四川巴中市2025-2026学年八年级上学期期末测试数学试题(北师大版)（试卷+解析）

2025年秋八年级期末考试数学（北师版）试卷（满分150分120分钟完卷）注意事项：1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚．2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效．3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师．一、选择题（每小题，共40分）1.下列实数中是无理数的为（）A. B. C. D.2.下列各组数能作为直角三角形三边长的是（）A.6，7，8 B.9，12，15 C.12，35，36 D.，，3.下列命题中，真命题有（）个①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活．A.1 B.2 C.3 D.44.点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（）A. B.2 C.4 D.5.下列说法正确的是（）A.的平方根是 B.64的立方根是4C.若，则 D.的算术平方根是56.一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（）A. B.C D.7.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（）A B.C. D.8.若，，则代数式的值是（）A. B.11 C.13 D.9.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）．现分别连接大、小正方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为10，较短直角边为6，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）A. B. C. D.10.2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（）①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④二、填空题（每小题，共1）11.若代数式有意义，则的取值范围是_____．12.若点，，均在一次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“<”符号连接）．13.已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为_____．14.在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）；明文数字→加密数字：若设明文数字为：①计算的算术平方根，取其整数部分为；②计算差值：；③加密数字为：．若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____．15.如图，是边长为6的等边三角形，三角形内部有一个动点满足，则周长的最小值为_____．三、解答题（8小题，共9）16.计算：（1）（2）17.如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）若，，求的面积．18.已知的算术平方根是4，是8的立方根．（1）求a，b的值；（2）求的值．19.某中学开展航空航天知识问答活动，为了解活动效果，分别从八年级1、2班随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．1班：65，75，75，85，89，91，93，95，98，100；2班：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100．八年级1、2班抽取学生的成绩统计表班级平均数中位数众数方差1班86.69075118.442班81.44（1）上表中，_____，_____，_____；（2）补全2班的箱线图；（3）请结合以上数据信息，评价八年级1、2班学生的成绩谁更优秀，要求用学过的统计量及其意义客观说明理由．20.我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具．活动第一天，卖出本课外书和本笔记本，共收入元；第二天，他以同样的定价卖出本课外书和本笔记本，共收入元．所有收入全部捐赠．（1）请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？（2）为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖．打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．请问第三天课外书是几折出售的？21.在平面直角坐标系中，已知点，，，，是否存在点P，使得，且，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．“逐步确定”策略是解决数学问题的重要思想，请根据此办法完成本题：第一步若，则点P横坐标的值为_____；第二步在第一步的基础上，求出满足的所有点P的坐标．22.问题情境：如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．方法回顾：小许回想到二次根式化简，；又，；所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．方法应用：（1）_____；问题解决：（2）_____；方法迁移：（3）计算：．23.如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，点在直线上．（1）求的值和直线的表达式；（2）如图2，过点作直线轴，若点在直线上，且满足，求点的坐标；（3）如图3，点在线段上运动，过点作垂线交轴于点，线段上有一点，使，求的最小值．24.综合与实践纸是国际标准纸张尺寸之一，它的长与宽之比为．神奇的是，将纸沿着长边中点所在直线对折一次，得到的两张纸，其长与宽之比也为，继续对折也有一样的结论．数学课上，老师组织了探究纸中的数学折叠问题的活动．（1）如图1，矩形表示一张A4纸，其中．将矩形沿长边中点所在直线对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，点在上，点在上，请说明矩形的长与宽之比也为．（2）小明在折纸过程中，按以下步骤折出了纸飞机步骤一：如图2，将纸张沿直线和对折，使得A、B两点落在直线上的点G处，得到图3．步骤二：如图4，将得到的图形沿直线、对折使得E、F在直线上，得到图5，纸飞机完成．①请证明步骤二中，折叠后E、F刚好与N点重合；②若原纸张长为，宽为1，请求出纸飞机机翼（即图5）的面积．（图6为纸飞机展开后，纸的折痕图）

