素养导向·差异支持：小数除法算理的理解与迁移-《除数是整数的小数除法》单元起始课教学设计

素养导向·差异支持：小数除法算理的理解与迁移——《除数是整数的小数除法》单元起始课教学设计一、教学内容分析  本节课选自人教版五年级数学上册第三单元《小数除法》的起始内容。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》出发，本课教学坐标清晰。知识技能图谱上，它是整数除法到小数除法的关键生长点，学生需在明确“数位对齐”、“余数添0继续除”等算法程序的同时，深度理解“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一核心算理。其在知识链中承上启下，上承整数除法、小数的意义，下启除数是小数的除法及小数四则混合运算，是构建完整运算体系的重要一环。过程方法路径上，课标强调在解决真实问题中发展运算能力和推理意识。本课蕴含了“转化与化归”的数学思想，即将新知（小数除法）转化为旧知（整数除法）来探究解决。课堂将以此为路径，设计生活情境问题链，引导学生在“分物”、“计价”等活动中，通过直观模型（人民币、长度单位）和竖式表征的勾连，自主探究算理算法。素养价值渗透方面，本课是培育学生“数感”、“运算能力”、“推理意识”的绝佳载体。通过理解小数点对齐的算理本质——即“相同计数单位才能直接相除”，学生得以深化对十进制计数系统的认识，感受数学内部的一致性，从而实现从机械操作到意义理解的跃迁，为未来有理数、代数运算的学习奠定坚实的思维基础。  基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判。已有基础与障碍方面，学生已熟练掌握整数除法竖式计算，理解“平均分”的意义，并具备初步的小数意义和元、角、分转换经验。可能的认知障碍在于：一是难以摆脱整数除法“算完就结束”的思维定式，对“有余数时如何继续”感到困惑；二是易将“小数点对齐”机械记忆为“被除数有小数点，商就点小数点”，而忽略其本质是“商与被除数的相同数位对齐”。过程评估设计将贯穿始终：在导入环节通过情境问题观察学生能否将生活问题数学化；在新授关键节点设置追问（如：“这个‘2’表示2个什么？为什么可以看成20个十分之一？”）以探查算理理解深度；在练习环节通过分层任务单收集典型解法与错误，进行动态诊断。教学调适策略上，对基础薄弱学生，提供人民币学具、带数位的方格图等直观“脚手架”，辅助其理解计数单位的转换；对思维较快的学生，则在理解算理后，引导其尝试解释更复杂情境（如被除数是纯小数）的算理，并鼓励算法多样化与优化，满足其探究深度与广度的需求。二、教学目标  知识目标：学生能在具体情境中理解除数是整数的小数除法的算理，掌握“商的小数点与被除数的小数点对齐”的计算方法，并能正确进行竖式计算。能够清晰解释竖式计算过程中每一步（尤其是小数点的处理及余数添0继续除）的数学含义，并解决相关的简单实际问题。能力目标：学生能够将生活情境中的“平均分”问题转化为除法算式，并通过操作直观模型、推理分析或竖式计算解决问题，发展数学建模与运算能力。在探究算理的过程中，能进行有条理的数学表达与交流，如说明“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐”。情感态度与价值观目标：学生在合作探究与分享中，体验将未知转化为已知的探索乐趣，感受数学与生活的紧密联系。在面对计算挑战时，能表现出耐心、细致的学习品质，并对不同解法持开放与反思的态度。科学（学科）思维目标：重点发展学生的运算推理意识和转化思想。学生能够将小数除法问题通过“转化为整数除法”这一桥梁进行思考，并基于十进制计数原则和除法的意义，合理论证计算步骤的合理性，实现从程序性操作到概念性理解的飞跃。评价与元认知目标：引导学生学会利用估算（如“商大概在什么范围”）或乘法验算来初步判断计算结果的合理性。在练习后，能参照评价标准（如：竖式格式规范、算理表述清晰）进行自我检查或同伴互评，并反思自己在理解算理过程中的难点与收获。