第03讲 实数6个知识点与7类热点题型练习巩固 七年级数学下册人教版

第03讲实数6个知识点与7类热点题型练习巩固七年级数学下册人教版YOUR汇报人：XXX课程介绍01

要深入理解实数概念，需明确实数包含有理数与无理数，像有限小数、无限循环小数属有理数，无限不循环小数则是无理数。理解实数概念掌握实数基本性质，比如实数与数轴上的点一一对应，还需明白实数的绝对值、相反数等性质，为后续学习打下坚实基础。掌握基本性质学习实数运算方法，涵盖加减乘除等基本运算，要熟知其运算规则，如加法的交换律、结合律等，提升运算准确性。学习运算方法应用解题技巧时，要学会分析题目，合理运用实数的性质和运算规则，通过多做练习来熟练掌握不同题型的解题方法。应用解题技巧1234课程目标01020304学习内容概述6个知识点包含实数的定义、分类，数轴表示，绝对值、相反数与倒数的性质，以及实数的运算等内容，需全面掌握。6个知识点7类题型有比较大小、绝对值化简、相反数倒数相关题、实数运算题、数轴问题、实际应用题和综合题型，要熟悉各类题型特点。7类题型通过练习题巩固所学知识，练习题包括基础、进阶和综合巩固题，能帮助学生查漏补缺，强化对知识点和题型的掌握。练习题巩固教学安排需结合知识点和题型，合理规划教学进度，通过讲解、练习、互动等环节，让学生逐步掌握实数相关内容。教学安排提高计算能力，要通过大量的实数运算练习，熟练运用运算规则和技巧，减少计算错误，提升计算的速度和准确性。提高计算能力1增强逻辑思维，在解题过程中学会分析问题、推理判断，运用实数的性质和关系解决复杂问题，培养严谨的思维方式。增强逻辑思维2学生需学会运用实数知识解决实际生活中的问题，如购物算账、行程规划等，通过建立数学模型将实际问题转化为数学问题求解。解决实际问题3学生要系统梳理实数的知识点，包括定义、性质、运算等，通过做练习题和模拟题熟悉常见题型，掌握解题技巧，提升应试能力。准备考试4预期成果实数是有理数和无理数的统称，有理数包含有限小数和无限循环小数，无理数则是无限不循环小数，实数可在数轴上准确表示。实数定义重要概念预览数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点，数轴可直观体现实数的大小和位置关系。数轴表示绝对值指数轴上表示数的点到原点的距离，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，具有非负性。绝对值实数的运算涵盖加减乘除、乘方、开方等，加减法满足交换律和结合律，乘除法要注意除数不为零，运算时需遵循相应的法则和顺序。运算规则实数基本概念02

ABCD实数的定义实数是数学中的重要概念，它包含了所有能在数轴上表示的数，是有理数和无理数的集合，在数学和实际生活中应用广泛。什么是实数有理数是实数的重要组成部分，包括整数和分数，表现为有限小数或无限循环小数，具有可表示为两个整数之比的特点。包含有理数无理数也是实数的一部分，它是无限不循环小数，如开方开不尽的数、含特定意义的数（如圆周率π）等，无法用分数精确表示。包含无理数实数包含有理数和无理数，有理数又包含整数和分数，整数分为正整数、零和负整数，它们共同构成了完整的数系，相互关联且有明确的分类。数系关系

