数学三角全解题目及答案

数学三角全解题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.在单位圆中，角α的终边与x轴正半轴重合，则sinα的值为

A.1

B.-1

C.0

D.无法确定

2.如果sinθ=1/2，且θ在第二象限，则cosθ的值为

A.√3/2

B.-√3/2

C.1/2

D.-1/2

3.已知cosα=-√3/2，且α在第三象限，则tanα的值为

A.√3

B.-√3

C.1/√3

D.-1/√3

4.函数y=2sin(3x+π/6)的周期为

A.π/3

B.π/2

C.2π/3

D.2π

5.函数y=cos(2x-π/4)在区间[0,π]上的最大值为

A.1

B.√2/2

C.-√2/2

D.-1

6.已知sinα+cosα=√2，则sin2α的值为

A.1

B.-1

C.0

D.2

7.函数y=tan(x-π/4)的图像关于哪条直线对称

A.x=π/4

B.x=-π/4

C.y=x

D.y=-x

8.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，则角C的度数为

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

9.已知sinA=3/5，cosB=5/13，且A和B均为锐角，则cos(A+B)的值为

A.33/65

B.63/65

C.23/39

D.37/65

10.函数y=sin^2(x)+cos^2(x)的值域为

A.[0,1]

B.[1,2]

C.[0,2]

D.R

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若sinθ=-4/5，且θ在第三象限，则cosθ的值为__________。

2.函数y=cos(2x+π/3)的最小正周期为__________。

3.在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，边a=1，则边b的长度为__________。

4.若tanα=1/√3，且α在第一象限，则sinα的值为__________。

5.函数y=2sin(3x-π/4)+1的振幅为__________。

6.已知sinα=1/2，cosβ=√3/2，且α和β均为锐角，则sin(α+β)的值为__________。

7.函数y=tan(x+π/4)的图像在点(0,1)处的切线斜率为__________。

8.在△ABC中，已知边a=2，边b=3，角C=60°，则角A的余弦值为__________。

9.若cosθ=1/2，且θ在第四象限，则tanθ的值为__________。

10.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)的简化形式为__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，周期为π的函数有

A.y=sin(2x)

B.y=cos(4x)

C.y=tan(3x)

D.y=sin(x/2)

2.下列关系中，正确的是

A.sin(π/4)=cos(π/4)

B.sin(π/3)>cos(π/6)

C.tan(π/6)=sin(π/6)/cos(π/6)

D.sin(π/2)=1

3.在△ABC中，下列条件能确定一个三角形的有

A.边a=3，边b=4，角C=60°

B.边a=5，边b=5，角C=90°

C.边a=2，边b=3，边c=4

D.边a=1，边b=2，角A=45°

4.下列函数中，在区间[0,π]上单调递增的有

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=-sin(x)

5.下列等式中，正确的是

A.sin^2(x)+cos^2(x)=1

B.sin(π-x)=sin(x)

C.cos(π+x)=cos(x)

D.tan(π/4)=1

6.函数y=sin(2x+π/3)的图像可以由y=sin(2x)的图像经过下列变换得到

A.向左平移π/3

B.向右平移π/3

C.向左平移π/6

D.向右平移π/6

7.在△ABC中，下列关系成立的有

A.sinA/sinB=a/b

B.cosA/cosB=b/a

C.tanA/tanB=a/b

D.sin^2A+cos^2A=1

8.下列函数中，图像关于原点对称的有

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=sin(-x)

9.下列关系式中，正确的是

A.sin(α+β)=sinα+sinβ

B.cos(α+β)=cosα+cosβ

C.sin(α-β)=sinα-sinβ

D.cos(α-β)=cosα-cosβ

10.函数y=sin^2(x)的图像可以由y=sin(x)的图像经过下列变换得到

A.上下平移1

B.上下平移-1

C.伸缩变换

D.反转变换

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.sin(α+β)=sinα+cosβ

2.cos(π/2-α)=sinα

3.tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

4.函数y=sin(2x)的周期为π

5.函数y=cos(2x)的图像关于y轴对称

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°

7.sin^2(α)+cos^2(α)=1对所有实数α成立

8.函数y=tan(x)在x=π/2处有间断点

9.若sinα=sinβ，则α=β

10.函数y=sin(x)+cos(x)的周期为2π

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知sinα=3/5，α为锐角，求cosα的值

2.函数y=cos(3x-π/4)的最小正周期是多少

3.在△ABC中，已知边a=2，边b=3，角C=60°，求边c的长度

4.若tanθ=1/√3，θ在第二象限，求sinθ的值

5.函数y=2sin(4x+π/3)的振幅是多少

6.已知sinα=1/2，cosβ=√3/2，α和β均为锐角，求sin(α+β)的值

7.函数y=tan(x-π/4)的图像关于哪条直线对称

8.在△ABC中，已知边a=4，边b=5，角C=60°，求角A的余弦值

9.若cosφ=-1/2，φ在第三象限，求tanφ的值

10.函数y=sin(x+π/4)cos(x-π/4)的简化形式是什么

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：角α的终边与x轴正半轴重合，说明α是0°或360°的整数倍，此时sinα的值为0。

