河南省南阳地区2025-2026学年高二上学期期末摸底数学试题（试卷+解析）

河南省南阳地区2025-2026学年高二上学期期末摸底数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第六章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线经过两点，则直线倾斜角是（）A. B. C. D.2.从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）A7条 B.12条 C.64条 D.81条3.已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.4.某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（）（参考数据：若随机变量，则）A.0.8185 B.0.9544 C.0.9759 D.0.99745.在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（）A.3 B. C.8 D.6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（）A.12 B.24 C. D.7.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.58.将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（）A.110种 B.140种 C.220种 D.280种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.10.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，是的平分线，且，为坐标原点，是双曲线上的一点，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率是C.D.点到双曲线的两条渐近线的距离之积是11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（）A.该石凳的表面积是 B.异面直线AC与所成的角为C.直线与平面ABC所成角的余弦值是 D.点到平面ABC的距离是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中含的项的系数是___________.13.从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是___________.14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响．（1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；（2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望．16.如图，在四棱锥中，平面平面是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，分别是棱PD，AB的中点．（1）证明：．（2）求平面PBC与平面ACE夹角的余弦值．17.如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段．（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？（2）由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？（3）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？18.甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局．（1）求甲不参加第三轮比赛概率；（2）求甲、乙进行第四轮比赛的概率；（3）求甲获得冠军的概率．19.已知椭圆长轴长为，且点在上．（1）求的方程．（2）若斜率为1的直线与交于A，B两点，求|AB|的最大值．（3）过点的直线交于P，Q（异于的左、右顶点）两点，直线PT，QT分别交直线于点M，N，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.河南省南阳地区2025-2026学年高二上学期期末摸底数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第六章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角.【详解】由题意可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故选：A2.从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）A.7条 B.12条 C.64条 D.81条【答案】B【解析】【分析】由分步乘法计数原理计算即可求解.【详解】由题意可知所求不同的路线有条.故选：B3.已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量投影向量的定义求解即可.【详解】由题意可知向量在向量方向上的投影向量为，故选：B.4.某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（）（参考数据：若随机变量，则）A.0.8185 B.0.9544 C.0.9759 D.0.9974【答案】C【解析】【分析】求出，，结合参考数据计算即可.【详解】因为，所以，.由题意可知，“”表示事件“饼干是合格品”，所以故选：C.5.在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（）A.3 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD.因为三棱锥是正三棱锥，所以平面，又为等边三角形，所以，所以，则HB，HF，HP两两垂直，故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为是边长为的等边三角形，所以，．因为，所以，所以，，，，所以，所以，，则，，，所以点到直线BC的距离．故选：D6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（）A.12 B.24 C. D.【答案】A【解析】【分析】由求出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．【详解】设．因为，所以，则16，解得．由抛物线的对称性，不妨取，则直线的斜率，所以直线的方程为．由得，解得或，则，故的面积是．故选：A.7.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解.【详解】依题意，服从超几何分布，则，当取得最大值时，，即，解得，，所以.故选：B8.将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（）A.110种 B.140种 C.220种 D.280种【答案】D【解析】【分析】分1名医生和2名护士一组、1名医生和3名护士一组和2名医生和2名护士一组讨论即可.【详解】1名医生和2名护士一组，有种分配方案；1名医生和3名护士一组，有种分配方案；2名医生和2名护士一组，有种分配方案．故满足要求的不同的分配方案有种.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式、进行求解【详解】由题意可得，则，，故A，C，D均正确，B错误．故选：ACD.10.