（不需要）。对，所以我们固定小华，他只需要和还没固定过的小红搭档。最后固定小红，他还有新搭档吗？（没有，都和前面重复了）。看，这样是不是清清楚楚、一个不漏？学生活动：动手操作姓名卡片，尝试找出所有两人组合。在教师引导下，体验“固定一人，依次搭配”的有序操作过程。边操作边在任务单上用自己喜欢的方式（如画圈、连线）记录下结果：小明小华，小明小红，小华小红。即时评价标准：1.操作过程是否有顺序（是随机抽取还是有序搭配）。2.记录结果是否清晰，能否对应每一种选法。3.能否用语言描述“固定法”的操作步骤。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：组合。像“选代表”这样，从几个人中选出几个人组成一组，不考虑这几个人在组内的先后顺序，这样的问题就叫组合问题。（提示：强调“不考虑顺序”是关键词，可以让学生用手势比划“选出来”和“排顺序”的区别）。▲基本方法：有序枚举（固定法）。从3个元素（如人）中选2个的组合，可以先把其中一个人“固定”住，让他和剩下的每个人依次“握手”或“组队”，然后再固定下一个，继续和后面的人组合，直到所有人都被固定过一次。这种方法能有效避免重复和遗漏。★记录方式：直观图示法（连线）。将三个元素用点表示，每两个点之间连一条线，代表一种组合。连了几条线，就有几种组合。这是我们今天要掌握的重要工具。任务二：符号抽象，掌握“连线法”教师活动：刚才我们摆了卡片，如果不用卡片，怎么把我们的思考过程清楚地展示给别人看呢？对，可以用画图！请大家看，我把三位同学的名字写成三个点。（板书画点并标名字）。现在，要表示“小明和小华”这一组，怎么办？（连线）。非常好！这条线就代表选了他们俩。接下来，请大家在自己的任务单上，用连线法把所有的选法都画出来。画完后数一数，一共连了几条线？（3条）。这3条线，和我们刚才找到的3种选法，是不是一一对应？所以，从3个人里选2个人，一共有3种选法。这种方法是不是比摆卡片更简洁？学生活动：在教师示范后，独立在任务单上用连线法表示从3个点中任选2个点的所有连接方式。确认连线数量与组合数的对应关系。尝试用语言表述：“每一条线就是一种选法”。即时评价标准：1.连线是否规范、清晰，有无交叉混乱。2.是否将所有可能的线都连接完整，不多不少。3.能否说出“线的条数=组合的种数”。形成知识、思维、方法清单：★核心技能：连线法解组合问题（从3个中选2个）。将对象抽象为点，用连接两点的线段表示一种组合。这是将具体问题数学化、直观化的重要一步。（教学提示：务必让学生明确“点代表人，线代表组合关系”，为后续推广到更多元素打下基础）。▲思维进阶：一一对应思想。每一种实际的组合（如“小明和小华”）都唯一对应图上的一条线段。通过数形结合，将计数问题转化为对图形特征的计数，这是数学中一种非常有力的思想。任务三：对比辨析，深化“顺序无关性”理解教师活动：现在，我们回到课前的两个问题。（课件并排呈现：“拍照站队”和“选代表”）。同学们，它们答案不一样，一个6种，一个3种，根本区别到底在哪里？我们来演一演：对于“小明和小华”这一组，在“选代表”问题中，它算几种情况？（1种）。在“拍照”问题中，“小明左、小华右”和“小华左、小明右”算几种？（2种）。看明白了吗？关键就在于——“拍照”要考虑谁左谁右，也就是顺序；而“选代表”不管谁先谁后，只要是他们俩，就是同一种情况。所以，组合问题里，交换位置不产生新情况。我们可以说：组合，是“只选不排”。学生活动：观看课件对比，通过角色扮演或手势比划，深刻体会“拍照”考虑左右顺序（两种站法），而“选代表”不考虑顺序（一种选法）。尝试用自己的话说出区别：“排队要考虑谁在前谁在后，选人组队只看有谁，不管顺序”。