高二数学求夹角的题目及答案

高二数学求夹角的题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的夹角θ的范围是

A.[0,π/2]

B.[π/2,π]

C.[0,π]

D.[π/2,3π/2]

2.若向量OP=(1,√3)，向量OQ=(2,0)，则∠POQ的大小为

A.π/6

B.π/3

C.π/2

D.2π/3

3.已知点A(1,2)，点B(3,0)，向量AB与x轴正方向的夹角为

A.arctan(2/3)

B.arctan(3/2)

C.π-arctan(2/3)

D.π-arctan(3/2)

4.向量a=(2,1)在向量b=(1,-1)上的投影长度为

A.√2/2

B.√5/2

C.1

D.√2

5.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，则向量m+n与向量m的夹角为

A.0

B.π/4

C.π/2

D.π

6.若向量a与向量b的夹角为120°，|a|=3，|b|=4，则a·b的值为

A.6

B.-6

C.12

D.-12

7.已知点P(1,2)，点Q(3,0)，则向量QP与向量QP的夹角为

A.0

B.π/2

C.π

D.无法确定

8.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，则向量a与向量b的夹角为

A.π/4

B.π/3

C.π/2

D.3π/4

9.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则向量a与向量b的夹角θ的范围是

A.[0,π/2]

B.[π/2,π]

C.[0,π]

D.[π/2,3π/2]

10.若向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，则∠POQ的大小为

A.π/4

B.π/3

C.π/2

D.3π/4

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则cosθ=__________

2.若向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，则向量OP与向量OQ的夹角θ=__________

3.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB与x轴正方向的夹角θ=__________

4.向量a=(2,1)在向量b=(1,-1)上的投影长度=__________

5.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，则向量m+n与向量m的夹角=__________

6.若向量a与向量b的夹角为120°，|a|=3，|b|=4，则a·b=__________

7.已知点P(1,2)，点Q(3,0)，则向量QP与向量QP的夹角=__________

8.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，则向量a与向量b的夹角θ=__________

9.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则向量a与向量b的夹角θ=__________

10.若向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，则向量OP与向量OQ的夹角θ=__________

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列哪些情况下，向量a与向量b的夹角为锐角？

A.a·b>0

B.a·b<0

C.a与b平行且方向相同

D.a与b垂直

2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则下列哪些说法正确？

A.|a|=5

B.|b|=√5

C.a·b=11

D.cosθ=11/25

3.若向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，则下列哪些说法正确？

A.|OP|=√5

B.|OQ|=√5

C.OP·OQ=4

D.cosθ=4/5

4.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则下列哪些说法正确？

A.向量AB=(2,-2)

B.向量BA=(-2,2)

C.AB与x轴正方向的夹角为arctan(2/3)

D.BA与x轴正方向的夹角为arctan(-2/3)

5.向量a=(2,1)在向量b=(1,-1)上的投影长度，下列哪些说法正确？

A.投影长度为√2/2

B.投影长度为√5/2

C.投影长度为1

D.投影长度为√2

6.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，则下列哪些说法正确？

A.m+n=(1,1)

B.m+n与m的夹角为0

C.m+n与n的夹角为π/2

D.m+n与n的夹角为π

7.若向量a与向量b的夹角为120°，|a|=3，|b|=4，则下列哪些说法正确？

A.a·b=-6

B.cos120°=-1/2

C.a·b=12

D.a·b=-12

8.已知点P(1,2)，点Q(3,0)，则下列哪些说法正确？

A.向量QP=(2,-2)

B.向量PQ=(-2,2)

C.QP与x轴正方向的夹角为arctan(-2/3)

D.PQ与x轴正方向的夹角为arctan(2/3)

9.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，则下列哪些说法正确？

A.|a|=√2

B.|b|=√2

C.a·b=0

D.cosθ=√2/2

10.已知向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，则下列哪些说法正确？

A.|OP|=√2

B.|OQ|=√2

C.OP·OQ=0

D.cosθ=√2/2

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.向量a与向量b垂直，则a·b=0

2.向量a与向量b的夹角为钝角，则a·b>0

3.若向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，则OP与OQ的夹角为锐角

4.向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则|a|=|b|

5.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，则a与b的夹角为π/2

6.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB与向量BA的方向相同

7.向量a在向量b上的投影长度可以为负数

8.若向量a与向量b的夹角为0，则|a+b|=|a|+|b|

9.已知向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，则OP与OQ的夹角为π/2

10.向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则a与b共线

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a与向量b的夹角θ的大小

2.已知点A(1,2)，点B(3,0)，求向量AB与x轴正方向的夹角θ的大小

3.向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，求向量a在向量b上的投影长度

4.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，求向量m+n与向量m的夹角

5.若向量a与向量b的夹角为120°，|a|=3，|b|=4，求a·b的值

6.已知点P(1,2)，点Q(3,0)，求向量QP与向量QP的夹角

7.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，求向量a与向量b的夹角θ的大小

8.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，求向量a与向量b的夹角θ的大小

9.若向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，求向量OP与向量OQ的夹角θ的大小

10.向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a在向量b上的投影长度

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，计算a·b=3×1+4×2=11，|a|=√(3²+4²)=5，|b|=√(1²+2²)=√5，cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5√5)=√5/5，θ的范围为[0,π]，故选C。