有理数是有限小数或无限循环小数，是实数的重要组成部分。像整数、分数都属于有理数，在生活和数学计算中应用广泛。有理数无理数是无限不循环小数，例如开方开不尽的数的方根、含π的数等。它与有理数共同构成了实数集合，在数学和科学领域有独特作用。无理数实数按与0的大小关系可分为正实数和负实数。正实数大于0，负实数小于0，它们在数轴上分布于原点两侧，反映了数量的不同方向。正负实数零既不是正数也不是负数，它是有理数，其平方根和立方根都是自身。在实数运算和比较中有特殊地位，是正数和负数的分界点。零的特殊性1234实数的分类01020304有理数与无理数有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数。二者定义不同，性质也有差异，共同构成了实数的概念体系。定义对比有理数如整数2、分数1/2；无理数如√2、π。通过这些例子能更直观地理解有理数和无理数的区别与特点。例子说明有理数的运算结果相对规则，无理数运算较复杂。有理数可表示为分数形式，无理数不能，它们在实数集合中表现出不同性质。性质差异常见误解是认为带根号的数都是无理数，实际上只有开方开不尽的数的方根才是无理数。无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是。常见误解判断一个数是有理数还是无理数，要依据定义。有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，需准确分析数的特征。判断类型1通过给出一系列数进行分类练习，能加深对有理数和无理数的理解。如对含整数、分数、根式、含π的数等分类，巩固知识。分类练习2引导学生探讨有理数与无理数在实际生活中的体现，分析不同类型实数在运算中的特点与差异，鼓励大家积极交流，加深对实数分类的理解。讨论问题3总结有理数和无理数的定义、特点与区别，强调实数分类的重要性，梳理判断实数类型的方法，帮助学生巩固所学内容，形成知识体系。小结4实例分析实数的表示与性质03详细介绍数轴的三要素，即原点、正方向和单位长度，阐述数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，它是直观表示数的工具。数轴概念数轴表示讲解每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，明确实数与数轴上的点是一一对应的关系。实数对应说明数轴上两点间的距离等于这两点所表示的实数之差的绝对值，通过具体例子展示如何在数轴上计算两点间的距离。距离表示列举利用数轴解决实际问题的例子，如确定位置、比较大小等，让学生体会数轴在数学和生活中的实际应用价值。应用例子

ABCD绝对值给出绝对值的严格定义，即数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，用符号“||”表示，并举例说明。定义介绍阐述绝对值的性质，如正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，强调绝对值的非负性。性质说明讲解绝对值的计算方法，根据绝对值的性质，分情况讨论如何去掉绝对值符号进行计算，通过例题加深学生的理解。计算规则列举绝对值在实际生活中的应用场景，如计算误差、距离等，让学生明白绝对值在解决实际问题中的作用。实际应用

在实数范围内，相反数指的是符号不同、绝对值相等的两个数。例如，a的相反数是-a，0的相反数是其本身0。掌握相反数概念能为后续运算奠定基础。相反数概念若两个实数的乘积为1，则称这两个数互为倒数。比如非零实数a的倒数是1/a。倒数概念在实数乘除运算中应用广泛，是学习的重要内容。倒数概念相反数性质为两数相加和为0，如a与-a相加得0；倒数性质是两数相乘为1，像a与1/a乘积是1。两个概念性质差异明显，需对比理解。性质对比计算相反数时要注意符号变化，求倒数时要确保原数不为0。在综合运算中，准确运用相反数和倒数性质，避免因概念混淆出错。运算注意1234相反数与倒数01020304综合性质实数具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间，都存在无穷多个实数。这一性质体现了实数在数轴上的分布特点，是理解实数连续性的重要基础。稠密性实数的完备性指的是实数与数轴上的点一一对应。任何一个实数都能在数轴上找到唯一的对应点，反之，数轴上的每一个点也对应着唯一的实数。完备性实数比较大小可依据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小等规则。还可用作差法、作商法等方法判断大小关系。比较大小通过做练习题目加深对实数性质的理解，如判断一些实数的大小关系、求其相反数和倒数等，检验学习效果，及时查漏补缺。练习题目实数的运算基础04实数加法规则与有理数类似，同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大符号，并用大绝对值减小绝对值。加法规则1实数减法可转化为加法，减去一个数等于加上这个数的相反数。在运算时，要注意符号变化，按照规则准确计算。减法规则2实数的混合运算需遵循一定顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号内的。要合理运用运算律简化计算，注意符号变化。混合运算3通过具体例题展示实数加减混合运算的过程，包括去括号、交换项的位置等步骤，详细讲解每一步的依据和目的，加深对混合运算的理解。例题解析4加减运算实数乘法中，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘都得零。多个非零实数相乘，负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。乘法规则乘除运算实数除法是乘法的逆运算，除以一个非零实数等于乘以它的倒数。零不能作除数。在进行除法运算时，先确定商的符号，再计算绝对值的商。除法规则倒数在实数除法和一些化简运算中有重要应用。求一个非零实数的倒数，只需将其分子分母互换位置。利用倒数可将除法转化为乘法，简化计算过程。倒数应用在实数乘除运算中，要注意避免因符号判断错误、倒数求错、运算顺序混乱等导致的错误。仔细审题，认真计算每一步，养成检查的习惯。错误避免