三、教学重点与难点  教学重点是理解并掌握“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理与算法。确立依据在于：从课程标准的“大概念”视角看，这关乎对除法运算意义和十进制数位系统的深度理解，是小数除法乃至后续分数除法算理共通的核心。从学业评价看，此点是考查学生是否真正理解运算而非机械记忆的关键，是高频考点与能力区分点。掌握此重点，方能顺利实现从整数除法到小数除法的认知迁移，为后续学习扫清根本障碍。  教学难点在于学生如何真正内化“小数点对齐”的算理本质，即在竖式计算中理解“被除数的哪一位商就写在哪一位上”，并能正确处理整数部分除完后有余数，需要“添0继续除”的情况。预设依据源于学情分析：学生的思维正处于从具体形象向抽象逻辑过渡阶段，此难点涉及数位值的抽象转换与除法过程的连续性思维，认知跨度较大。常见错误如“忘记点小数点”或“点错小数点位置”，其根源正在于算理不清。突破方向拟采用“多元表征联动”策略：通过人民币（元、角、分）、米尺（米、分米）等具象模型的操作，与抽象的竖式符号记录进行反复对照与勾连，让“小数点对齐就是相同计数单位对齐”变得可视、可触、可思。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、探究问题、分层练习题）；实物投影仪。1.2学具与材料：为学生准备“探究学习单”（内含情境问题、操作记录区、竖式书写区）；人民币学具卡片（印有元、角、分单位）若干套；米尺（可标注分米、厘米）模型图。2.学生准备2.1知识准备：复习整数除法竖式计算；回顾小数意义及元角分换算。2.2学具准备：常规文具。3.环境布置3.1座位安排：小组合作式座位，便于学具操作与讨论。3.2板书规划：左侧区域呈现核心问题与算理关键；中部区域动态生成学生探究过程与算法；右侧区域总结算法要点与注意事项。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，早上老师买早餐时遇到个问题：一杯豆浆2.4元，我付了3元，该找回多少钱？这用减法，大家都会。但如果我想知道每杯豆浆的实际单价，而老板告诉我，3元钱买了2杯一样的豆浆，每杯多少钱呢？”（呈现问题：3元买2杯豆浆，平均每杯多少元？）这是一个贴近学生生活经验的情境，但数据设计（3÷2）会自然引发认知冲突——结果不是整元数了，怎么办？1.1旧知唤醒与路径指引：“3除以2，在整数除法里结果是1余1。但在买东西的情境里，这‘余1元’还能继续分吗？怎么分？今天，我们就一起化身‘精明的消费者’，来研究这类‘分钱’的数学问题——除数是整数的小数除法。我们将先从熟悉的人民币单位开始探究，一步步揭开这类除法计算的奥秘。”第二、新授环节  本环节采用“问题链”驱动，通过三个核心任务，搭建从具体到抽象的认知阶梯。任务一：生活问题数学化——从“余1元”到“余10角”教师活动：首先，引导学生将生活问题“3元平均分给2杯豆浆，每杯多少元？”列式为3÷2。请学生用已有整数除法知识尝试计算，必然得到商1余1。此时追问关键问题1：“在买东西时，这剩下的1元，我们真的不能分了吗？可以怎么分？”预计学生会想到“换成角”。教师顺势引导：“没错，1元=10角。那这10角平均分给2杯，每杯得几角？”（5角）。接着，利用实物投影或课件动画演示“换钱”过程：将1元硬币换成10个1角硬币。然后提出关键问题2：“那么，每杯豆浆到底是多少钱？谁能用一个数表示出来？”（1元5角，即1.5元）。最后，引导学生将整个分钱过程用算式连贯表达：3元=30角，30÷2=15角=1.5元。并初步点明：“看，当我们遇到‘分不完’的情况时，可以把高级单位转换成低级单位继续分。”学生活动：学生独立思考并列式。在教师追问下，结合生活经验提出“换钱”想法。观看演示，理解“化元为角”的转换过程。尝试用“元”为单位写出最终结果（1.5元）。在教师引导下，口头描述或书写分步计算过程。即时评价标准：①能否将生活问题准确转化为除法算式。②面对“余数”时，是否能联系生活经验（货币兑换）提出继续分的策略。③能否正确完成单位换算，并用小数表示最终结果。