即时评价标准：1.能否准确指出两个问题的本质区别在于“是否考虑顺序”。2.能否举例说明在组合问题中“交换位置还是同一种”。3.语言表述是否清晰、准确。形成知识、思维、方法清单：★核心辨析点：组合vs排列（从3个中选2个）。排列（如拍照）：从n个不同元素中选出m个，还要按照一定的顺序排成一列，顺序不同就是不同的排列。组合（如选代表）：从n个不同元素中选出m个合成一组，只关心选出了谁，不关心组内顺序。（易错点提示：这是本节课的思维枢纽，必须通过充分对比让学生内化。可以追问：“握手是组合还是排列？为什么？”）▲判断依据：交换元素位置。思考：如果交换选中元素的先后顺序，会产生新的情况吗？会→是排列问题；不会→是组合问题。这是一个非常实用的判断“小窍门”。任务四：迁移应用，解决“4选2”组合问题教师活动：挑战升级！如果现在有4位候选人：小明、小华、小红、小丽（贴出第四张卡片），要选出2位代表，有多少种不同的选法呢？大家能运用刚才学的“连线法”或者“固定法”来试试看吗？先独立思考，再和小组同学交流一下，看看你们的方法是不是一样，结果是不是一样。（巡视，关注不同层次学生的策略：有的可能直接连线，有的可能用固定法列表，有的可能开始出现6种，有的可能得到7、8种。收集典型方法。）学生活动：独立尝试解决新问题。有的学生直接在纸上画4个点进行连线；有的学生心里默念“固定小明，分别与小华、小红、小丽组队（3种）；固定小华，与小红、小丽组队（2种）；固定小红，与小丽组队（1种）”，然后计算3+2+1=6种。在小组内交流各自的方法和结果，互相验证。即时评价标准：1.能否将“3选2”的方法成功迁移到“4选2”的情境。2.探究过程是否有序，能否解释自己的思路。3.小组交流是否有效，能否倾听并理解同伴的不同方法。形成知识、思维、方法清单：★技能迁移：解决“4选2”组合问题。方法一：连线法。画4个点，两两相连，共连出6条线，对应6种选法。方法二：有序枚举法（固定法）。按顺序固定，再依次搭配：固定A，有3种搭配；固定B，有2种新搭配；固定C，有1种新搭配。总共3+2+1=6种。（教学提示：鼓励学生用两种方法互相验证，培养检验意识）。★核心原理：加法原理的雏形。在固定法中，总组合数等于从3种、2种、1种这些互不重叠的情况相加而来。这渗透了分类计数（加法原理）的思想，为未来学习打下伏笔。任务五：情境判别，巩固模型认知教师活动：看来大家已经掌握了方法。现在老师要考考大家的“火眼金睛”。（课件逐条出示）判断下面哪些是组合问题，哪些是排列问题？为什么？①从5名同学中选2人参加唱歌比赛。②从5名同学中选2人担任正、副班长。③从4件上衣和3条裤子中选一套衣服穿。④用3、5、7三个数字能组成多少个不同的两位数？请大家先独立思考，用手势表示（组合比圈，排列比1、2序列），然后说说理由。学生活动：快速审题，运用“交换位置是否产生新情况”的标准进行判断。做出手势，并与教师、同伴互动，清晰阐述理由。重点辨析③（衣服搭配是组合，因为上衣和裤子搭配成一套，不存在顺序）和④（组数是排列，因为十位和个位数字交换位置会得到不同的两位数）。即时评价标准：1.判断是否快速、准确。2.理由陈述是否紧扣“是否考虑顺序”这一核心标准。3.能否纠正同伴可能出现的错误判断（如误认为③是排列）。形成知识、思维、方法清单：▲应用判断：识别生活中的组合模型。常见的组合问题情境包括：选拔队员、相互握手、比赛单循环场次、选择搭配（衣服、食物）等。共同点是：只关注“有哪些对象被选中/配在一起”，而不关注它们内部的排列次序。★易错点提醒：搭配问题（如衣服配裤子）通常属于组合，因为最终结果是一套搭配，上衣和裤子没有先后顺序之分。