2025年秋八年级期末考试数学（北师版）试卷（满分150分120分钟完卷）注意事项：1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚．2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效．3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师．一、选择题（每小题，共40分）1.下列实数中是无理数的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案；【详解】解：A、是无理数，该选项符合题意；B、是整数，是有理数，该选项不符合题意；C、是整数，是有理数，该选项不符合题意；D、是有限小数，是有理数，该选项不符合题意；故选：A．2.下列各组数能作为直角三角形三边长的是（）A.6，7，8 B.9，12，15 C.12，35，36 D.，，【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A．∵，，，∴该组不能作为直角三角形三边长，故不符合题意；B．∵，，，∴该组能作为直角三角形三边长．C．∵，，，∴该组不能作为直角三角形三边长．D．∵，，，∴该组不能作为直角三角形三边长，故选：B．3.下列命题中，真命题有（）个①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②声源振动越快，音调就越高；③若，那么；④病毒都不能独立生活．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查判断真假命题，涉及数学，物理、生物等知识，逐项判断真假即可．【详解】解：①∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，∴①是假命题；②∵声源振动越快，频率越高，音调越高，这是声学基本规律，∴②是真命题；③∵当时，，但，∴“若，那么”不成立，③是假命题；④∵病毒无细胞结构，必须寄生在活细胞内才能生活，不能独立生活，∴④是真命题；综上，真命题共2个，故选：B．4.点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可．【详解】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，又∵点关于y轴对称的点的坐标为，∴，，解得，，∴．故选：D．5.下列说法正确的是（）A.平方根是 B.64的立方根是4C.若，则 D.的算术平方根是5【答案】B【解析】【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，需根据相关定义逐一分析各选项的正误，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解此题的关键．【详解】解：A、是负数，负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意；B、，即64的立方根是4，故原说法正确，符合题意；C、当时，，，也满足，故原说法错误，不符合题意；D、，故的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意；故选：B．6.一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一次函数的系数和图像性质的关系，熟练掌握性质是关键；根据一次函数的图象经过第一、三象限，判断出，即或，再分别判断的图象即可．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，∴，∴、同号，即或，当时，的图象大致为；当时，，∴选项A符合题意，故选：A．7.古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键．根据题目中的两个等量关系分别列出方程，组成方程组即可．【详解】解：绫七尺、罗九尺，共价适等，，绫三尺、罗五尺共价二百八十文，，可列方程组为，故选项C符合题意．故选：C．8.若，，则代数式的值是（）A. B.11 C.13 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出、的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：D．9.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）．现分别连接大、小正方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为10，较短直角边为6，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何概率，勾股定理，求出阴影区域的面积是解题的关键；根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，标记字母，由题意可知，，，∴，∴，则中间小正方形的面积为，∴小正方形外阴影部分的面积为，∴阴影部分的面积为，∴针尖落在阴影区域的概率为，故选：D．10.2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（）①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断；对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度；对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可；对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可．【详解】解：对于①，由图可知，当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢，所以①错误；对于②，甲减速后的速度为（千米小时），所以②正确；对于③，乙的速度为（千米小时），根据题意，得解得所以当时，甲、乙两队相遇，所以③正确；对于④，设减速前甲队的函数关系式为，把代入，得，，减速前甲队的函数关系式为，设减速后甲队的函数关系式为，把，代入，得，解得，所以减速后甲队的函数关系式为，设乙队的函数解析式为，把代入，得，，所以乙队的函数解析式为，当时，令解得（舍去）；当时，令，，或，解得或，所以④正确；综上所述，说法正确的有②③④．故选：D．二、填空题（每小题，共1）11.若代数式有意义，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义条件，掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列出不等式求解即可．详解】解：代数式有意义，，解得．故答案为：．12.若点，，均在一次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“<”符号连接）．【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数的图象与性质；当一次函数的时，y随着x的增大而减小，即x值越大y值越小，比较各点x值大小可得y值大小关系．【详解】解：∵点，，均在一次函数的图象上，且，∴y随着x的增大而减小，即x值越大y值越小，∵，∴．故答案为：．13.已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出，再结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键．【详解】解：，由可得：，∵，∴，解得：，故答案为：．14.在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）；明文数字→加密数字：若设明文数字为：①计算的算术平方根，取其整数部分为；②计算差值：；③加密数字为：．若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查算术平方根，一元一次方程的应用；根据加密规则，对每个加密数字反向推算明文数字，再转换为字母即可．【详解】解：∵，，……，，∴，且为整数，∴，∵为的整数部分，∴，且为整数，∴，∴，当加密数字为34时，，当时，，解得：，∴，解得：，∵，∴整数部分正好3，符合题意，∴加密数字34对应的明文数字为13，对应的字母为M，当加密数字为10时，，当时，，解得：，∴，解得：，∵，∴整数部分正好是1，符合题意，∴加密数字10对应的明文数字为1，对应的字母为A，当加密数字为44时，，当时，，解得：，∴，解得：，∵，∴整数部分正好是4，符合题意，∴加密数字44对应的明文数字为20，对应的字母为T，当加密数字为24时，，当时，，解得：，∴，解得：，∵，∴整数部分正好是2，符合题意，∴加密数字24对应的明文数字为8，对应的字母为H，综上：明文字母按序组成的单词为．故答案为：．15.如图，是边长为6的等边三角形，三角形内部有一个动点满足，则周长的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了等边三角形，面积桥，将军饮马，勾股定理等知识；先由等边三角形的边长求出等边三角形的高，再由同底三角形面积比等于高的比求出的高度，最后由将军饮马和勾股定理求出的最小值，最后求出周长的最小值【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交于点，作点关于直线的对称点为，连接，则为的最小值，∴周长的最小值为，∵是边长为6的等边三角形，∴，∵，∴为的中线，∴，∴，∵，设的高为,∴，∴，∵点关于直线的对称点为，∴，∵，点关于直线的对称点为∴在中，∴周长的最小值为