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：当整数除法有余数时，可以通过将余数所在的单位转换为更低级的单位，从而继续除下去。这是小数除法的基本思想起点。▲学科方法：情境建模——将数学问题置于真实生活背景中理解。转化思想——把“不能直接分”的余数，通过单位换算转化为“可以分”的新数。★教学提示：此环节不急引入竖式，重在让学生体验“为什么需要”以及“如何实现”继续除的过程，奠定坚实的感性基础。任务二：架起直观与抽象的桥梁——竖式怎么写？教师活动：承接任务一，提出挑战：“刚才我们通过换成‘角’算出了结果。但如果数目更大，换起来麻烦，能不能用一种更简洁通用的方法——竖式来计算呢？”出示空白竖式，引导学生回顾整数除法3÷2的竖式计算过程，写到商1余1时停下。抛出核心探究问题：“在竖式里，这个余下的‘1’（在个位上），表示1个什么？（1个一，即1元）。我们想把它化成角继续分，在竖式上该怎么‘表示’这个转换过程呢？”鼓励学生借助人民币学具在小组内操作、讨论。巡视中，可提示：“想想，在数字的世界里，1个一变成10个0.1，相当于做了什么？”收集学生的想法，可能有两种：一是在余数1后面直接写“0”；二是联想到小数的性质，在1后面点上小数点再添0。教师通过课件动态演示：在余数1的右下角点上小数点（对齐被除数个位），并在小数点后面添上“0”，将这个“1.0”或“10”明确解释为“10个十分之一（即10角）”。然后问：“现在，用10个十分之一除以2，商是几？这个‘5’应该写在商的什么位置？为什么？”引导学生理解，这个5表示5个十分之一，所以必须写在十分位上，即原先商“1”（个位）的后面，并要点上小数点以区分数位。完整呈现竖式过程，并强调：“看，商里的小数点，刚好和被除数里新点出的小数点是对齐的。这可不是巧合哦！”学生活动：小组合作，利用学具（可将1元卡片替换为10角卡片）模拟竖式中的“转换”过程。热烈讨论如何在竖式中表征“元化角”。尝试在探究单的竖式上写下自己的设想。观察教师演示，理解“点上小数点并添0”的规范写法。思考并回答为什么商“5”要写在小数点后面，理解数位对齐的必然性。即时评价标准：①小组讨论时，能否将具象操作与竖式符号建立联系。②能否提出在竖式中处理余数的合理方案（如添0）。③能否理解商的小数点位置的确定依据，并用语言初步描述。形成知识、思维、方法清单：★核心算理：商的小数点要与被除数的小数点对齐。其本质是：当被除数的整数部分除完后，在余数后添0继续除，这个“0”是加在十分位上，因此接下来得到的商也必然表示几个十分之一，应写在十分位，小数点起到了定位作用。★关键技能：整数部分除完后，先在商的个位右下角点上小数点，然后在余数后面添0继续除。▲易错点预警：忘记在商中点上小数点；添0时位置错误（应添在余数后，而非商后面）。★教学提示：此环节是突破重难点的关键，务必放慢节奏，让学生的思维在直观操作与抽象符号之间充分往返，亲历算理的“发明”过程，而非被动接受规则。任务三：探究的深化与迁移——被除数本身就是小数怎么办？教师活动：变换情境，出示新问题：“如果一瓶果汁4.8元，平均分给4个小朋友，每人应付多少元？”列式：4.8÷4。首先，让学生估一估：“每人付的钱比1元多还是少？”（比1元多）。然后，请学生独立尝试用竖式计算。预设大部分学生能迁移任务二的经验，正确计算。请一名学生上台板演并讲解。教师聚焦两个关键点进行追问：第一，“先用4除以4，商1。这个1写在什么位？为什么？”（个位，表示1个一）。第二，“个位分完后，落下十分位上的8，用8个十分之一除以4，商2。这个2写在什么位置？为什么必须要点上小数点？”（写在十分位，表示2个十分之一；小数点用于区分个位与十分位）。引导学生对比4.8÷4与3÷2的竖式过程，发现共同点：无论被除数是整数还是小数，都是从高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在那一位上；当整数部分除完，需要处理小数部分时，商的小数点都必须和被除数的小数点对齐，这是保证相同数位对齐的必然要求。教师总结：“看，我们从‘分钱’中发现的这个道理，在面对纯小数除法时，依然坚固地成立。”学生活动：先进行估算，培养数感。