安徽省合肥市2025-2026学年高三数学上学期第一次单元质量检测试卷含解析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，且，则等于（）A.－3或－1 B.-3 C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.【详解】因为集合，且，则或，所以或；当时，不合题意舍；当时，符合题意；故选：B.2.设，则“”是的（）条件.A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断.【详解】由题意或，而若，则有，所以肯定有或，取，即满足或，但是不满足，所以“”是的充分而不必要条件.故选：A.3.已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解.【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得.当时，则或，解得.综上，，即m的取值范围是.故选：C.4.已知正数、满足，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.【详解】由题意得，当且仅当时，即时，取得最小值9．故选：D.5.若函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可；【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D6.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.【详解】由题意，得，即，∴，解得.又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B.7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（）A.2 B. C.1 D.-1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值.【详解】当时，，令，则，，因此当时，，由函数是上的奇函数，，得，则，解得，所以.故选：C8.定义在上函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过已知，求出函数在上的解析式，然后画出图像，将函数在上的零点个数转化为直线与函数在上的图象的交点的个数，观察图像可得结果．【详解】解：设，则.因为时，，所以.因为，所以当时，同理可得当时，；当时，，此时最大值为时，，因为函数在上的零点个数等价于直线与函数在上的图象的交点的个数，结合的图象（如图），直线与函数在上的图象有个交点，即函数在上有个零点.故选C.【点睛】本题考查函数零点个数问题，其中将零点个数转化为函数图像的交点个数问题你二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.“至少有一个，使成立”是全称量词命题C.“”是真命题D.“”的否定是真命题【答案】AD【解析】【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，D.【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确；“至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误；当时，，，C选项错误；当时，，所以“”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确；故选：AD.10.若，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得，根据可判断A；，利用“乘1法”可判断B；根据可判断C；可化为，利用基本不等式可判断D.【详解】∴，A正确；，当且仅当时等号成立，B正确；，解得错误；，由题意知，，则，当且仅当时等号成立，D正确.故选:ABD.11.设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（）A. B.在上为减函数C.为奇函数 D.方程有且仅有6个实数解【答案】ACD【解析】【分析】根据已知得到、，进而有，再利用对称性、周期性判断A、B、C，结合区间解析式及对称性和周期性化为函数与的大致图象，数形结合确定零点个数判断D.【详解】由，则函数为奇函数，即函数的图象关于点成中心对称，得，由，则函数为偶函数，即函数的图象关于直线成轴对称，得，两式相加可得，则，即，A，，故A正确；B，由周期性知，函数在区间与上图象相同，由函数的图象关于点成中心对称，则函数在区间与上的单调性相同，，当时，，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；C，由，则函数为奇函数，故C正确；D，由题意，作图如下：则函数与有且仅有个交点，所以有且仅有6个实数解，故D正确.故选：ACD第Ⅱ部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算法则计算即可求解.【详解】依题意，，故.故答案为：.13.设函数的定义域为，对于，正数都满足：．则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先求出定义域，再把恒成立转化为最值，根据函数单调性得出最大值，最后应用一元二次不等式求解.【详解】因为，所以，所以函数的定义域为，对于，正数都满足：．所以．因为函数单调递减，所以当时，，所以，所以，即或，则实数的取值范围是或，又，所以.故答案为：.14.定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知得，画出函数图象，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值.【详解】当时，解得或，由题意可得当或时，，当时，，即，作出的图象如图所示：当时，，令，解得，令，无解，当时，，令，解得，令，解得，当时，，令，解得，令，解得，由图知：当，时，的值域为，此时的最大值为；当，时，的值域为，此时，因为，所以最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可；（2）由题可知，列出不等式进行计算即可．【小问1详解】当时，或；∵，∴或；【小问2详解】∵“”是“”的充分条件，∴，∵，即，∴或，∴或，而，要使得，需有或，∴或．16.已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数．（1）求幂函数的表达式；（2）令，求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于原点对称进行求值；（2）利用（1）中得出函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，解得，又因，所以或或，当或时，为奇函数，图象关于原点对称；当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意；综上所述，【小问2详解】由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数，则由得，即，所以满足的实数的取值范围为.17.某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：（1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围；（2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间．【答案】（1）（2）耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时【解析】【分析】（1）由题意列不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可.（2）当时，利用基本不等式求解最小值，当时，利用二次函数性质求解最小值，然后比较即可求解.【小问1详解】当时，，由题意得，，即，解得，又，所以的取值范围为．【小问2详解】由题意得，设设备一天的耗电总量为，①当时，，当且仅当，即时，等号成立；②当时，，当时取得最小值15；因为，所以最小值为．答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时．18.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）设函数，求的零点；（3）求当时，函数的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解；（2）根据函数零点，对数运算求解；（3）将函数转化为二次函数求解值域；【小问1详解】由题意知，代入得；解得：，经检验，时，，故为奇函数.【小问2详解】，令得：，综上的零点为.【小问3详解】,设，，结合二次函数性质，对称轴，图象开口向上，当，；当时，，综上函数值域为.19.定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.（1）求的值；（2）判断并证明的单调性；（3）当时，解关于x的不等式.【答案】（1）（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）令可得；（2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性；（3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.【小问1详解】令，则,可得；【小问2详解】在上单调递减，证明如下：由已知，对于有成立，，令，则，所以，对有，故是奇函数，任取且，则，由已知有，又，得所以在上是减函数；【小问3详解】因为，所以，即，因