2.D

解析：sinθ=1/2，且θ在第二象限，第二象限sin为正，cos为负。sin^2θ+cos^2θ=1，(1/2)^2+cos^2θ=1，1/4+cos^2θ=1，cos^2θ=3/4，cosθ=±√3/2。由于θ在第二象限，cosθ为负，故cosθ=-√3/2。

3.B

解析：cosα=-√3/2，且α在第三象限，第三象限cos为负，tan为负。cos^2α+sin^2α=1，(-√3/2)^2+sin^2α=1，3/4+sin^2α=1，sin^2α=1/4，sinα=±1/2。由于α在第三象限，sinα为负，故sinα=-1/2。tanα=sinα/cosα=(-1/2)/(-√3/2)=1/√3。由于α在第三象限，tanα为负，故tanα=-√3。

4.C

解析：函数y=Asin(ωx+φ)的周期为T=2π/|ω|。y=2sin(3x+π/6)，ω=3，T=2π/3。

5.A

解析：函数y=cos(ωx+φ)在区间[0,π]上的最大值为1。y=cos(2x-π/4)，当2x-π/4=2kπ，k为整数时，cos函数取得最大值1。在区间[0,π]上，x=π/8时，2x-π/4=0，cos(0)=1。故最大值为1。

6.A

解析：sinα+cosα=√2，两边平方得(sinα+cosα)^2=(√2)^2，sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=2。sin^2α+cos^2α=1，代入得1+2sinαcosα=2，2sinαcosα=1，sin2α=1。

7.A

解析：函数y=tan(x-π/4)的图像关于直线x=π/4对称。因为tan函数的图像具有周期性和对称性，y=tan(x-π/4)的图像是将y=tanx的图像向右平移π/4个单位得到的，所以对称轴也相应平移π/4，变为x=π/4。

8.A

解析：在△ABC中，内角和为180°。角A=60°，角B=45°，角C=180°-60°-45°=75°。

9.A

解析：sinA=3/5，cosB=5/13，A和B均为锐角。sin^2A+cos^2A=1，(3/5)^2+cos^2A=1，cos^2A=1-9/25=16/25，cosA=4/5（A为锐角，取正）。sin^2B+cos^2B=1，sin^2B=1-(5/13)^2=1-25/169=144/169，sinB=12/13（B为锐角，取正）。cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=(4/5)(5/13)-(3/5)(12/13)=20/65-36/65=-16/65。

10.A

解析：sin^2(x)+cos^2(x)=1是三角恒等式，对所有实数x都成立。函数y=sin^2(x)+cos^2(x)的值恒为1，值域为{1}。

二、填空题答案及解析

1.-3/5

解析：sinθ=-4/5，θ在第三象限。sin^2θ+cos^2θ=1，(-4/5)^2+cos^2θ=1，16/25+cos^2θ=1，cos^2θ=9/25，cosθ=±3/5。θ在第三象限，cosθ为负，cosθ=-3/5。

2.π

解析：函数y=cos(ωx+φ)的周期为T=2π/|ω|。y=cos(2x+π/3)，ω=2，T=2π/2=π。

3.√7

解析：在△ABC中，由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。a=1，b=√3，A=30°。1^2=(√3)^2+c^2-2(√3)c*cos30°，1=3+c^2-2(√3)c*(√3/2)，1=3+c^2-3c，c^2-3c+2=0，(c-1)(c-2)=0。c=1或c=2。若c=1，则a=c，角A=角C，角B=180°-2A=180°-2*30°=120°。若c=2，则角B=180°-60°-60°=60°。边b=√3，边c=2，角C=60°。由余弦定理b^2=a^2+c^2-2ac*cosB。3=1^2+2^2-2*1*2*cosB，3=1+4-4cosB，3=5-4cosB，4cosB=2，cosB=1/2。角B=60°。故边b=√7。

4.√3/2

解析：tanα=1/√3，α在第一象限。tanα=sinα/cosα=1/√3。sin^2α+cos^2α=1，(sinα/cosα)^2+sin^2α=1，(1/√3)^2+sin^2α=1，1/3+sin^2α=1，sin^2α=2/3。sinα=√2/3（α为第一象限角，sinα为正）。cosα=sinα/tanα=(√2/3)/(1/√3)=(√2/3)*(√3/1)=√6/3。

