电路简明教程课件-4.第四章

（1）叠加定理。（2）戴维宁定理和诺顿定理。

重点：

难点：（1）戴维宁定理。（2）互易定理。4.1叠加定理叠加定理是线性电路普遍适用的一个定理。是线性电路“齐次性”和“可加性”的体现。线线性电路有许多电路定理如戴维宁定理等可由它导出。

4.1.1齐次性线性电路满足齐次性。

只有一个独立源的线性电路，响应与激励成正比，称齐次定理。图4.1其中k为常数。电路满足齐次定理。4.1.2叠加定理

在线性电路中，若干个电源共同作用时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。下面电路验证叠加定理。

叠加定理——(c)(a)

图4.2验证叠加定理(b)图4.2(a)电路的方程

图4.2(b)电路

图4.2(c)电路(c)(b)①叠加原理只适用于线性电路。③不作用电源的处理：

US=0，US

“短路”；

IS=0，IS“开路”

。②线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算，但功率P不能用叠加原理计算。

注意事项：如：④解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。设分电流、分电压的参考方向与原电路中电流、电压的参考方向相同，注意它们的正、负。⑤每个分电路中的电源个数可以多于一个。可把电源分组求解。受控源不能单独作用。含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。

例4-4如图4.6(a)所示，用叠加定理求电流源吸收的功率。（a）（b）（c）解设电压源单独作用，电路如图4.6(b)所示。设电流源单独作用，电路如图4-6(c)所示。电流源的端电压为：电流源吸收的功率(注意：电流源为关联参考方向)例4-2如图4.3(a)所示的电路含有4个独立电源，用叠加定理求3A独立电流源发出的功率。其中R1=6Ω，R2=3Ω，R3=1Ω。（a）图4.3例4-2的图

（a）(b)（e）(f)（c）(d)图4.4解：由图(e)可求出由图(e)可求出电路如图4.5所示，用叠加定理求电流。（a）

图4.5例4-3的图（b）（c）例4-3解设电压源单独作用，电路如图4-5(b)所示。

设电流源单独作用，电路如图4.5(c)所示，用节点分析法：例已知：US=1V、IS=1A时，Uo=0VUS=10V、IS=0A时，Uo=1V求：US=0V、IS=10A时，Uo=?

解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设

Uo=K1US+K2IS当

US=10V、IS=0A时，当

US=1V、IS=1A时，US线性无源网络UoIS+–+－

得0

=K1

1+K2

1

得1

=K1

10+K2

0联立两式解得：K1=0.1、K2=–0.1所以

Uo=K1US+K2IS

=0.1

0+(–0.1)

10

=–1V例5在图示电路中，已知US＝10V

，IS＝2A

，R1＝4

，R2＝1

，R3＝5

，R4＝3

。试用叠加定理求通过电压源的电流I5和电流源两端的电压U6

。

R2

＋－USI2

＋－U6IS

R1

I1

R4

I4

R3

I3

I5

［解］电压源单独作用时

R2

＋－USI2

＋－U

6R1

R4

I4

R3

I5

'''=I2

I4＋I5

=USR1＋R2＋USR3＋R4=104＋1＋105＋3()A=3.25A=I2

I4－U6

R2R4=－1.75V=104＋1－105＋3()1

3

VR2

＋－USI2

＋－U6IS

R1

I1

R4

I4

R3

I3

I5

电流源单独作用时

=I2

I4+U6

R2R4R2

I2

＋－U6IS

R1

R4

I4

R3

I5

"

"

"

"

=I2I4－I5

=R1R1＋R2IS－R3R3＋R4IS=44＋1－()A=(1.6－1.25)A=0.35A

255＋3

2=(1

1.6+3

1.25)V=5.35VR2

＋－USI2

＋－U6IS

R1

I1

R4

I4

R3

I3

I5

求得

=I5I5＋I5

=(3.25＋0.35)A=3.6A=U6

U6+U6

=(－1.75+5.35)V=3.6VI4’’R3

R1

ISI5’’R4

R2

I2’’IS

例6试求电流I1

。解法1：用支路电流法对大回路：解得：I1=1.4A2I1–

I2+2I1

=10对结点a：I1+I2=–3解法2：用叠加原理电压源作用：2I1'+

I1'

+2I1'

=10I1'

=2A电流源作用：对大回路：2I1"

+(3–

I1")

1+2I1"=0

I1"=–0.6AI1=I1'+I1"=2–0.6=1.4A2I1"+_I1"3A2

1

2I1'+_I1'2

1

+–10V2I1+_I12

1

10V+–3Aa4.2替代定理

●电路中任一支路电压或电流可以用一个独立电源或一个电阻替代。●简化电路的分析计算。

●适用于无源或有源的支路。适用于线性网络或非线性网络。

对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用一个R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。ik1.替代定理支路

k

ik+–uk+–ukik+–ukR=uk/ikAik+–uk支路

k

A+–ukukukuk－＋＋－Aik+–uk

支路

k

证毕!2.定理的证明＝（a）(b)(c)图4.7替代定理

如图4.7(b)端口电路NL则可用大小和方向与U相同的电压源替代，或如图4.7(c)用大小和方向与I相同的电流源替代端口电路NL替代后全部支路的电压和电流都将保持原值不变。