独立尝试竖式计算4.8÷4。观察同学板演，聆听讲解。思考并回答教师的追问，深入理解每一步的算理。在教师引导下对比两个例子，自主归纳算法要点，尤其是小数点对齐的普适性规则。即时评价标准：①能否正确进行竖式计算，格式规范。②讲解时，能否说清商每一位所在数位的含义。③能否通过对比，概括出算法中的不变性（小数点对齐规则）。形成知识、思维、方法清单：★算法概括：除数是整数的小数除法，按整数除法的方法去除；商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。▲思维提升：归纳推理——从个别例子中发现普遍规律。迁移应用——将从一个情境中获得的算理，应用到新的、略有变化的问题情境中。★核心素养落脚点：通过算理的探究与归纳，学生深刻体会到数学规则背后的逻辑必然性，而非强制规定，从而深化对运算一致性的理解，发展推理意识。第三、当堂巩固训练  设计分层练习任务单，学生可根据自身情况至少完成A、B两组。A组（基础应用，全体必做）：1.用竖式计算：9.6÷4=？14.4÷12=？（重点巩固算法格式与小数点对齐）。2.纠错小医生：出示一道忘记点小数点的竖式计算过程，请学生诊断并改正。“大家看看这个竖式，结果对吗？如果不对，‘病根’在哪里？”B组（综合理解，大多数学生完成）：3.情境计算：一根绳子长8.4米，把它平均截成3段，每段长多少米？（要求列竖式计算并作答）。4.说说理：在计算25.2÷6时，当用25除以6商4余1后，接下来的计算步骤你是怎么想的？这个“1”后面添上的“0”表示什么？（考查算理表达）。C组（挑战拓展，学有余力选做）：5.探究题：计算2÷5。被除数是整数且比除数小，商的整数部分不够商1，怎么办？请你试着用今天探索的方法算一算，并思考商的小数点应该点在哪里？  反馈机制：A组题采用全班核对，快速反馈。B组第1题可请学生板演，结合其讲解进行过程性评价；B组第2题采用小组内互说互评，教师巡视听取。C组题为后续课时（整数部分不够商1，用0占位）埋下伏笔，请有思路的学生分享，激发全班思考，不作统一要求。教师利用实物投影展示典型正确范例与共性错误，引导学生共同分析错误原因，深化理解。第四、课堂小结  “同学们，今天我们这趟‘小数除法探索之旅’即将到站。谁能来当小老师，用一两句话说说，这节课你最大的收获是什么？”鼓励学生从知识、方法或感受等多角度分享。教师在此基础上，引导学生一起完成结构化总结：我们遇到了“分不完”的情况（指板书），通过转化单位（元化角）找到了继续分的方法；为了记录更简洁，我们创造了竖式算法，并发现了一个核心规律——商的小数点要和被除数的小数点对齐，这保证了相同数位上的数进行运算。这就是我们解决问题的“钥匙”。方法提炼：我们用了“联系旧知（整数除法）”、“动手操作（换钱）”、“数形结合（竖式与模型对照）”等方法。  作业布置：1.必做（基础+综合）：1.完成课本第24页“做一做”所有题目。2.结合今天学习的内容，给你的家人讲一讲“为什么计算小数除法时，商的小数点要和被除数的小数点对齐”。2.选做（探究延伸）：思考：如果除数是整数，但被除数是一个像0.36这样比除数小很多的小数，竖式又该怎么算呢？可以提前试一试。六、作业设计基础性作业：1.竖式计算巩固：完成练习册中关于除数是整数的小数除法的基本计算题，共6道，涵盖被除数是整数、一位小数、两位小数等不同情况。2.算理表述：任选一道你做过的竖式计算题，用文字或图示向同伴说明计算过程中“小数点对齐”的道理。拓展性作业：3.生活应用题：调查家中一种零食的单价（总价与数量），编一道除数是整数的小数除法应用题并解答。例如：“一盒饼干共重0.75千克，里面有5小包，平均每小包重多少千克？”4.数学小探究：计算1÷4和1÷8，观察商的小数部分有什么特点？想一想，这与除数和被除数有什么关系？（初步感受除尽与循环小数的现象）。探究性/创造性作业：5.制作一份“除数是整数的小数除法”计算秘籍或错题警示录。要求：用思维导图形式总结计算步骤和注意事项，并至少分析两个典型错误案例。6.探索发现：尝试计算10÷3的竖式过程，尽可能多除几位，看看你能发现什么有趣的现象？