5.2

解析：函数y=Asin(ωx+φ)的振幅为|A|。y=2sin(3x-π/4)，A=2，振幅为2。

6.√2/2

解析：sinα=1/2，α为锐角，α=30°。cosβ=√3/2，β为锐角，β=30°。sin(α+β)=sin(30°+30°)=sin60°=√3/2。或者sinα=1/2，cosα=√1-sin^2α=√1-(1/2)^2=√1-1/4=√3/4。cosβ=√3/2，sinβ=√1-cos^2β=√1-(√3/2)^2=√1-3/4=√1/4=1/2。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(1/2)(√3/2)+(√3/4)(1/2)=√3/4+√3/4=√2/2。

7.1

解析：函数y=tan(x+π/4)的图像在点(0,1)处的切线斜率。y=tan(x+π/4)。求导y'=sec^2(x+π/4)。在x=0处，y'=sec^2(0+π/4)=sec^2(π/4)=(√2)^2/1=2。切线斜率为1。

8.3/5

解析：在△ABC中，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。a=2，b=3，角C=60°。a/sinA=b/sinB，2/sinA=3/sin60°，2/sinA=3/(√3/2)，2/sinA=6/√3，sinA=2√3/6=√3/3。角A=60°或角A=120°。若角A=60°，则角B=180°-60°-60°=60°。a/sinA=c/sinC，2/sin60°=c/sin60°，2=c。边c=2。角A=60°，角B=60°，角C=60°，为等边三角形。cosA=cos60°=1/2。若角A=120°，则角B=180°-120°-60°=0°。边b=3，边c=2，角B=0°，不构成三角形。故角A=60°，cosA=1/2。

9.-√3

解析：cosθ=1/2，θ在第四象限。cosθ=cosα，θ=360°-α。cosα=1/2，α=60°。θ=360°-60°=300°。tanθ=tan(360°-60°)=-tan60°=-√3。

10.1/2(sin2x+cos2x)

解析：y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)。利用两角和与差的正弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。sin(x+π/6)=sinxcos(π/6)+cosxsin(π/6)=sinx(√3/2)+cosx(1/2)=(√3/2)sinx+(1/2)cosx。cos(x-π/6)=cosxcos(π/6)+sinxsin(π/6)=cosx(√3/2)+sinx(1/2)=(√3/2)cosx+(1/2)sinx。y=[(√3/2)sinx+(1/2)cosx][(√3/2)cosx+(1/2)sinx]。展开乘积y=(√3/2)sinx(√3/2)cosx+(√3/2)sinx(1/2)sinx+(1/2)cosx(√3/2)cosx+(1/2)cosx(1/2)sinx=(3/4)sinxcosx+(√3/4)sin^2x+(√3/4)cos^2x+(1/4)sinxcosx=(3/4+1/4)sinxcosx+(√3/4)(sin^2x+cos^2x)=sinxcosx+(√3/4)(1)=sinxcosx+√3/4。利用二倍角公式sin2x=2sinxcosx。y=(1/2)sin2x+√3/4。利用二倍角公式cos2x=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x。y=(1/2)sin2x+(1/4)cos2x+(1/4)=(1/2)sin2x+(1/4)(2cos^2x-1)+(1/4)=(1/2)sin2x+(1/2)cos^2x-1/4+1/4=(1/2)sin2x+(1/2)cos^2x=(1/2)sin2x+(1/2)(1-sin^2x)=(1/2)sin2x+(1/2)-(1/2)sin^2x。y=(1/2)sin2x+1/2-(1/2)sin^2x=1/2(sin2x+1-sin^2x)=1/2(sin2x+cos2x)。或者利用辅助角公式。y=(1/2)sin2x+(√3/4)。令y=Asin2x+B=(1/2)sin2x+(√3/4)。令A=1/2，B=√3/4。利用sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。令A=π/3，B=π/6。sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/2。sin(π/3+π/6)=sin(π/2)=1。1=(√3/2)cos(π/6)+(1/2)sin(π/6)=(√3/2)(√3/2)+(1/2)(1/2)=3/4+1/4=1。所以y=(1/2)sin2x+(√3/4)=sin(2x+π/3)/2。利用sin(A/2)=(1+cosA)/2。y=(1+cos(2x+π/3))/2。利用cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB。cos(2x+π/3)=cos2xcos(π/3)-sin2xsin(π/3)=cos2x(1/2)-sin2x(√3/2)=(1/2)cos2x-(√3/2)sin2x。y=[1+(1/2)cos2x-(√3/2)sin2x]/2=1/2+(1/4)cos2x-(√3/4)sin2x。利用cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。令A=π/3，B=π/6。cos(π/3-π/6)=cos(π/6)=√3/2。1/2+(1/4)cos2x-(√3/4)sin2x=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)。y=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)。y=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)。y=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)。y=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)。y=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)=1/2+(1/4)cos(2x-π/3)=1/2+(1/4)cos(π/3-2x)。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。题中sin(α+β)=sinα+cosβ，错误。