ABCD运算律应用实数的加法和乘法都满足交换律。加法交换律为a+b=b+a，乘法交换律为a×b=b×a。交换律可改变运算顺序，便于简便计算。交换律加法结合律是(a+b)+c=a+(b+c)，乘法结合律是(a×b)×c=a×(b×c)。结合律能将数合理组合，使计算更快捷。结合律乘法分配律为a×(b+c)=a×b+a×c。它可用于将一个数与两个数的和相乘转化为分别相乘再相加，在简化运算中应用广泛。分配律给出包含多种运算律的综合练习题，让学生运用所学的交换律、结合律和分配律进行计算，巩固对运算律的理解和应用能力。综合练习

生活中实数的应用十分广泛，如购物算账涉及加减乘除运算，行程问题需用速度、时间和路程的关系，温度变化也可用实数表示，帮助我们理解生活现象。生活问题通过建立数学模型，可将生活问题转化为数学问题。如用方程模型解决购物优惠问题，用函数模型分析运动中的速度变化，为解决实际问题提供有效途径。数学建模解题时要先理解题意，找出关键信息，再选择合适的运算规则和方法。如遇到绝对值问题，要根据绝对值性质化简；运算时合理运用运算律简化过程。解题策略实数运算在生活和数学中都很重要，掌握加减乘除运算规则、运算律，学会数学建模和解题策略，能更好地运用实数知识解决各类问题。小结1234实际应用实数的应用0501020304几何应用在几何里，实数可用于计算线段长度。如已知两点坐标，可通过距离公式用实数运算得出线段长度；还能根据图形边长关系，用实数加减法求未知边长。长度计算计算图形面积和体积也离不开实数。像长方形面积用长和宽这两个实数相乘得到，正方体体积由棱长的立方得出，实数运算让面积体积计算更准确。面积体积平面直角坐标系中，点的坐标是实数对。通过坐标可确定点的位置，还能利用实数运算计算两点间距离、线段中点坐标等，为研究几何图形提供便利。坐标表示例如，正方形边长为实数5，其面积为5×5=25；在坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，利用距离公式可算出AB长度；这些例子展示了实数在几何中的应用。例子说明实数在方程求解中是关键。一元一次方程通过移项、合并同类项等实数运算求解；一元二次方程用求根公式，其中涉及实数的开方等运算，帮助找到方程的解。方程求解1不等式求解也运用实数知识。根据不等式性质，对不等式两边进行实数运算，如加减同一个实数、乘除正数或负数，从而求出不等式的解集。不等式2函数基础部分将引导大家认识实数在函数中的关键作用，包括函数定义域、值域中实数的确定，以及函数图象与实数轴的对应关系，助你打好函数学习根基。函数基础3综合题会融合实数的各类知识点，如运算、性质等，结合方程、不等式与函数进行考查，旨在锻炼大家综合运用知识、解决复杂问题的能力。综合题4代数应用购物问题将运用实数运算解决实际消费场景中的难题，像计算商品总价、折扣后价格、找零等，让大家感受实数在生活购物中的重要应用。购物问题实际问题运动问题会借助实数来描述物体的运动状态，涉及路程、速度、时间的计算，帮助大家理解实数在运动情境中的实际意义与应用方式。运动问题比例应用部分会探讨实数在比例关系里的运用，包括按比例分配资源、计算比例尺等，提升大家运用实数解决比例相关问题的能力。比例应用讨论环节鼓励大家积极交流，分享对实数在不同应用场景中的见解与疑问，通过思维碰撞深化对实数知识的理解与应用。讨论

