云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷（试卷+解析）

云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，则集合中元素的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.33已知随机事件和相互独立，且，则（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.94.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：零件数个1020304050加工时间4050607090由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（）A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.45.已知向量满足，则最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.16.已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（）A. B. C. D.7.已知函数的最小值为，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（）A.4 B. C.6 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知中，内角所对的边分别为，则（）A.B.C.的面积为D.外接圆的面积为10.已知函数，则（）A.函数在上单调递减B.曲线在点处的切线方程为C.恒成立D.恒成立11.已知椭圆的左，右顶点分别为是上位于第一象限内的一点，直线分别与轴交于点为坐标原点，则（）A.的离心率为B.C.若是的上顶点，则存在点，使得是线段的中点D.当四边形的面积最大时，点的横坐标为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点，则__________.13.已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________.14.已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的值域.16已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围.17.如图，在直三棱柱中，是上靠近点的五等分点.（1）证明：平面；（2）若是四棱锥的外接球的球心，求直线BO与平面所成角的正弦值.18.小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为．（1）求；（2）当奇数时，证明：；（3）记，求数列的前项和.19.已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.（1）证明：圆与的准线相切；（2）证明：；（3）求.云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解.【详解】依题意，，由复数为纯虚数，得，解得，所以实数的值为.故选：A2.已知全集，集合，则集合中元素的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】求解一元一次不等式得到，再结合补集的性质求解即可.【详解】令，解得，而，则，因为，所以，则集合中元素的个数为3，故D正确.故选：D3.已知随机事件和相互独立，且，则（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9【答案】B【解析】【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案.【详解】因为事件和相互独立，，∴故选：B.4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：零件数个1020304050加工时间4050607090由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（）A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4【答案】B【解析】【分析】由表格中的数据求得样本数据的样本中心，代入回归方程，求得即可.【详解】由题意得，，因为经验回归直线必过点，即点，所以可得，解得.故选；B5.已知向量满足，则的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】利用数量积的定义得，根据数量积的运算律可得，进而求出最小值.【详解】由，得，而，则，，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：C6.已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知是腰长为的等腰直角三角形，于是得出圆心到直线的距离，可知直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆心为，半径为，易知，因为，所以是腰长为的等腰直角三角形，且，故圆心到直线的距离为，由题意可知直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.7.已知函数的最小值为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式确定当时的最小值为，再利用当时的最小值为并结合分离参数法求解参数范围即可.【详解】由题意得，当时，，由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时解得，此时的最小值为，符合题意，当时，可得，由题意得的最小值为，则，即恒成立，可得恒成立，令，解得，令，解得，令，解得，当时，可得恒成立，令，则恒成立，可得在上单调递增，此时，得到，当时，恒成立，符合题意，此时，当时，恒成立，由已知得，则在上单调递增，当时，，此时，综上，可得，即的取值范围为，故C正确.故选：C8.如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】分别取中点，求证平面平面，接着取中点求证四点唯一确定一个平面得到平面即为平面，再由题意得到动点的轨迹为平面四边形，求出四边形为等腰梯形即可计算求解.【详解】分别取中点，连接，则由正方体结构性质可知，，所以四边形、、均为平行四边形，所以，所以，因为平面，在平面外，所以平面，平面，又，所以平面平面，取中点，连接，则，则，所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面，所以由题意若平面，则动点轨迹为平面四边形，因为，所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为，由正方体结构性质可得面积为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知中，内角所对的边分别为，则（）A.B.C.