高级奥数演算题目及答案

高级奥数演算题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

题型及格式参考：

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.如果函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)和(2,3)，且对称轴为x=1.5，那么a的值是多少？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则a的值是多少？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

4.若复数z=1+i，则z^3的值是多少？

A.-2

B.2

C.-2i

D.2i

5.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=5，则a_10的值是多少？

A.9

B.10

C.11

D.12

6.圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l的位置关系是？

A.相交

B.相切

C.相离

D.重合

7.若函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2，则x的取值范围是？

A.[0,π/4]

B.[π/4,π/2]

C.[π/2,π]

D.[π,3π/2]

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=6，则边AC的值是多少？

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

9.若抛物线y^2=2px的焦点为(1,0)，则p的值是多少？

A.2

B.-2

C.1

D.-1

10.在五边形ABCDE中，若角A=108°，角B=108°，角C=108°，角D=108°，角E=108°，则五边形ABCDE的形状是？

A.正五边形

B.平行四边形

C.梯形

D.不规则五边形

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是多少？

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，集合B={x|x<4}，则A∩B的元素个数是？

3.函数f(x)=2^x-1在(0,+∞)上的值域是？

4.若复数z=2+3i，则|z|的值是多少？

5.在等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则b_2的值是多少？

6.圆O的方程为x^2+y^2=9，直线l的方程为x+y=5，则圆O与直线l的交点个数是？

7.若函数f(x)=tan(x)在(0,π/2)上单调递增，则x的取值范围是？

8.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边AC=4，则边BC的值是多少？

9.若椭圆的标准方程为x^2/9+y^2/4=1，则椭圆的焦距是多少？

10.在六边形ABCDEF中，若角A=120°，角B=120°，角C=120°，角D=120°，角E=120°，角F=120°，则六边形ABCDEF的形状是？

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增的有？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=log(x)

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

2.下列复数中，模长为5的有？

A.3+4i

B.1+i√24

C.-5

D.2i

3.下列数列中，是等差数列的有？

A.{a_n}，其中a_n=n+1

B.{b_n}，其中b_n=2^n

C.{c_n}，其中c_n=3n-1

D.{d_n}，其中d_n=n^2

4.下列命题中，正确的有？

A.圆的方程为x^2+y^2=r^2，则圆的半径为r

B.抛物线的方程为y^2=4px，则抛物线的焦点为(p,0)

C.椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，则椭圆的长轴为2a

D.双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，则双曲线的焦点为(±√(a^2+b^2),0)

5.下列函数中，在(0,π)上单调递减的有？

A.f(x)=cos(x)

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=log(x)

D.f(x)=tan(x)

6.下列图形中，是正多边形的有？

A.正三角形

B.正方形

C.正五边形

D.平行四边形

7.下列命题中，正确的有？

A.在等差数列中，若a_1=1，d=2，则a_10=19

B.在等比数列中，若b_1=2，q=3，则b_5=162

C.在等差数列中，若a_1=5，a_5=9，则d=1

D.在等比数列中，若b_1=1，b_4=16，则q=2

8.下列命题中，正确的有？

A.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=6，则△ABC是直角三角形

B.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边AB=4，则△ABC是等边三角形

C.在△ABC中，若角A=90°，角B=45°，边BC=6，则△ABC是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若角A=60°，角B=60°，边AC=4，则△ABC是等边三角形