2.B

解析：向量OP=(1,√3)，向量OQ=(2,0)，计算OP·OQ=1×2+√3×0=2，|OP|=√(1²+(√3)²)=2，|OQ|=√(2²+0²)=2，cosθ=OP·OQ/(|OP||OQ|)=2/(2×2)=1/2，θ=π/3，故选B。

3.A

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB与x轴正方向的夹角θ满足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(-1)=π-arctan(1)=π-π/4=3π/4，但通常指锐角范围，故为arctan(2/3)，故选A。

4.A

解析：向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，向量a在向量b上的投影长度=|a·b|/|b|=|2×1+1×(-1)|/√(1²+(-1)²)=|1|/√2=√2/2，故选A。

5.C

解析：向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，向量m+n=(1,0)+(0,1)=(1,1)，向量m与向量m+n的夹角为0，故选C。

6.B

解析：向量a与向量b的夹角为120°，|a|=3，|b|=4，a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-1/2)=-6，故选B。

7.A

解析：向量QP=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量QP与向量QP的夹角为0，因为任何向量与自身的夹角为0，故选A。

8.D

解析：向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，计算a·b=1×(-1)+1×1=0，cosθ=0/√(1²+1²)√((-1)²+1²)=0/√2√2=0，θ=π/2，故选D。

9.A

解析：向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，计算a·b=2×4+3×6=24，|a|=√(2²+3²)=√13，|b|=√(4²+6²)=√52=2√13，cosθ=a·b/(|a||b|)=24/(√13×2√13)=24/26=12/13，θ的范围为[0,π/2]，故选A。

10.A

解析：向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，计算OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，|OP|=√(1²+1²)=√2，|OQ|=√((-1)²+1²)=√2，cosθ=OP·OQ/(|OP||OQ|)=0/(√2×√2)=0，θ=π/4，故选A。

二、填空题答案及解析

1.24/25

解析：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，cosθ=a·b/(|a||b|)=3×1+4×2/(√(3²+4²)√(1²+2²))=11/(5√5)=24/25。

2.π/4

解析：向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，OP·OQ=2×1+1×2=4，|OP|=√(2²+1²)=√5，|OQ|=√(1²+2²)=√5，cosθ=4/(√5×√5)=4/5，θ=arccos(4/5)=π/4。

3.arctan(2/3)

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB与x轴正方向的夹角θ满足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(2/3)。

4.√2/2

解析：向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，向量a在向量b上的投影长度=|a·b|/|b|=|2×1+1×(-1)|/√(1²+(-1)²)=|1|/√2=√2/2。

5.π/2

解析：向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，向量m+n=(1,1)，向量m与向量m+n的夹角为π/2。

6.-6

解析：向量a与向量b的夹角为120°，|a|=3，|b|=4，a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-1/2)=-6。

7.0

解析：向量QP=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量QP与向量QP的夹角为0。

8.π/2

解析：向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，计算a·b=1×(-1)+1×1=0，cosθ=0/√(1²+1²)√((-1)²+1²)=0/√2√2=0，θ=π/2。

9.0

解析：向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，计算a·b=2×4+3×6=24，|a|=√(2²+3²)=√13，|b|=√(4²+6²)=√52=2√13，cosθ=a·b/(|a||b|)=24/(√13×2√13)=24/26=12/13，θ=0。

10.π/4

解析：向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，计算OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，|OP|=√(1²+1²)=√2，|OQ|=√((-1)²+1²)=√2，cosθ=OP·OQ/(|OP||OQ|)=0/(√2×√2)=0，θ=π/4。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：向量a与向量b的夹角为锐角，则a·b>0，且a与b平行且方向相同时，夹角为0（锐角），垂直时夹角为90°（锐角），故选A,C。

2.A,C,D

解析：向量a=(3,4)，|a|=√(3²+4²)=5，故A正确；向量b=(1,2)，|b|=√(1²+2²)=√5，故B错误；a·b=3×1+4×2=11，故C正确；cosθ=11/(5√5)=11/25，故D正确，故选A,C,D。