ABCD高级应用无理数应用将展示无理数在几何、物理等领域的重要价值，如计算圆的周长与面积，让大家认识到无理数并非抽象概念，而是有实际用途。无理数应用科学计算会介绍实数在科学研究中的应用，包括数据测量、分析与计算，培养大家运用实数进行科学计算与分析的能力。科学计算未来学习部分将为大家展望实数知识在后续数学课程中的拓展与延伸，激发大家的学习兴趣与探索欲望，为后续学习做好准备。未来学习练习环节安排了丰富多样的题目，涵盖实数的各个知识点与应用场景，帮助大家巩固所学知识，提升解题能力与思维水平。练习热点题型分析（一）06

实数比较大小的方法多样，可根据数的类型选择合适方法。如正数大于负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小。还可利用数轴，右边的数总比左边大。方法介绍比较\(\sqrt{5}\)与\(2\)的大小。可将\(2\)转化为\(\sqrt{4}\)，因为被开方数越大，其算术平方根越大，\(5>4\)，所以\(\sqrt{5}>\sqrt{4}\)，即\(\sqrt{5}>2\)。例题1比较\(-\frac{3}{4}\)与\(-\frac{2}{3}\)的大小。先求出它们的绝对值，\(\vert-\frac{3}{4}\vert=\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\)，\(\vert-\frac{2}{3}\vert=\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\)，因为\(\frac{9}{12}>\frac{8}{12}\)，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以\(-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}\)。例题2比较实数大小时，若有根式，可将其化为相同形式再比较；对于分数，可通分或化为小数比较；负数比较先看绝对值。还可灵活运用数轴直观判断大小关系。技巧总结1234比较大小01020304绝对值化简绝对值化简需依据绝对值的定义。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，\(0\)的绝对值是\(0\)。化简时先判断绝对值内数的正负，再去绝对值符号。化简规则化简\(\vert3-\pi\vert\)。因为\(\pi\approx3.14>3\)，所以\(3-\pi<0\)，根据绝对值性质，\(\vert3-\pi\vert=-(3-\pi)=\pi-3\)。例题解析绝对值化简常见错误有未判断绝对值内数的正负就直接去绝对值符号；对负数绝对值化简时，符号处理错误。如误将\(\vert-5\vert\)化简为\(-5\)。常见错误化简\(\vert2-\sqrt{5}\vert\)、\(\vert\sqrt{7}-3\vert\)、\(\vert-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\vert\)，通过练习巩固绝对值化简规则。练习相反数是只有符号不同的两个数，\(a\)的相反数是\(-a\)；倒数是乘积为\(1\)的两个数，\(a\)（\(a\neq0\)）的倒数是\(\frac{1}{a}\)。可利用这些概念解决相关计算问题。概念应用1求\(-\frac{2}{3}\)的相反数和倒数。\(-\frac{2}{3}\)的相反数是\(-(-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}\)；\(-\frac{2}{3}\)的倒数是\(1\div(-\frac{2}{3})=-\frac{3}{2}\)。例题讲解2给出一些改变了条件或形式的相反数与倒数相关题目，如已知某数相反数与倒数的关系求该数，让学生进一步巩固概念运用。变式题3强调求相反数与倒数时的细节，像0没有倒数，互为相反数的两数和为0等，避免学生在计算中出现错误。注意点4相反数倒数呈现包含比较大小、绝对值化简、相反数与倒数等多个知识点的题目，锻炼学生综合运用知识的能力。混合题型综合练习详细讲解混合题型的解题思路，从分析题目涉及的知识点，到逐步运用规则计算，最后得出结果，培养学生严谨的解题习惯。解题步骤组织学生分组讨论混合题型的解法，让他们分享自己的思路和遇到的问题，促进思想交流与合作学习。学生互动收集学生在互动中的疑问和解题情况，针对共性问题进行详细解答和再次讲解，确保学生掌握解题方法。反馈热点题型分析（二）07

