山东省东营市2025-2026学年高一上学期学业质量评价数学试题（试卷+解析）

山东省东营市2025-2026学年高一上学期学业质量评价数学试题本试卷共4页满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则3.已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（）A. B. C.1 D.24.已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（）A. B.C D.5.下列说法中正确的是（）A.为了解某校高一年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本B.若一组数据1，2，4，2，4，3，5，m，3的唯一众数是3，则这组数据的中位数是3，极差是4C.已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为11和9D.一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的分位数是136.已知正数满足，则的最大值为（）A. B.1 C. D.7已知，则（）A. B. C. D.8.对于函数和，设，若存在使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为（）A B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.是的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的单调递减区间为D.函数且的图象恒过点10.已知点O是正方形ABCD的中心，从五个点中随机选取两个不同的点，构成一个向量，记样本空间为，则下列说法正确的是（）A.样本空间包含的样本点总数为10 B.向量与向量相等的概率为C.向量的模等于正方形边长的概率为 D.向量与向量共线的概率为11.已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（）A.在是减函数B.C.当时，D.不等式的解集为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.求值：__________．13.在一个智能机器人实验中，机器人在三个充电站之间移动（三个充电站呈正三角形分布），每次移动时，机器人会随机选择移动到相邻的两个充电站之一．由于程序设置，机器人按顺时针方向移动的概率是按逆时针方向移动概率的3倍．假设机器人初始位置在充电站，则机器人移动三次后恰好回到充电站A的概率是__________.14.已知函数，其中［］表示不超过的最大整数.下列四个结论：①定义域为；②方程没有实数根；③函数的值域为；④存在实数，使得当且时，都有.其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.设全集为，集合，集合.（1）若，求集合A、B；（2）若，求实数的取值范围.16.DeepSeek、豆包等国产人工智能的广泛应用，给人们生活带来了便捷．某网站组织了人工智能知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份，将其成绩作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分），分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本的分位数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩是66，方差是4，求成绩在内的平均数和方差.17.在学校的传统文化课上，甲、乙两名同学进行投壶比赛．规则如下：两人轮流向壶中投箭，甲先投．谁先投中谁就获得胜利，且比赛立即结束．若每人都投了3次仍未投中，则视为平局，比赛也结束．已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投箭是否投中相互独立.（1）求比赛在完成次投箭时结束的概率；（2）求乙获得比赛胜利的概率；（3）求比赛结束时，乙恰好投了次箭的概率.18.已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并用定义证明的单调性；（3）若，解关于的不等式.19.对于函数，若存在实数使得，则称为的生成函数.（1）设函数，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；（2）设函数，能否由生成一个函数，满足①是偶函数；②在上的最小值为，若能生成，求函数的解析式，若不能，请说明理由．山东省东营市2025-2026学年高一上学期学业质量评价数学试题本试卷共4页满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的性质，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得，所以，因为，可得.故选：A2.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.【详解】若，取，，则，故A错误；若，当时，则，故B错误；若，取，，则，故C错误；若，则，故D正确.故选：D.3.已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用平面向量共线定理即可求解.【详解】向量，是两个不共线的向量，，，存在唯一实数使得，即，，.故选：A.4.已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数幂的运算求解.【详解】解：因为点，都在的图象上，所以，则，即点在的图象上，故选：D.5.下列说法中正确的是（）A.为了解某校高一年级学生视力情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本B.若一组数据1，2，4，2，4，3，5，m，3的唯一众数是3，则这组数据的中位数是3，极差是4C.已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为11和9D.一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的分位数是13【答案】B【解析】【分析】由样本的定义判断A选项，由众数和中位数的定义判断B选项，由平均数和方差的计算判断C选项，由百分位数的计算判断D选项.【详解】A选项，样本是40名学生的视力情况，A错误；B选项，数据1，2，4，2，4，3，5，m，3中已经有两个，两个，两个，如果有唯一的众数，则，这组数据从小到大排序为，中位数为，极差是，B正确；C选项，因为的平均数为5，方差为2，则的平均数为，方差为，C错误；D选项，这组数据共有个，所以分位数是从小到大排列后的第个数和第个数的平均数，即，D错误；故选：B.6.已知正数满足，则的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求出原式的最大值即可.【详解】原式，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.故选：A7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别确定，，的取值范围，进而比较它们的大小.【详解】因为，指数函数中底数，所以，在定义域上单调递增，又因为，所以，所以，因为，底数，所以在上单调递减，又因为所以，因为，定义域为，底数，所以在上单调递减，又因为，所以，综上所述：.故选：B.8.对于函数和，设，若存在使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到，由“零点相邻函数”的定义可知，故在区间上存在零点，即在上存在实数根，参变分离，求出函数的值域，从而求出参数的取值范围.【详解】是R上单调递增，且，据此可知，结合“零点相邻函数”的定义可知，则，故在区间上存在零点，即上存在实数根，整理可得，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，故，故实数的取值范围为.