这与数字组成几位数（排列）有本质区别，需结合具体情境仔细辨析。第三、当堂巩固训练  本环节设计分层练习，提供差异化支持。  基础层（全员必做）：1.完成课本例题的变式练习。有甲、乙、丙、丁4支球队，每两支球队之间要进行一场比赛（单循环），一共要比赛多少场？请用连线法表示出来。（设计意图：直接应用“4选2”模型，巩固连线技能）。  综合层（大多数学生完成）：2.小芳有红、黄、蓝、绿四种颜色的彩笔，她想从中选出两种颜色来涂一幅画的边框和底色，有多少种不同的选色方案？（设计意图：在“4选2”组合基础上增加“涂不同部分”的干扰，需明确“选颜色”本身是组合，与涂哪里无关，强化模型本质）。  挑战层（学有余力选做）：3.探索发现：从5个点中每两个点连一条线，一共可以连多少条线？你能发现“从几个点中选2个”的组合数有什么规律吗？（提示：可以用“固定法”算一算：4+3+2+1=10）（设计意图：适度拓展，启发学生发现“从n个中选2个”的组合数是从1连续加到(n1)的规律，激发探究兴趣）。  反馈机制：学生独立完成后，通过投影展示不同层次学生的作品。基础题请学生讲解连线过程；综合题重点讨论“为什么还是组合问题”；挑战题请有思路的学生分享发现，教师适时点拨规律。同伴互评关注“方法是否有序”、“结果是否正确”、“表达是否清晰”。教师讲评聚焦共性疑惑，如连线是否规范，对情境的理解是否到位。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，这节课我们围绕‘简单的组合问题’进行了一次有趣的探索。谁能用几句话分享一下，你今天最大的收获是什么？”（引导学生从知识、方法、体验多角度说）。教师结合板书进行梳理：核心知识：什么是组合？（只选不排，与顺序无关）。核心方法：怎么解决？（有序思考——固定法；直观工具——连线法）。核心思想：为什么要这样？（为了不重复、不遗漏，体现数学的严谨和美）。  “再想一想，一开始你觉得有点混乱的问题，现在是不是清晰多了？‘有序’这个法宝是不是特别有用？”鼓励学生反思学习过程。  作业布置：  必做（基础+拓展）：1.完成课后配套练习中关于组合问题的题目。2.找一找生活中至少两个属于组合问题的例子，并说给家人听。  选做（探究）：3.研究“握手问题”：如果小组4个同学，每两人握一次手，一共要握几次？和今天学的“选代表”问题有什么联系？你能画图或列式表示吗？六、作业设计基础性作业：1.看图填空：教材习题中提供的用图片呈现的搭配问题（如不同动物两两组合），要求学生用连线法完成，并写出组合数。2.直接应用：从“春、夏、秋、冬”四个字中任选两个字组成词语（不考虑字序），可以组成哪些词？一共有多少种选法？（列举并计算）拓展性作业：3.情境应用题：学校食堂今日套餐提供3种荤菜（A、B、C）和2种素菜（D、E）。小明要打一个荤菜和一个素菜，有多少种不同的打菜方案？请用你喜欢的方法（如表格法）列出所有方案。4.错例分析：小刚认为，从5个人中选2人参加劳动，有5×4=20种选法。他错在哪里？请用我们今天学的知识帮他纠正。探究性/创造性作业：5.（小小研究员）请调查一下，你们班同学最喜欢哪两种球类运动（假设有篮球、足球、排球、乒乓球四种选择）。设计一个简单的调查方案，并思考：如果要从这四种运动中推荐两种给学校作为课外活动项目，不考虑推荐顺序，有多少种推荐方案？你的调查结果对推荐有参考价值吗？七、本节知识清单及拓展★1.组合问题的定义：从给定的n个不同元素中，任意选取m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。核心特征：只关心“选了哪些”，不关心“选的顺序”。例：选代表、握手、比赛单循环场次。