将你的发现记录下来。（为循环小数的学习做铺垫）。七、本节知识清单及拓展★1.核心算理：商的小数点与被除数的小数点对齐。这不是一个孤立的规定，其数学本质是确保“相同计数单位才能直接相除”。当整数部分除完后，余数转化后的小数部分（十分位、百分位……）进行除法，得到的商自然应位于相应的数位上，小数点就是数位的“定位器”。理解这一点，才能从根本上掌握算法。★2.基本算法（步骤）：①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐；③如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。口诀化记忆：一除、二点、三继续。★3.关键操作：“添0继续除”。当余数产生后，要想继续除，必须在余数后面添上“0”。这里的“0”不是没有意义，而是将被除数更低位（小数部分）的计数单位（十分之一、百分之一等）引入计算。若被除数本身是小数，则直接落下小数部分的数字即可，本质上与“添0”思想一致。▲4.理解工具：多元表征。借助人民币（元、角、分）、长度单位（米、分米、厘米）等现实模型，能将抽象的“数位”和“小数点对齐”变得直观可视。例如：3.6元÷3，可以理解为将3元和6角分开来平均分。★5.易错点警示：①忘记点商的小数点：这是最常见的错误，根源在于算理不清，将小数除法完全等同于整数除法处理。②小数点位置点错：未与被除数的小数点对齐，而是点在了余数后面或其他位置。③添0时机与位置错误：整数部分除完没有及时考虑小数部分；或添0时错误地添在了商后面。▲6.验算方法：初步学会用“商×除数=被除数”来验算结果是否正确。也可利用估算，如判断商的大致范围，来检验结果的合理性。★7.思想方法：转化与化归。本节课核心的数学思想是将“除数是整数的小数除法”转化为“整数除法”来解决。通过单位换算，把“分不完的元”转化为“可以分的角”，实现了问题的化难为易。这是学习数学、解决问题的重要策略。▲8.知识拓展（孕伏）：本节课的例子多为除到被除数末尾能除尽的情况。实际上，当出现“整数部分不够商1”时，需要在商的整数部分写“0”占位（如0.36÷3）；当“永远除不尽”时，则会引向“循环小数”的概念。理解好本课算理，是顺利学习这些后续知识的前提。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析本节课预设的核心目标——理解“商的小数点与被除数的小数点对齐”的算理，通过三个递进式任务和多元表征的运用，大部分学生能够达到。从“当堂巩固训练”的反馈来看，A、B组题的正确率较高，且学生在“说说理”环节能用自己的语言进行解释，表明算理理解较为到位。C组挑战题虽只有部分学生尝试，但成功引发了他们对“整数部分不够商1”的思考，为下节课埋下了探究的种子。情感目标在小组合作与生活情境探究中得以落实，学生参与积极。元认知目标通过估算、验算提示及小结时的反思环节有所渗透，但如何让更多学生养成自觉验算的习惯，仍需长期培养。  （二）教学环节有效性评估导入环节的“买豆浆”情境快速切入主题，有效激发了探究动机。新授环节的三大任务构成了稳固的认知支架：任务一“生活问题数学化”成功地将学生的生活经验（货币兑换）转化为数学思考，为算理提供了坚实的现实原型，这比直接讲解竖式生动得多。我听到有学生小声说：“哦，原来就是把多出来的钱破开再分啊！”这表明他们从心底接受了“继续分”的合理性。任务二“架桥”是难点突破的关键，小组操作学具时的热烈讨论证明了直观模型的必要性。但在巡视中我也发现，个别小组仅停留在操作好玩，未能主动与竖式书写建立联系，需要教师更精准地介入引导，比如提问：“你们刚才‘换钱’的动作，能在竖式上用符号表示出来吗？”任务三“迁移”的设计有效地检验并巩固了算理的理解，通过对比归纳，学生自己“发现”了规则的普适性，实现了知识的自主建构。  （三）差异化教学实施的深度剖析本节课在差异化支持上做出了有意识的安排。对于理解速度较慢的学生，人民币学具和“探究学习单”上的操作记录区提供了有力的支撑，让他们“手中有物，心中不慌”。在巩固练习的分层设计中，A组题确保了所有学生都能获得成功体验。然而，