北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages33页北京市昌平区新学道临川学校2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过A(-1,0)，B(0,-1)两点，则直线l的倾斜角为(

)A.π6 B.π4 C.2π2.设a∈R，若直线l1:ax+2y-A.1 B.-2 C.1或-2 3.某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为(

)A.0.85×0.22 B.C754.设P是双曲线y24-x2A.4 B.23 C.25.如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=12MA，N为BC的中点，则A.53a+32b+126.随机变量X服从正态分布X∼N(2,σ2)，若A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.57.若1-3x8=a0+A.-32 B.32 C.-225 8.下列说法正确的个数是(    )．①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为4②若随机变量X∼B③若随机变量X∼N(1,σ④已知随机变量X的分布列为PX=iA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有(

)A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,-1)，b=(-2,3,1)，则l1//l2

B.直线l的方向向量a=(1,-1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,-1)，则l⊥α

C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,-1)，v=(-3,4,2)，则α10.某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第1条生产线的疫苗效价不达标的概率为6%，第2条生产线的疫苗效价不达标的概率为5%，生产后的疫苗混放在一起.已知第1、2条生产线生产的疫苗数分别占总数的40%，60%.记“任取一份疫苗是由第i条生产线生产(i=1,2)”为事件Ai，“任取一份疫苗效价不达标”为事件B，则A.P(B)=0.054 B.P(A211.设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是A.|AB|≥4

B.|OA|+|OB|>8

C.若点P(4,1)，则|PA|+|AF|的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.根据下表数据得到y关于x的线性回归方程y=2.2x-a，则ax1234y145813.若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有

种.(用数字作答)14.已知双曲线C:y29-x2=1，则双曲线C的渐近线方程为

；F1,F2是双曲线C的焦点，点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l：x-y+1=0和圆C(1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；(2)求过点4,7且与圆C相切的直线方程．16.(本小题15分)

甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数3148103x乙校分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数210y221(1)计算x，y的值；

(2)若规定考试成绩在[130,150]内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率；

(3)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，根据以上统计数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．甲校乙校总计优秀非优秀总计参考公式：χ2=n(ad-P0.10.050.01χ2.7063.8416.63517.(本小题15分)在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为D1，D2，试比较D1，D2的大小18.(本小题17分)如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE(1)证明：BF//平面DEC(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．(3)线段AC上是否存在一点P，使得点P到平面BEF的距离为52121？若存在，求线段19.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2(1)求C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当∠PMA=2∠PQA时，①参考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.D

8.C

9.CD

10.ABC

11.ACD

12.1

13.24

14.y=±3x15.解：(1)由题意得圆C的圆心C(1,-2)，半径r则圆心到直线l的距离d=所截得的弦长为2故直线与圆相交，所截得的弦长为2．(2)因为圆心C(1,-2)到(4,7)的距离为所以点(4,7)在圆外，此时有两条切线，①当直线斜率存在时，由题意设直线y-7=k由直线kx-y+7-4即d=k⋅此时切线方程为4x②当直线斜率不存在时，直线为x=4，易得圆心C(1,-2)到x=4故x=4也满足条件，此时切线方程为x综上，过点4,7且与圆C相切的直线方程为4x-3

16.解：(1)根据题意知，甲校应抽取72×10001800=40(人)，

乙校应抽取72×8001800=32(人)，

所以x=2，y=15；

(2)由表中数据知，甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人，

恰有1人来自乙校的概率为甲校乙校总计优秀15520非优秀252752总计403272由表中数据，计算χ2=72×(15×27-5×25)240×32×20×5217.解：(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为40×0.05=2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为40×0.1=4人.(2)两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为X，易得随机变量X符合超几何分布，X的取值为1,2,3则有PX则PX=1=C4则分布列为：X123P0.20.60.2则E(X)=1×0.2+2×0.6+3×0.2=2，即X(3)根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有D1

18.解：(1)在DE上取点P，使DP=AF=1，连接FP因为AF//DE，即AF//DP，且则有FP//AD且FP=AD，因为ABCD是正方形，则有故FP//BC且FP=BC，即四边形因为BF⊄平面DEC，PC⊂平面DEC，故BF//(2)由题意可设D为原点，DA,DC,则D(0,0,0),BE=(-4,-4,3),设平面BEF的法向量m=(x令y=1，则x=2,z=4，即m=(2,1,4)设直线BC与平面BEF的夹角为θ，则有sin 故直线BC与平面BEF所成角的正弦值为2(3)已知B(4,4,0)，平面BEF的法向量m=(2,1,4)，且设P是线段AC上一点，由A(4,0,0),C(0,4,0)则BP=(点P到平面BEF的距离d=令d=52121，解得t=13>4(舍则AP=(3-4)2

19.解：(1)由题意知，

2c=2

，

c又