▲2.“组合”与“排列”的根本区别：这是本课认知关键。排列需“先选后排”，顺序变换产生新结果；组合则是“只选不排”，顺序变换视为同一结果。可用“交换位置法”快速判断。★3.解决简单组合问题（主要指导从3个或4个元素中选2个）的基本方法：①连线法：将元素视为点，每两点连一线代表一种组合，数线条数。直观形象，是数形结合的体现。②有序枚举法（固定法）：先固定一个元素，依次与其他元素搭配；再固定下一个，与后方元素搭配，直至穷尽。思维严谨，能有效避免重复遗漏。★4.从3个元素（如甲、乙、丙）中选2个的组合数：固定甲：甲乙、甲丙（2种）；固定乙：乙丙（1种，乙甲已含在甲乙中）。总计3种。连线图呈三角形，共3条边。★5.从4个元素（如A、B、C、D）中选2个的组合数：固定A：AB、AC、AD（3种）；固定B：BC、BD（2种）；固定C：CD（1种）。总计3+2+1=6种。连线图是四边形加两条对角线，共6条线段。▲6.组合问题中的“不重复”原则：由于组合与顺序无关，因此“AB”与“BA”被视为同一种组合，在计数时只计算一次。这是学生最容易出错的地方，需时刻警惕。★7.常见组合问题情境辨析：属于组合的：选拔团队成员（不分正副）、相互握手、赠送礼物（互赠一份）、单循环赛制下的比赛总场数、从几种物品中挑选几种搭配（如衣服配裤子）。不属于组合（通常是排列）的：组数字、排座位、安排比赛中的冠亚军、分配有区别的职务。▲8.有序思考的价值：不仅是解决组合问题的工具，更是一种重要的数学思维习惯。它能使复杂问题条理化，确保思维的严密性和结果的完整性。适用于解决所有需要枚举的情况。★9.模型意识初步：将“选代表”、“握手”等不同实际问题，抽象为“从n个点中选2个点连线”的同一数学模型，体现了数学的抽象与概括力量。▲10.拓展思考：计算规律（供学有余力者了解）：从5个元素中选2个，组合数为4+3+2+1=10。可以发现，从n个不同元素中选取2个的组合数，等于从1开始连续加到(n1)的和。这为将来学习组合数公式C(n,2)=n(n1)/2提供了直观背景。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的核心知识目标（理解组合定义、掌握连线法）和能力目标（有序枚举）达成度较高。通过课堂观察和随堂练习反馈，超过80%的学生能独立正确地解决“3选2”和“4选2”的基本问题。情感目标方面，学生在操作与探究中表现出较高的参与热情，尤其是在小组讨论“4选2”方法时，能积极交流不同策略。然而，核心素养目标中的模型意识与辨析能力的达成呈现显著分层。部分学生能迅速从具体情境中抽象出模型并迁移，但仍有近三分之一的学生在情境判别练习（如作业第4题类似的变式）中表现犹豫，需教师或同伴提示“是否考虑顺序”才能准确判断。这提示我，对“顺序无关性”这一本质概念的冲击仍需加强，不能仅停留在“知道”，更要深化为“本能反应”。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的对比情境成功制造了认知冲突，有效地激发了学生的探究欲。“原来这两个问题不一样啊！”——学生的这句感慨是环节成功的注脚。新授环节的五个任务构成了一个螺旋上升的认知阶梯：任务一（操作感知）与任务二（符号抽象）衔接自然，实现了从具体到抽象的过渡；任务三（对比辨析）是攻破难点的关键战役，通过演一演、比一比，将抽象的区别变得可触摸；任务四（迁移应用）是能力的练兵场，我欣慰地看到许多学生能自发地使用“固定法”心算；任务五（情境判别）则是从“解题”到“识模”的升华。当堂巩固的分层设计照顾了差异，但时间稍显仓促，挑战题的规律探讨未能充分展开，略显遗憾。