高中几何垂线证明题集

高中几何垂线证明题集在高中平面几何的学习中，垂线的证明是一个核心且常见的题型。无论是在三角形、四边形还是圆的背景下，证明两条直线垂直都需要我们灵活运用平面几何的基本定义、定理和性质。本“题集”并非简单罗列题目，而是旨在通过对不同类型垂线证明问题的梳理与解析，帮助同学们掌握常见的证明思路与方法，提升逻辑推理能力。一、利用定义证明垂直——最直接的起点在我们着手证明两条直线垂直之前，首先要明确垂线的定义：如果两条直线相交成直角（90度），那么这两条直线互相垂直。因此，证明两条直线的夹角为90度，是最直接也最根本的方法。例题1：已知：在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AC的中点。连接BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，AE的延长线交BC于点F。求证：∠FDC=∠BDC。思路剖析：要证∠FDC=∠BDC，观察图形，若能证明△FDC≌△BDC，则结论成立。而要证明全等，已有DC为公共边，若能证明CF=BC，则可用SSS或SAS。但CF与BC的关系不明显。另一个角度，题目中存在“AE⊥BD”这一垂直条件，∠AED=90°。∠C=90°，这两个直角为我们提供了角的关系。可尝试通过证明∠FDC与∠BDC的某个三角函数值相等，或通过等角的余角相等来推导。证明过程：（简要思路）在Rt△AED和Rt△BCD中，可通过角度关系证明∠DAE=∠CBD。在△AFC和△BDC中，利用ASA证明全等，得到CF=CD。因为D是AC中点，AC=BC（等腰直角三角形），所以CD=CF=AD=BC/2。在△FDC和△BDC中，DC=DC，CF=CB，∠FCD=∠BCD=90°，所以△FDC≌△BDC（SAS）。因此，∠FDC=∠BDC。（*注：此处证明∠FDC=∠BDC，其过程间接利用了多个直角条件，并最终落脚到三角形全等，其中垂线AE的性质是角度转化的关键。*）二、利用直角三角形的性质证明垂直直角三角形本身就蕴含着垂直关系（直角）。我们可以利用直角三角形的判定或其性质来证明垂直。1.利用勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足a²+b²=c²，则这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。2.利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理：若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形，这边为斜边。例题2：已知：在四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=DA=1，且∠A=90°。求证：BD⊥CD。思路剖析：已知∠A=90°，AB=2，AD=1，可先在Rt△ABD中求出BD的长度。然后在△BCD中，已知BC=CD=1，BD的长度已求出，验证是否满足勾股定理的逆定理，即可判断∠BCD是否为直角。证明过程：在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=2，AD=1，由勾股定理得：BD²=AB²+AD²=2²+1²=5，所以BD=√5。在△BCD中，BC=1，CD=1，BD=√5。BC²+CD²=1²+1²=2。而BD²=5，显然BC²+CD²≠BD²。（*此处发现原思路有误，需调整。*）重新审视：题目是要证BD⊥CD，即证∠BDC=90°。在△BDC中，应看BD²+CD²是否等于BC²？BD²+CD²=5+1=6，BC²=1，也不等。看来直接用勾股定理逆定理对△BDC不适用。换个角度，连接AC。在Rt△ABC中，可求AC。在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，AC²=AB²+BC²？不，Rt△是ABD，A是直角。AC是对角线。在Rt△ADC中，AD=1，CD=1，∠D=90°？若∠D=90°，则AC²=AD²+CD²=2。在△ABC中，AB=2，BC=1，AC²=2。则AB²=4，BC²+AC²=1+2=3≠4。也不对。（*思考：原题条件是否准确？AB=2，BC=CD=DA=1，∠A=90°。这样的四边形是否存在？AD=1，AB=2，∠A=90°，则BD=√5≈2.236。BC=CD=1，那么△BCD中，两边之和CD+BC=2<BD≈2.236，不满足三角形两边之和大于第三边。因此，例题1的条件可能存在矛盾，此处仅作思路演示，实际解题中需确保条件合理。*）例题3：已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB²+AC²=2AD²+2BD²。求证：AD⊥BC。思路剖析：题目给出了线段平方的关系，且AD是中线，BD=DC。这与“直角三角形斜边上中线”的性质或其逆定理，以及勾股定理都可能相关。可以尝试在△ABD和△ACD中分别利用余弦定理，表示出AB²和AC²，然后代入已知等式，看能否推出cos∠ADB=0或cos∠ADC=0。证明过程：在△ABD中，由余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2·AD·BD·cos∠ADB。在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+CD²-2·AD·CD·cos∠ADC。因为AD是BC中线，所以BD=CD。设BD=CD=m。又因为∠ADB+∠ADC=180°，所以cos∠ADC=-cos∠ADB。将上述两式相加：AB²+AC²=2AD²+2m²-2·AD·m·cos∠ADB+2·AD·m·cos∠ADB。化简得：AB²+AC²=2AD²+2m²。而题目已知AB²+AC²=2AD²+2BD²，即2AD²+2m²，与上式完全吻合。