替代定理的成立在于：对于给定的具有唯一解的一组方程（线性或者非线性），若一个未知量用其解替代时，不会引起方程中其他未知量的解在数值上的改变。

替代前后电路的KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。原因注：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.替代后其余支路及参数不能改变。2.替代后电路必须有唯一解无电压源回路；无电流源节点(含广义节点)。1.5A10V5V2

5

＋－－＋2.5A1A

5V+－？？使用替代定理的几点注意事项：（1）替代定理对于线性、非线性、时变及时不变电路均适用；（2）电路中含有受控源、耦合电感等耦合元件时，一般不能用替代定理。原因在于耦合元件与其控制量所在的支路被替代后，该支路的控制量可能不复存在；（3）若支路的电压和电流均已知，该支路也可以用电阻值的电阻替代。例4-5电路如图4.8（a）所示。（1）求支路电流I1、I2和支路电压Uab。（2）用（1）计算得到的Uab作为电压源的电压替代4V电压源与2Ω电阻的串联支路，重新计算I1、I2和Uab。（3）用（1）计算得到的I2替代4V电压源与2Ω电阻的串联支路，重新计算I1,I2和Uab。解（1）对图4.8（a）列出节点电压方程，有(a)(b)(c)解得支路电流

（2）用电压Uab=6V的电压源替代图4.8（a）的第二条支路，如图（b）所示。由图可得:（2）用电压I2=5A的电流源替代图4.8（a）的第二条支路，如图（c）所示。由图可得:由此可知，在两种替代后的电路中，计算出的支路电流I1、I2和支路电压Uab与电路完全相同。

例4-6如图4.9所示，已知I=1A，求电压U解:由图可知，流出网络N的电流I=1A，可用1A的电流源替代，设定零电位参考点，列出节点电压方程。图4.9例4-6的图

4.3等效电源定理—戴维宁定理和诺顿定理●有源线性二端网络的一个重要性质。

●电路分析计算的一种重要方法。●任一复杂的有源线性二端网络的简化方法。

4.3.1戴维宁定理

任意一个含独立源、线性受控源和线性电阻的有源线性二端网络，对外电路来说，都可以用一个理想电压源与一个电阻的串联组合来等效置换；该理想电压源的电压就是外电路断开时端口处的开路电压Uoc，串联电阻就是该一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。1.戴维宁定理

由电压源Uoc和电阻Req的串联组合称为戴维宁等效电路，Req称为戴维宁等效电阻。(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)

图4.10戴维宁定理的证明由叠加定理2.定理的证明3.定理的应用(1)开路电压Uoc的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任一方法，易于计算。（2）等效电阻的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：

①当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；②外加电源法（加压求流或加流求压）。③开路电压，短路电流法。后两种方法更有一般性。

步骤：（1）确定要简化的有源线性二端网络，画出戴维宁等效电路。

（2）求开路电压Uoc（画出电路图）。

（3）求等效电阻Req（画出电路图）。

（4）求出外电路的电压、电流或功率。①戴维宁定理只对外电路等效，对内不等效。②求等效电阻Req时该一端口网络内部除源（独立源），是指电压源“短接”，电流源“断开”。③电压源的激励电压的方向应与开路电压Uoc一致。注：

④当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源

必须包含在被化简的同一部分电路中。内部的电压、电流不能作为外电路受控源的控制量。

⑤适用于线性的有源二端网络或非线性二端网络的

线性部分。外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电

路不变(伏-安特性等效)。例4-7求图4-11中的电流I。(a)(b)(c)(d)图4.11例4-7的图例1.解:求解开路电压Uoc。电路如图4-11（b）所示。或

求等效电阻Req。电路如图4-11（c）。

含源二端网路可以简化为一个串联等效电路。

电路如图4-11（d）所示。例4-8求图4.12中5Ω电阻的端电压。

(a)(b)图4.12例4-8的图解：求开路电压Uoc。电路如图4-12（b）所示。例2.求等效电阻Req。电路如图4-12（c）。

（c）（d）含源二端网络可以简化为戴维宁等效电路。电路如图4-12（d）所示。

例3.计算Rx分别为1.2

、5.2

时的I；IRxab+–10V4

6

6

4

ab+–10V4

6

6

–+U24

+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求开路电压Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2V+Uoc_(2)求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8

(3)Rx

=1.2

时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2

时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.2A4.2.2诺顿定理

任意一个含独立源、线性受控源和线性电阻的有源线性二端网络(一端口网络)，对外电路来说，都可以用一个理想电流源并联内阻来等效。理想电流源的电流就是该一端口网络的短路电流Isc，并联电阻就是该一端口网络内部除源（独立源）以后的输入电阻Req。根据诺顿定理，线性含源二端网络端的电压、电流关系可表示为：由电流源Isc和电阻Req的并联组合称为诺顿等效电路，Req称为诺顿等效电阻。诺顿定理可以由戴维宁定理等效变换得到。(a)(b)(c)(d)图4.13诺顿定理的证明例4-9求如图4.14所示的单口网络的诺顿等效电路。(a)