2.对

解析：cos(π/2-α)=cosπcosα+sinπsinα=0*cosα+1*sinα=sinα。

3.对

解析：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。这是两角和的正切公式。

4.对

解析：函数y=sin(ωx+φ)的周期为T=2π/|ω|。y=sin(2x)，ω=2，T=2π/2=π。

5.对

解析：函数y=cos(ωx+φ)的图像关于y轴对称的条件是φ=kπ，k为整数。y=cos(2x)，φ=-π/4，不是kπ的形式。但cos(2x)=cos(-2x)，其图像关于x=0（即y轴）对称。

6.错

解析：在△ABC中，内角和为180°。角A=60°，角B=45°，角C=180°-60°-45°=75°。题目中给出的角C=75°是正确的。

7.对

解析：sin^2(α)+cos^2(α)=1是三角恒等式，对所有实数α都成立。

8.对

解析：函数y=tan(x)在x=kπ+π/2，k为整数处有垂直渐近线，即有间断点。x=π/2是其中一个间断点。

9.错

解析：若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或α=2kπ+π-β，k为整数。不一定有α=β。

10.对

解析：函数y=sin(x)+cos(x)的周期等于sin(x)和cos(x)中周期较小的那个，即2π。

五、问答题答案及解析

1.√19/19

解析：sinα=3/5，α为锐角。sin^2α+cos^2α=1，(3/5)^2+cos^2α=1，9/25+cos^2α=1，cos^2α=16/25，cosα=±4/5。α为锐角，cosα为正，cosα=4/5。

2.π

解析：函数y=cos(ωx+φ)的周期为T=2π/|ω|。y=cos(3x-π/4)，ω=3，T=2π/3。

3.√7

解析：在△ABC中，由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。a=1，b=√3，A=30°。1^2=(√3)^2+c^2-2(√3)c*cos30°，1=3+c^2-2(√3)c*(√3/2)，1=3+c^2-3c，c^2-3c+2=0，(c-1)(c-2)=0。c=1或c=2。若c=1，则a=c，角A=角C，角B=180°-2A=180°-2*30°=120°。若c=2，则角B=180°-60°-60°=60°。边b=√3，边c=2，角C=60°。由余弦定理b^2=a^2+c^2-2ac*cosB。3=1^2+2^2-2*1*2*cosB，3=1+4-4cosB，3=5-4cosB，4cosB=2，cosB=1/2。角B=60°。故边b=√7。

4.√3/2

解析：tanα=1/√3，α在第一象限。tanα=sinα/cosα=1/√3。sin^2α+cos^2α=1，(sinα/cosα)^2+sin^2α=1，(1/√3)^2+sin^2α=1，1/3+sin^2α=1，sin^2α=2/3。sinα=√2/3（α为第一象限角，sinα为正）。cosα=sinα/tanα=(√2/3)/(1/√3)=(√2/3)*(√3/1)=√6/3。

5.2

解析：函数y=Asin(ωx+φ)的振幅为|A|。y=2sin(4x+π/3)，A=2，振幅为2。

6.√2/2

解析：sinα=1/2，α为锐角，α=30°。cosβ=√3/2，β为锐角，β=30°。sin(α+β)=sin(30°+30°)=sin60°=√3/2。或者sinα=1/2，cosα=√1-sin^2α=√1-(1/2)^2=√1-1/4=√3/4。cosβ=√3/2，sinβ=√1-cos^2β=√1-(√3/2)^2=√1-3/4=√1/4=1/2。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(1/2)(√3/2)+(√3/4)(1/2)=√3/4+√3/4=√2/2。

7.x=π/4

解析：函数y=tan(x-π/4)的图像关于直线x=kπ+π/4，k为整数对称。当k=0时，对称轴为x=π/4。

8.3/5

解析：在△ABC中，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。a=4，b=5，角C=60°。a/sinA=b/sinB，4/sinA=5/sin60°，4/sinA=5/(√3/2)，4/sinA=10/√3，sinA=4√3/10=2√3/5。角A=60°或角A=120°。若角A=60°，则角B=180°-60°-60°=60°。a/sinA=c/sinC，4/sin60°=c/sin60°，4=c。边c=4。角A=60°，角B=60°，角C=60°，为等边三角