故选：D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.是的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的单调递减区间为D.函数且的图象恒过点【答案】AB【解析】【分析】利用充分、必要条件的性质和定义判断选项A；根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断选项B；利用反比例函数的单调性判断选项C；利用指数函数的性质判断选项D．【详解】A选项，若成立，则一定成立，所以能推出；若成立，不一定有成立，例如，所以不能推出；所以，是的必要不充分条件，A选项正确；B选项，原命题结论为“”，否定后为“”，所以否定是“”，B选项正确；C选项，函数在和上单调递减，但不能合并为一个区间，如，不满足在和上分别单调递减，C选项错误；D选项，令，即，此时，所以函数图象恒过点，不是，D选项错误；故选：AB.10.已知点O是正方形ABCD的中心，从五个点中随机选取两个不同的点，构成一个向量，记样本空间为，则下列说法正确的是（）A.样本空间包含的样本点总数为10 B.向量与向量相等的概率为C.向量的模等于正方形边长的概率为 D.向量与向量共线的概率为【答案】BCD【解析】【分析】根据向量的定义写出样本空间判断A，根据所给事件包含的样本点个数，利用古典概型求概率判断BCD.【详解】由题意，,所以样本空间包含的样本点总数为20，故A错误；向量与向量相等，包含2个样本点，，所以，故B正确；向量的模等于正方形边长，包含的样本点为，共8个样本点，所以，故C正确；向量与向量共线，包含的样本点为,共6个样本点，所以，故D正确.故选：BCD11.已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（）A.在是减函数B.C.当时，D.不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，求得的图象关于对称，且的周期为，再由，求得，得到时，，结合对数函数图象与性质，结合对称性和周期性，逐项分析判断，即可求解.【详解】由函数满足，可得函数为奇函数，图象关于原点对称，又由函数为偶函数，设，可得，则，所以的图象关于对称，即，因为，所以，即，则，所以，所以是周期为的周期函数，当时，，可得，解得，即当时，，对于A，由时，，可得在上单调递增函数，因为函数关于对称，所以在上单调递减函数，所以A正确；对于B，因为是周期为的周期函数，且关于对称，可得，，所以，所以B错误；对于C，当时，可得，因为为奇函数，且当时，，所以，所以C正确；对于D，因为是周期为的周期函数，只需考虑一个周期的解集，取，当，可得，则，所以的解集为，因为的图象关于对称，所以在上，的解集也为；当，，令，即，解得，所以的解集为，因为的图象关于对称，所以在上，的解集也为，所以在一个周期上，不等式的解集为，因为的周期为，所以的解集为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.求值：__________．【答案】【解析】【分析】根据指数和对数运算求得正确答案.【详解】原式.故答案为：.13.在一个智能机器人实验中，机器人在三个充电站之间移动（三个充电站呈正三角形分布），每次移动时，机器人会随机选择移动到相邻的两个充电站之一．由于程序设置，机器人按顺时针方向移动的概率是按逆时针方向移动概率的3倍．假设机器人初始位置在充电站，则机器人移动三次后恰好回到充电站A的概率是__________.【答案】##0.4375【解析】【分析】从出发，经过三次移动最后回到路径有，，分别求得概率，相加得到答案.【详解】如图，由题意可得从到，从到，从到的概率为，从到，从到，从到的概率为，从出发，经过三次移动最后回到的路径有，，①的概率为；②的概率为；所以，从出发，经过三次移动最后回到的概率为；故答案为：.14.已知函数，其中［］表示不超过的最大整数.下列四个结论：①的定义域为；②方程没有实数根；③函数的值域为；④存在实数，使得当且时，都有.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②③④【解析】【分析】取特殊值得①错误；由得，所以没有实数根，②正确；令，，结合的单调性求得的值域，③正确；取，令，由，得，，此时，都有，④正确.【详解】①当时，，无意义，故①错误；②令得，而，，故方程没有实数根，②正确；③，令，则，，，所以，因为，，当时，随着的增大而增大，所以，所以，因此，即的值域为，③正确；④取，，，由得，令，则，由，得，而，当，，此时，，，，都有，④正确；故答案为：②③④.四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.设全集为，集合，集合.（1）若，求集合A、B；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式解法求解集合A，根据分式不等式的解法求解集合B.（2）根据列出不等式组求解的取值范围.【小问1详解】当时，；，即，即，解得，所以.【小问2详解】根据题意可得：，且，，，解得，所以实数的取值范围是.16.DeepSeek、豆包等国产人工智能的广泛应用，给人们生活带来了便捷．某网站组织了人工智能知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份，将其成绩作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分），分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本的分位数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩是66，方差是4，求成绩在内的平均数和方差.【答案】（1）0.030；（2）84；（3）平均数是62，方差是37.【解析】【分析】（1）由小矩形面积之和为，解得的值；（2）由百分位数的计算公式计算得到分位数；（3）由平均数、方差计算公式得到平均数和方差.【小问1详解】因为小矩形的面积之和为1，所以，解得；【小问2详解】成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设分位数为，则，由，得，故分位数为84；【小问3详解】由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为，故，所以成绩在内的平均数是62，方差是37.17.在学校的传统文化课上，甲、乙两名同学进行投壶比赛．规则如下：两人轮流向壶中投箭，甲先投．谁先投中谁就获得胜利，且比赛立即结束．若每人都投了3次仍未投中，则视为平局，比赛也结束．已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投箭是否投中相互独立.（1）求比赛在完成次投箭时结束的概率；（2）求乙获得比赛胜利的概率；（3）求比赛结束时，乙恰好投了次箭的概率.【答案】（1）（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用独立事件乘法，；（2）分别求三种情况的概率，再相加；（3）分别求两种情况的概率，再相加.【小问1详解】记“甲第次投中”为事件，其中，“乙第次投中”为事件，其中，记“比赛在完成3次投箭时结束”为事件，∴由相互独立事件的概率计算公式知所以比赛在完成3次投箭时结束的概率为；【小问2详解】记“乙获得比赛胜利”为事件，∴由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式知所以乙获得比赛胜利的概率为；【小问3详解】记“乙恰好投了2次箭”为事件，∴由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式知所以比赛结束时，乙恰好投了2次箭的概率为.18.已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并用定义证明的单调性；（3）若，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）在上是减函数，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由是定义域为的奇函数，结合和，列出方程，即可求解；（2）化简函数