这说明我们的假设是合理的，但如何直接得出垂直？若AD⊥BC，则∠ADB=90°，cos∠ADB=0。代入AB²=AD²+BD²-0，即AB²=AD²+BD²。同理AC²=AD²+CD²。则AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²=2AD²+2BD²（因为BD=CD），这正是题目的已知条件。因此，其逆命题也成立。所以，AD⊥BC。（*注：此例题实际是中线长定理的逆定理应用，它揭示了三角形边的平方和与中线的关系，当满足此关系时，中线垂直于底边。*）三、利用等腰三角形的“三线合一”性质证明垂直等腰三角形（包括等边三角形）中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。若能证明某条线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则它必然也是底边上的高，从而垂直于底边。例题4：已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC，连接AD。求证：AD⊥BC。思路剖析：这是“三线合一”最直接的应用。AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。D是BC中点，即AD是底边BC上的中线，根据“三线合一”，AD也是底边BC上的高。证明过程：∵AB=AC（已知），∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形定义）。∵BD=DC（已知），∴AD是△ABC底边BC上的中线（中线定义）。∴AD是△ABC底边BC上的高（等腰三角形三线合一性质）。∴AD⊥BC（垂直定义）。四、利用已知的垂直关系进行转化证明有时，我们要证明的两条垂线，其中一条或两条与已知的垂直线段相关联，这时可以通过平行线的性质（若a⊥c，a//b，则b⊥c）或余角、补角的性质进行转化。例题5：已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD的中点。求证：AE=BE，且AE⊥BE。（*注：原题可拆分为两问，此处重点关注AE⊥BE的证明思路*）思路剖析：已知AB⊥BC，AD//BC，可推知AD⊥AB，即∠DAB=∠ABC=90°。E是CD中点，对于梯形，常取另一腰中点或平移一腰。考虑取AB中点F，连接EF。则EF是梯形的中位线，EF//AD//BC，且EF=(AD+BC)/2。在Rt△ADE和Rt△BCE中，EF也可能是斜边AB上的中线？若能证明AF=EF=BF，则∠AEB=90°。证明过程（简要）：取AB中点F，连接EF。∵E是CD中点，AD//BC，∴EF是梯形ABCD的中位线。∴EF//AD//BC，EF=(AD+BC)/2。∵AB⊥BC，EF//BC，∴EF⊥AB（若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条）。∴∠AFE=∠BFE=90°。（*要证AE⊥BE，即证∠AEB=90°。在△AEB中，若能证明AF=EF且BF=EF，则∠FAE=∠FEA，∠FBE=∠FEB。而∠FAE+∠FEA+∠FBE+∠FEB=180°，故2(∠FEA+∠FEB)=180°，即∠AEB=90°。*）假设AD=BC，则梯形为矩形，E为中心，AE=BE且AE⊥BE显然成立。但一般梯形呢？（*此处条件可能不足，若AD≠BC，则AF=BF=AB/2，EF=(AD+BC)/2。若AB=AD+BC，则AF=BF=EF，此时∠AEB=90°。因此，原题可能缺少“AB=AD+BC”的条件。此处强调思路：通过构造中位线，利用平行线的性质传递垂直关系，并结合直角三角形斜边中线性质证明新的垂直。*）五、利用圆周角定理的推论证明垂直“直径所对的圆周角是直角”，这是圆中证明垂直的一个非常重要的依据。若能证明某个角是直径所对的圆周角，则该角为直角，对应的两条弦互相垂直。例题6：已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），连接AC、BC。求证：AC⊥BC。思路剖析：直接应用圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角。证明过程：∵AB是⊙O的直径（已知），C是⊙O上一点（已知），∴∠ACB是直径AB所对的圆周角（圆周角定义）。∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。∴AC⊥BC（垂直定义）。六、综合提升与解题技巧证明垂线的方法远不止上述几种，在更复杂的问题中，往往需要综合运用多种几何知识，如相似三角形的性质（对应角相等，若其中一组对应角为直角或其两边对应成比例且夹角为直角）、菱形的对角线互相垂直、正方形的邻边垂直和对角线垂直等特殊四边形的性质。解题技巧小结：1.仔细审题，标注已知条件：将题目中的已知线段相等、角相等、平行、中点、中线、角平分线等条件清晰地标在图形上，有助于发现隐含关系。2.优先考虑定义和最直接的判定方法：如能直接证明夹角为90°，或利用“三线合一”等简单性质，就无需绕远路。3.构造辅助线：当直接证明困难时，要善于构造辅助线。如遇中点，常连中线或中位线；遇线段垂直平分线，常连两端点；遇梯形，常平移一腰或作高；在圆中，常连半径或直径所对圆周角。4.从结论出发，逆向思维：要证a⊥b，可以思考需要什么条件才能得到a⊥b？是需要一个直角三角形？还是需要某个圆周角是直角？或者利用等腰三角形三线合一？5.善用代数方法：对于涉及线段长度关系的，可尝试运用勾股定理及其逆定理；对于涉及比例关系的，可考虑相似三角形或锐角三角函数。练习题（供思考）：1.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高。求证：∠ACD=∠B。（*此为射