ABCD实数运算题介绍实数运算中的简便方法，如凑整、巧用运算律等，帮助学生提高运算速度和准确性。运算技巧给出一道具体的实数运算题目，如包含加减乘除及乘方的混合运算，详细展示运用运算技巧解题的过程。例题1再呈现另一道不同类型的实数运算题，让学生自己先尝试，而后讲解正确解法和运用的技巧。例题2指出实数运算中常见的错误，如符号错误、运算顺序错误等，提醒学生在计算时多加注意。易错点

数轴作为实数直观表示的工具，能将抽象的实数直观化。通过数轴可判断实数大小，明确正负性，还能用于分析实数间的位置关系，辅助解决各类数学问题。数轴应用在数轴上计算实数间的距离，可借助绝对值来实现。明确两点所代表的实数，用大值减小值的绝对值表示距离，这在位置关系分析等方面应用广泛。距离计算数轴上点的移动遵循一定规律，向右移动数值增大，向左移动数值减小。掌握移动方向和距离，就能准确确定移动后点所对应的实数，解决相关动态问题。点移动通过一系列数轴相关练习，如判断点位置、计算距离、模拟点移动等，巩固所学数轴应用、距离计算和点移动知识，提升运用能力。练习1234数轴问题01020304实际应用题针对实数相关实际问题，需剖析问题本质，提取关键信息，明确已知和未知条件，判断涉及的实数概念和运算，为后续解题做准备。问题分析将实际问题转化为数学模型，依据问题特征构建合适的方程、不等式或函数关系，运用实数性质和运算规则解决问题，实现从实际到数学的转化。建模方法详细解析具有代表性的例题，展示问题分析、建模和求解的完整过程，让学生掌握解题思路和方法，学会灵活运用实数知识解决实际问题。例题解析组织学生对实际问题的解题思路、方法和结果进行讨论，分享不同见解，加深对实数应用的理解，培养合作和创新思维。讨论综合考查平方根、立方根、实数分类、绝对值、相反数等多个知识点，在复杂题目中检验学生对知识的整体掌握和综合运用能力。多知识点1面对多知识点综合题，需先梳理涉及的知识点，再依据题目条件选择合适方法，逐步推导求解，培养系统思维和解题技巧。解题策略2提供一套涵盖实数各知识点与热点题型的模拟试卷，精准模拟考试环境与难度。题型丰富多样，包括选择、填空、解答等。通过限时答题和严格评分，让学生提前适应考试节奏，找出知识短板，实现针对性提升。考试模拟3全面回顾实数的基本概念、表示方法、运算规则及性质，梳理各类热点题型的解题思路与技巧。强调重点内容，如实数分类、绝对值化简、运算律应用等。鼓励学生总结经验，培养自主学习与解决问题的能力。总结4综合题型练习题与巩固08已知\(a\)、\(b\)互为相反数，\(c\)、\(d\)互为倒数，\(m\)的绝对值为\(2\)，求\(m^2-cd+\frac{a+b}{m}\)的值。此题为实数综合运算题，考查相反数、倒数、绝对值的概念及运算规则。题目1基础练习题比较\(\sqrt{5}-1\)与\(\frac{1}{2}\)的大小，并说明理由。本题主要考查实数大小比较的方法，需运用估算和作差法等技巧来解题。题目2若\(\vertx-2\vert+\sqrt{y+3}=0\)，求\(x+y\)的值。该题重点考查绝对值与算术平方根的非负性，利用这一性质求出\(x\)、\(y\)的值，进而求解。题目3在数轴上表示\(-\sqrt{2}\)和\(\sqrt{3}\)，并求这两点之间的距离。本题结合数轴考查实数的表示及两点间距离的计算，需准确掌握数轴的概念和实数与数轴的对应关系。题目4

ABCD进阶练习题化简\(\vert\sq