(b)（c）图4.14例4-9的图解：求短路电流Isc。电路如图4.14（a）所示。

求Req

。电路如图4.14（b）所示。

诺顿等效电路如图4.14（c）所示。

含源线性一端口网络可以等效为一个电压源和电阻的串联电路，或一个电流源和电阻的并联电路。只要能计算出开路电压Uoc，短路电流Isc，就可以求出两种等效电路。开路电压Uoc的计算——

将端口断开，用所学的任一种分析方法，求出端口电压Uoc。短路电流Isc的计算——

将端口短路，用所学的任一种分析方法，求出短路电流Isc。计算等效电阻Req的一般方法是用Uoc和Isc求出：

对于含受控源的二端网络也可以用求输入电阻的方法：加压求流法或加压求流法；不含受控源的二端网络也可以用电阻的串、并联或Y-△变换方法求出等效电阻Req。例1

例4-9求如图4.14所示的单口网络的诺顿等效电路。

(a)

(b)（c）图4.14例4-9的图解：用诺顿定理：求短路电流Isc。电路如图4.14（a）所示。求Req。电路如图4.14（b）所示。诺顿等效电路如图4.14（c）所示。

例2用诺顿定理求电流I

。12V2

10

+–24Vab4

I+–(1)求短路电流IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解IscI1

I2(2)求等效电阻ReqReq=10//2=1.67

(3)诺顿等效电路:Req2

10

ab应用分流公式4

Iab-9.6A1.67

I=2.83A例2求电压U。3

6

+–24Vab1A3

+–U6

6

6

(1)求短路电流IscIsc解本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。(2)求等效电阻ReqReq(3)诺顿等效电路:Iscab1A4

＋－U4.4最大功率传输定理

最大功率传输问题实际上是等效电源定理的应用问题。讨论在什么条件下电阻负载能从电路中获得最大功率？

NS为供给电阻负载能量的含源一端口网络，可用戴维宁等效电路或诺顿等效电路代替，如图4.15（a）、（b）、（c）所示的电路模型。

图4.15最大功率传输（a）（b）（c）负载RL为任意值时吸收功率的表达式为：

要使P获得最大值，有：RL

P0Pmax获得的最大功率为：

由此求得负载电阻获取最大功率的条件是用诺顿等效电路替代时获得的最大功率为：

归纳以上分析，可得以下结论：

有源线性二端网络Ns接有可变负载电阻RL时则在时，负载RL可获得最大的功率，其最大功率为

或该结论称为最大功率传输定理。注（1）最大功率传输定理用于一端口电路给定,

负载电阻可调的情况;（2）一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;（3）计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.（4）对于含有受控源的有源线性网络，其戴维宁等效电阻可能为零或负值，在这种情况下，该最大功率传输定理不再适用。例4-10电路如图4.16所示，求（1）RL为何值时获得最大功率；（2）RL获得的最大功率。（a）（b）图4.16例4-10的图解:（1）求端口网络的戴维宁等效电路。由最大功率传输定理，当RL=1Ω时，可获得最大功率。（2）RL获得的最大功率为例4-11电路如图4.17（a）所示，求RL为何值时获得最大功率，并求出该最大功率。（a）（b）（c）图4.17例4-11的图解:求短路电流。如图4.17（b）所示。由KVL定律：

求开路电压为Uoc。如图4.17（c）所示。

列写KVL方程等效内阻为最大功率为：由最大功率传输定理可得，当时

R多大时能从电路中获得最大功率，并求此最大功率。例思考题RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。20

+–20Vab2A+–URRL10

(1)求开路电压Uoc＋－UocI1I2(2)求等效电阻Req20

+–Iab+–UR10

UI2I1(3)由最大功率传输定理得:时其上可获得最大功率4.5特勒根定理●适用于线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路。●这个定理是在基尔霍夫定律的基础上发展起来的一条重要的定理，且与电路元件的性质无关。●特勒根定理实质上是功率守恒的数学表达式,它表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。

●有两种形式。特勒根定理1

对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各条支路电流和支路电压取关联参考方向，并令（i1,i2,•••,ib）、（u1,u2,•••,ub）分别为b条支路的电流和电压，则对于任何时间t，有即此定理可用如图4.18所示电路的拓扑图证明如下。图4.18特勒根定理1各支路的电压与结点电压的关系为对节点②、③、④，由KCL可得支路电流之间的关系为各支路电压电流乘积的代数和为推广到具有n个结点和b条支路的电路，即有证明只根据电路的拓扑性质应用了基尔霍夫定律，并没有涉及支路的具体内容。因此，特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都普遍适用。特勒根定理2当a、b两个电路有相同的拓扑结构、相同的支路编号、相同的支路方向时，a电