9.下列命题中，正确的有？

A.在圆O中，若弦AB与弦CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED

B.在圆O中，若弦AB与直径CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED

C.在圆O中，若切线PA与弦AB相交于点A，则PA^2=PB·PC

D.在圆O中，若切线PA与直径CD相交于点A，则PA^2=PB·PC

10.下列命题中，正确的有？

A.在五边形ABCDE中，若角A=108°，角B=108°，角C=108°，角D=108°，角E=108°，则五边形ABCDE是正五边形

B.在六边形ABCDEF中，若角A=120°，角B=120°，角C=120°，角D=120°，角E=120°，角F=120°，则六边形ABCDEF是正六边形

C.在正方形ABCD中，若边AB=4，则对角线AC=4√2

D.在正三角形ABC中，若边AB=4，则高AD=2√3

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增。

2.集合A={x|x^2-4x+3=0}与集合B={1,2,3}相等。

3.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。

4.复数z=1+i的模长为√2。

5.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=9，则公差d=2。

6.圆x^2+y^2=4与直线x+y=4相切。

7.函数f(x)=tan(x)在(0,π/2)上单调递增。

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=6，则△ABC是直角三角形。

9.抛物线y^2=4x的焦点为(1,0)。

10.正五边形的每个内角为108°。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间。

2.已知集合A={x|x>1}，集合B={x|x<3}，求A∩B。

3.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值及取得最大值时的x值。

4.若复数z=a+bi，且|z|=5，求a^2+b^2的值。

5.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=10，求a_10的值。

6.求圆x^2+y^2=9与直线x+y=6的交点坐标。

7.求函数f(x)=tan(x)在(0,π)上的不连续点。

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度。

9.求抛物线y^2=8x的焦点和准线方程。

10.证明正五边形的每个内角都等于108°。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C解析：对称轴为x=1.5，即-b/2a=1.5，得到b=-3a。又因为图像经过点(1,2)，代入得2=a(1)^2+b(1)+c，即a-3a+c=2，得到c=2+2a。再代入点(2,3)，得3=a(2)^2+b(2)+c，即4a-6a+2+2a=3，解得a=1。

2.A解析：集合A={1,2}，集合B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则1在集合B中，得到a=1。

3.B解析：函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增，则a>1。

4.A解析：z^3=(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i，取实部得-2。

5.C解析：等差数列中，a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d。由a_1=1，a_5=5，得5=1+4d，解得d=1。则a_10=1+9(1)=10。

6.A解析：圆心到直线的距离小于半径，则相交。

7.A解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2时，x+π/4=π/2+2kπ，解得x=π/4+2kπ，k为整数。取k=0，得x∈[0,π/4]。

8.A解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。设BC=a，AC=b，AB=c。则a/sin60°=6/sin45°，解得a=6√2sin60°/sin45°=3√2。

9.A解析：抛物线y^2=2px的焦点为(1,0)，则p/2=1，解得p=2。

10.A解析：正五边形的每个内角都相等，且内角和为(5-2)×180°=540°，每个内角为540°/5=108°。

二、填空题答案及解析

1.-3解析：f'(x)=3x^2-a，在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3(1)^2-a=0，解得a=3。

2.2解析：A={2,3}，B=(-∞,4)，则A∩B={2}。

3.(1,+∞)解析：f(x)=2^x-1在(0,+∞)上单调递增，且f(0)=0，故值域为(1,+∞)。

4.5解析：|z|=√(2^2+3^2)=√13。

5.4解析：等比数列中，b_4=b_1q^3，由b_1=2，b_4=16，得16=2q^3，解得q=2。则b_2=b_1q=2(2)=4。

6.2解析：联立方程组x^2+y^2=9和x+y=5，消去y得2x^2+10x-16=0，解得x=1或x=-8。对应的y值分别为4和-3。故交点为(1,4)和(-8,-3)。

7.(0,π/2)解析：tan(x)在(0,π/2)上单调递增。

8.4√3解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB。设BC=a，AC=b。则a/sin60°=4/sin30°，解得a=4sin60°/sin30°=4√3。

9.2√5解析：椭圆的焦距为2√(a^2-b^2)=2√(9-4)=2√5。

10.正六边形解析：正六边形的每个内角都相等，且内角和为(6-2)×180°=720°，每个内角为720°/6=120°。

三、多选题答案及解析

1.A,C解析：f(x)=x^2在(0,+∞)上单调递增，f(x)=e^x在(0,+∞)上单调递增。

2.A,B解析：|3+4i|=5，|1+i√24|=√(1+24)=5。

3.A,C解析：{a_n}中a_n-a_(n-1)=n-(n-1)=1，是等差数列；{c_n}中c_n-c_(n-1)=3n-1-[3(n-1)-1]=3，是等差数列。

4.A,C,D解析：圆的半径为r，抛物线y^2=4px的焦点为(p,0)，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的长轴为2a，双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点为(±√(a^2+b^2),0)。

5.A,B解析：f(x)=cos(x)在(0,π)上单调递减，f(x)=-x^2在(0,+∞)上单调递减。

6.A,B,C解析：正三角形、正方形、正五边形都是正多边形。

7.A,B,C解析：等差数列中a_10=a_1+9d=2+9(2)=20，等比数列中b_5=b_1q^4=1(2^4)=16，等差数列中a_5=a_1+4d=5+4(1)=9。

8.A,C,D解析：由正弦定理和余弦定理，可求出各边长和角度，验证三角形类型。

9.A,B,C,D解析：均为圆的性质。

10.A,B,C,D解析：均为正多边形的性质。

四、判断题答案及解析

1.正确解析：f'(x)=3x^2>0，故单调递增。

2.正确解析：A={1,3}，B={1,2,3}，不相等。

3.正确解析：周期为2π。

4.正确解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

5.正确解析：a_5=a_1+4d，9=1+4d，解得d=2。

6.正确解析：圆心到直线距离为|0+0-6|/√(1^2+1^2)=3√2，小于半径2，相交。

7.正确解析：f'(x)=1/cos^2(x)>0，故单调递增。

8.错误解析：由正弦定