3.A,B,C,D

解析：向量OP=(2,1)，|OP|=√(2²+1²)=√5，故A正确；向量OQ=(1,2)，|OQ|=√(1²+2²)=√5，故B正确；OP·OQ=2×1+1×2=4，故C正确；cosθ=4/(√5×√5)=4/5，故D正确，故选A,B,C,D。

4.A,B,C

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，故A正确；向量BA=(1-3,2-0)=(-2,2)，故B正确；向量AB与x轴正方向的夹角θ满足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(2/3)，故C正确；BA与x轴正方向的夹角为π-arctan(2/3)，故D错误，故选A,B,C。

5.A,C

解析：向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，向量a在向量b上的投影长度=|a·b|/|b|=|2×1+1×(-1)|/√(1²+(-1)²)=|1|/√2=√2/2，故A正确；投影长度不可能为√5/2,1,√2，故B,C,D错误，故选A,C。

6.A,B,C

解析：向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，向量m+n=(1,0)+(0,1)=(1,1)，故A正确；向量m与向量m+n的夹角为arctan(1/1)=π/4，故B正确；向量n与向量m+n的夹角为arctan(1/1)=π/4，故C正确；向量n与向量m+n的夹角不可能为π，故D错误，故选A,B,C。

7.A,B,D

解析：向量a与向量b的夹角为120°，cos120°=-1/2，故B正确；a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-1/2)=-6，故D正确；向量a在向量b上的投影长度=|a·b|/|b|=|-6|/4=3/2，不可能为负数，故A错误；a·b=-6，故C错误，故选B,D。

8.A,B,C

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，故A正确；向量PQ=(1-3,2-0)=(-2,2)，故B正确；向量AB与x轴正方向的夹角θ满足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(2/3)，故C正确；向量PQ与x轴正方向的夹角为π-arctan(2/3)，故D错误，故选A,B,C。

9.A,B,C

解析：向量a=(1,1)，|a|=√(1²+1²)=√2，故A正确；向量b=(-1,1)，|b|=√((-1)²+1²)=√2，故B正确；a·b=1×(-1)+1×1=0，故C正确；cosθ=0/√2√2=0，θ=π/2，故D错误，故选A,B,C。

10.A,B,C

解析：向量OP=(1,1)，|OP|=√(1²+1²)=√2，故A正确；向量OQ=(-1,1)，|OQ|=√((-1)²+1²)=√2，故B正确；OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，故C正确；cosθ=0/(√2×√2)=0，θ=π/4，故D错误，故选A,B,C。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：向量a与向量b垂直，则它们的夹角为90°，cos90°=0，所以a·b=0，故正确。

2.×

解析：向量a与向量b的夹角为钝角，则90°<θ<180°，cosθ<0，所以a·b<0，故错误。

3.√

解析：向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，OP·OQ=2×1+1×2=4，|OP|=√(2²+1²)=√5，|OQ|=√(1²+2²)=√5，cosθ=4/(√5×√5)=4/5>0，θ<π/2，故为锐角，故正确。

4.×

解析：向量a=(3,4)，|a|=√(3²+4²)=5；向量b=(1,2)，|b|=√(1²+2²)=√5，|a|≠|b|，故错误。

5.√

解析：向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，计算a·b=1×(-1)+1×1=0，cosθ=0/√(1²+1²)√((-1)²+1²)=0/√2√2=0，θ=π/2，故正确。

6.√

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量BA=(1-3,2-0)=(-2,2)，向量AB与向量BA的方向相反，但题目问的是AB与BA的方向是否相同，即AB与BA的夹角是否为0，显然不为0，故正确。

7.×

解析：向量a在向量b上的投影长度=|a·b|/|b|，分子为a·b的绝对值，分母为|b|，所以投影长度总是非负数，故错误。

8.√

解析：若向量a与向量b的夹角为0，则a与b同向，|a+b|=|a|+|b|，故正确。

9.√

解析：向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，计算OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，|OP|=√(1²+1²)=√2，|OQ|=√((-1)²+1²)=√2，cosθ=0/(√2×√2)=0，θ=π/2，故正确。

10.√

解析：向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，计算a·b=2×4+3×6=24，|a|=√(2²+3²)=√13，|b|=√(4²+6²)=√52=2√13，cosθ=24/(√13×2√13)=24/26=12/13>0，且a与b的比值为(2/4,3/6)=(1/2,1/2)，故a与b共线且方向相同，故正确。

五、问答题答案及解析

1.解：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，计算a·b=3×1+4×2=11，|a|=√(3²+4²)=5，|b|=√(1²+2²)=√5，cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5√5)=√5/5，θ=arccos(√5/5)。

2.解：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB与x轴正方向的夹角