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，是的平分线，且，为坐标原点，是双曲线上的一点，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线离心率是C.D.点到双曲线的两条渐近线的距离之积是【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得，根据双曲线的性质可得渐近线方程和离心率，判断AB；延长，交于点，由题意可得，结合双曲线性质可判断C；利用点到直线距离公式计算可判断D.【详解】因为点在双曲线上，代入可得，解得（舍去），所以双曲线，则.对于A，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，故A错误；对于B，双曲线的离心率为，故B正确；对于C，分别延长，，交于点.因为是的平分线，且，则，所以，是线段的中点，因为是线段的中点，所以，由双曲线的定义可得，则，故C正确.对于D，设，则，即，故点到双曲线的两条渐近线的距离之积是，故D正确.故选：BCD11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（）A.该石凳的表面积是 B.异面直线AC与所成的角为C.直线与平面ABC所成角的余弦值是 D.点到平面ABC的距离是【答案】ACD【解析】【分析】由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成，结合面积公式，可得判定A；将石凳的直观图补全成正方体，建立坐标系，由异面直线所成角的求法可判断B；由线面角的向量公式可判断C；由点到平面的距离公式可判断D.【详解】对于A，由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成，所以其表面积是，A正确．对于B，将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，则，所以，．因为0，所以，所以异面直线AC与EF所成的角为，B错误．对于C，设平面ABC的法向量为，则令，得．设直线EF与平面ABC所成的角为，则，故，C正确．对于D，因为平面ABC的一个法向量为，且，所以点到平面ABC的距离是，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中含的项的系数是___________.【答案】【解析】【分析】根据二项式定理结合通项求解即可.【详解】的展开式的通项．令，得,故答案为：.13.从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是___________.【答案】【解析】【分析】先求出从不大于30的素数中随机选取两个数的方法总数，再求出被选取的两个数之和为30的方法总数，由古典概率的计算公式求解即可.【详解】由题意可知不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个．从中随机选取两个数的情况有种，其中被选取的两个数之和为30的情况有，，共3种，故所求概率为．故答案为：.14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，根据面面垂直的性质可知，在平面内的投影为，的投影为，然后根据线面角的正切关系得，设，利用两点距离公式代入化简计算即可求得结果.【详解】因为平面平面，且，平面平面，所以平面，同理平面.因此，在平面内的投影为，的投影为.由，根据线面角的正切关系得，将代入化简得.设，则.由，两边平方.展开并整理得，化简得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响．（1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率；（2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望．【答案】（1）0.9（2）分布列见解析，1.8【解析】【分析】（1）利用对立事件概率和为1性质求解至少完成一项核心任务的概率即可；（2）由（1）可得2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，再根据二项分布的性质求解分布列和期望.【小问1详解】该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率．【小问2详解】由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，则，，，，所以的分布列为0120.010.180.8116.如图，在四棱锥中，平面平面是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，分别是棱PD，AB的中点．（1）证明：．（2）求平面PBC与平面ACE夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理证得平面，再由线面垂直的性质定理证得.（2）取棱CD的中点，连接FH．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面PBC与平面ACE的一个法向量，然后利用空间向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为是等边三角形，所以．因为F是棱AB的中点，所以.因为平面平面，平面平面ABCD，平面，所以平面因为平面ABCD，所以.【小问2详解】解：取棱CD的中点，连接FH．易证FB，FH，FP两两垂直，则以为坐标原点，FB，FH，FP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系．设，则，，故设平面PBC的法向量为，则令，得．设平面ACE的法向量为，则令，得．设平面PBC与平面ACE的夹角为，则，即平面PBC与平面ACE夹角的余弦值为．17.如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段．（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？（2）由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？（3）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？【答案】（1）10条．（2）21条．（3）155条．【解析】【分析】（1）点出发到达点需要向上和向右的次数，再根据组合数求解即可；（2）先求出点出发到达点的最近路线有多少条，再计算两次向上行走连续且最近的路线，相减即可；（3）分类讨论分别经过的情况数，结合（1）中的方法求解即可.【小问1详解】由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次，则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．【小问2详解】由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次，则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条，其中两次向上行走连续且最近的路线有7条．故所求路线有条．【小问3详解】设H，K的位置如图所示，则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况：①，有条最近路线；②，有条最近路线；③，有条最近路线．故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．18.甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局．（1）求甲不参加第三轮比赛的概率；（2）求甲、乙进行第四轮比赛的概率；（3）求甲获得冠军的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）甲