的面积为D.外接圆的面积为【答案】AC【解析】【分析】利用二倍角公式判断A，利用余弦定理判断B，利用三角形面积公式判断C，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合圆的面积公式求解面积判断D即可.【详解】因为，所以由二倍角公式得，在中，可得，则，得到，解得，得到，故A正确，对于B，由题意得，由余弦定理得，解得（负根舍去），故B错误，对于C，由三角形面积公式得，则的面积为，故C正确，对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为，由正弦定理得，解得，由圆的面积公式得，则外接圆的面积为，故D错误.故选：AC10.已知函数，则（）A.函数在上单调递减B.曲线在点处的切线方程为C.恒成立D.恒成立【答案】BCD【解析】【分析】利用指数和对数的运算化简，再利用求导判断单调性，利用求导来求切线斜率，利用导数来证明不等式即可作出选项判断.【详解】由，得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故A错误；由，,可得在点处的切线方程为，故B正确；由，构造，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，即，故恒成立，故C正确；由，求导得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，即，则，当时,上式两边取对数可得:，则由，可知恒成立，故D正确.故选：BCD11.已知椭圆左，右顶点分别为是上位于第一象限内的一点，直线分别与轴交于点为坐标原点，则（）A.的离心率为B.C.若是的上顶点，则存在点，使得是线段的中点D.当四边形的面积最大时，点的横坐标为【答案】ABD【解析】【分析】利用椭圆的离心率公式判断A，作出符合题意的图形，并求出直线的方程，进而得到的坐标，进而结合在椭圆上求出定值判断B，利用中点坐标公式结合点在椭圆上建立方程组，求出进而判断C，将四边形面积合理拆分并将其表示为一元函数，利用导数求出其在处取得最大值，进而判断D即可.【详解】对于A，由题意得，则离心率为，故A正确，对于B，如图，作出符合题意的图形，连接，由题意得，，设，则，，可得的方程为，的方程为，对于，令，解得，即，对于，令，解得，即，得到，，故，因为是上位于第一象限内的一点，所以，化简得，则，故B正确，对于C，由题意得，若是线段的中点，则由中点坐标公式得，化简得，联立方程组，解得，即，此时不在第一象限，即不存在点，使得是线段的中点，故C错误，对于D，设四边形的面积为，由题意得，而，，则，因为，解得，可得，令，则，而，即，令，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取得最大值，即当四边形的面积最大时，点的横坐标为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点，则__________.【答案】##【解析】【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式、二倍角的正切公式计算得解.【详解】依题意，，所以.故答案为：13.已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】作出符合题意的图形，结合双曲线的定义对目标式合理转化得则即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点，作垂直于渐近线，连接，可得，由题意得，则，由双曲线的定义得，则，则，当且仅当共线时取等，因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线，由题意得渐近线方程为，由点到直线的距离公式得，则.故答案为：14.已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________.【答案】6108【解析】【分析】根据给定条件，结合对数运算法则求出数列的前项和，再找到使其为正整数的，进而求和即得.【详解】依题意，数列前项和，由正整数为数列的“好数”，得，且为正整数，由，得，由，得，即，而数列是递增数列，，因此，在内所有的好数之和为.故答案为：6108四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的值域.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式结合辅助角公式化简原函数，再利用最小正周期公式求解最小正周期即可.（2）利用整体代入法求解单调区间即可.（3）利用给定的自变量范围并结合正弦函数的性质求解值域即可.【小问1详解】由题意得，则函数的最小正周期为.【小问2详解】令，解得，令，解得，综上可得，的单调递增区间为，的单调递减区间为.【小问3详解】因为，所以，则，即函数在区间上的值域为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，分和两种情况讨论其单调性；（2）结合第一问分和两种情况讨论，应用单调性结合最小值及零点存在性定理可判断零点个数；【小问1详解】函数，定义域为，则，若，则，故函数在上单调递增，若，则得；得，故函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，函数在上单调递增，故函数至多有一个零点；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且最小值为，，若函数有且仅有两个零点，则，，所以，即，当时，函数在上有一个零点，且函数在内有一个零点，所以当时，函数有且仅有两个零点.17.如图，在直三棱柱中，是上靠近点五等分点.（1）证明：平面；（2）若是四棱锥的外接球的球心，求直线BO与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）分别求证、即可由线面垂直判定定理求证平面；（2）求出圆心位置，建立适当空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可得解.【小问1详解】由题可得，所以，即，又由直棱柱性质可知平面，平面，所以，因为且平面，所以平面；【小问2详解】分别取中点，连接，则，所以平面，由（1）可知即，连接交于点O，则且为中点，，则由题意可知四棱锥的外接球的球心为点O，取中点，则点为外接圆圆心，连接，则平面，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，为平面的一个法向量，所以直线BO与平面所成角的正弦值为.18.小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为．（1）求；（2）当为奇数时，证明：；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，再由二项分布的概率公式计算可得；（2）先设，将所证不等式转化为，再结合二项分布的概率公式即可证明；（3）由二项分布的期望公式可得，进而可得，再结合分组求和可得.【小问1详解】因为每次抛掷硬币正面朝上的概率为，且