．故答案为：

．三、解答题（8小题，共9）16.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方运算，绝对值的性质，二次根式的加减、乘法及乘法分配律，解题的关键是正确进行相关运算．先进行乘方运算，化简绝对值，利用乘法分配律去括号，然后再进行合并即可；（1）先算乘方，绝对值和算术平方根，再算乘除和加减即可；（2）先利用乘法分配律和分母有理化化简计算，再合并计算即可．【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，．17.如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）若，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．（1）先由等边对等角得到，然后证明，则，继而等量代换即可证明；（2）先证明为等边三角形，然后勾股定理求解，再由三角形面积公式求解．【小问1详解】解：又在与中；【小问2详解】解：由（1）知又为等边三角形在中，．18.已知的算术平方根是4，是8的立方根．（1）求a，b的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是关键．（1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可；（2）先对每个二次根式分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可．【小问1详解】解：的算术平方根为4，是8的立方根，；，；；【小问2详解】解：；，原式．19.某中学开展航空航天知识问答活动，为了解活动效果，分别从八年级1、2班随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．1班：65，75，75，85，89，91，93，95，98，100；2班：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100．八年级1、2班抽取的学生的成绩统计表班级平均数中位数众数方差1班86.69075118.442班81.44（1）上表中，_____，_____，_____；（2）补全2班的箱线图；（3）请结合以上数据信息，评价八年级1、2班学生的成绩谁更优秀，要求用学过的统计量及其意义客观说明理由．【答案】（1），88，88（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了画箱线图，平均数、中位数、众数，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键．（1）根据平均数，众数和中位数的计算方法进行求解即可；（2）根据数据补全2班的箱线图即可；（3）利用平均数和方差综合分析即可．【小问1详解】解：平均数；将2班数据由小到大排序为：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100，∴中位数；∵数据88出现的次数最多，∴众数；故答案为：，88，88；【小问2详解】解：根据数据补全2班的箱线图，如图所示，【小问3详解】解：八年级1，2班抽取学生成绩的平均数相同，但是2班成绩的方差小于1班成绩的方差，说明2班整体成绩波动相对1班小，稳定性好，说明八年级2班的成绩相对较好．（答案不唯一）20.我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具．活动第一天，卖出本课外书和本笔记本，共收入元；第二天，他以同样的定价卖出本课外书和本笔记本，共收入元．所有收入全部捐赠．（1）请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？（2）为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖．打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．请问第三天课外书是几折出售的？【答案】（1）每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元．（2）九折【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用．(1)设每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元，根据卖出本课外书和本笔记本，共收入元；卖出本课外书和本笔记本，共收入元，列方程组求解；(2)设第三天打折，根据打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．列一元一次方程求解．【小问1详解】解：设每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元，由题意得：，解得：，答：每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元；【小问2详解】解：设第三天打折，由题意得：，解得：，答：打折．21.在平面直角坐标系中，已知点，，，，是否存在点P，使得，且，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．“逐步确定”策略是解决数学问题的重要思想，请根据此办法完成本题：第一步若，则点P的横坐标的值为_____；第二步在第一步的基础上，求出满足的所有点P的坐标．【答案】3；或【解析】【分析】本题考查了坐标与图形的综合问题，全等三角形的判定与性质，分情况讨论是关键．（1）根据三角形全等，可知，，即知点P在线段和的垂直平分线上，即可求得答案；（2）设，分P点在四边形内部和下方两种情况讨论，分别根据列方程求解即可．【详解】解：，，，点P在线段和的垂直平分线上，点P的横坐标的值为．故答案为：3．设，，点P可分两种情况：①当P点在四边形内部时，，，又，，，，；②当P点在四边形下方时，，，又，，，，；综上所述：或．22.问题情境：如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．方法回顾：小许回想到二次根式化简，；又，；所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．方法应用：（1）_____；问题解决：（2）_____；方法迁移：（3）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键．（1）将配方成，即可得到答案；（2）将配方成，即可得到答案；（3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可．【详解】（1）解：．故答案为：．（2）解：．故答案为：．（3）解：原式．23.如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，点在直线上．（1）求的值和直线的表达式；（2）如图2，过点作直线轴，若点在直线上，且满足，求点的坐标；（3）如图3，点在线段上运动，过点作的垂线交轴于点，线段上有一点，使，求的最小值．【答案】（1），（2）或（3）5．【解析】【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求