(教案)函数的应用（二）

22/22函数的应用（二）【第1课时】函数的零点与方程的解【教学目标】【核心素养】1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．（易混点）2．会求函数的零点．（重点）3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．（难点）1．借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养．【教学过程】一、新知初探1．函数的零点对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）<0．二、初试身手1．下列各图象表示的函数中没有零点的是（）A B C D答案：D解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点．2．函数y＝2x－1的零点是（）A．eq\f(1,2)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．2答案：A解析：由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2)．3．函数f（x）＝3x－4的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（－1，0）C．（2，3）D．（1，2）答案：D解析：由f（－1）＝－eq\f(11,3)<0，f（0）＝－3<0，f（1）＝－1<0，f（2）＝5>0，f（3）＝23>0，得f（x）的零点所在区间为（1，2）．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．答案：2解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c三、合作探究求函数的零点类型1例1：（1）求函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点；（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点．解：（1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2．所以函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))的零点为－3和e2．（2）由已知得f（3）＝0即3a－b＝0，即b＝3故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）．令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(1,3)．所以函数g（x）的零点为0和－eq\f(1,3)．规律方法函数零点的求法1．代数法：求方程f（x）＝0的实数根．2．几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．（1）f（x）＝x2＋7x＋6；（2）f（x）＝1－log2（x＋3）；（3）f（x）＝2x－1－3；（4）f（x）＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)．解：（1）解方程f（x）＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6．（2）解方程f（x）＝1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1．（3）解方程f（x）＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26．（4）解方程f（x）＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6．判断函数零点所在的区间类型2例2：（1）函数f（x）＝ln（x＋1）－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）（2）根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（）x－10123ex0.3712.727.3920.08x＋323456A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：（1）C（2）C解析：（1）因为f（1）＝ln2－eq\f(2,1)<0，f（2）＝ln3－1>0，且函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以函数的零点所在区间为（1，2）．故选C．（2）构造函数f（x）＝ex－x－3，由上表可得f（－1）＝0.37－2＝－1.63<0，f（0）＝1－3＝－2<0，f（1）＝2.72－4＝－1.28<0，f（2）＝7.39－5＝2.39>0，f（3）＝20.08－6＝14.08>0，f（1）·f（2）<0，所以方程的一个根所在区间为（1，2），故选C．]规律方法判断函数零点所在区间的三个步骤1．代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．2．判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．3．结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练2．若函数f（x）＝x＋eq\f(a,x)（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（）A．－2B．0C．1D．3答案：A解析：f（x）＝x＋eq\f(a,x)（a∈R）的图象在（1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f（1）＝1－2＝－1<0，f（2）＝2－1＝1>0．故f（x）在区间（1，2）上有零点，同理，其他选项不符合，选A．]函数零点的个数类型3探究问题1．方程f（x）＝a的根的个数与函数y＝f（x）及y＝a的图象交点个数什么关系？提示：相等．2．若函数g（x）＝f（x）－a有零点，如何求实数a的范围？提示：法一：g（x）＝f（x）－a有零点可知方程f（x）－a＝0有解，即a＝f（x）有解．故a的范围为y＝f（x）的值域．法二：g（x）＝f（x）－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f（x）的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．例3：已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4思路点拨：eq\x(\A\AL(构造函数f（x）＝a|x|0<a<1,与g（x）＝|logax|0<a<1))→eq\x(\A\AL(画出f（x）与,g（x）的图象))→eq\x(\A\AL(观察图象得,零点的个数))答案：B解析：函数y＝a|x|－|logax|（0<a<1）的零点的个数即方程a|x|＝|logax|（0<a<1）的根的个数，也就是函数f（x）＝a|x|（0<a<1）与g（x）＝|logax|（0<a<1）的图象的交点的个数．画出函数f（x）＝a|x|（0<a<1）与g（x）＝|logax|（0<a<1）的图象，如图所示，观察可得函数f（x）＝a|x|（0<a<1）与g（x）＝|logax|（0<a<1）的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2．母题探究1．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．解：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x及y＝|logax|（0<a<1）的图象如图所示．由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．2．若把本例条件换成“函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．解：由f（x）＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b．在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点．四、课堂小结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：（1）函数是连续的；（2）定理不可逆；（3）至少存在一个零点．2．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图象交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．五、当堂达标1．思考辨析（1）f（x）＝x2的零点是0．（）（2）若f（a）·f（b）>0，则f（x）在[a，b]内无零点．（）（3）若f（x）在[a，b]上为单调函数，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．（）（4）若f（x）在（a，b）内有且只有一个零点，则f（a）·f（b）<0．（）答案：（1）√（2）×（3）×（4）×2．函数f（x）＝2x－3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）答案：B解析：∵f（1）＝2－3＝－1<0，f（2）＝4－3＝1>0，∴f（1）·f（2）<0，即f（x）的零点所在的区间为（1，2）．3．对于函数f（x），若f（－1）·f（3）<0，则（）A．方程f（x）＝0一定有实数解B．方程f（x）＝0一定无实数解C．方程f（x）＝0一定有两实根D．方程f（x）＝0可能无实数解答案：D解析：∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管f（－1）·f（3）<0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解．4．已知函数f（x）＝x2－x－2a（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2－x－2．令f（x）＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2．即函数f（x）的零点为－1和2．（2）要使f（x）有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq\f(1,8)，所以a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞))．【第2课时】用二分法求方程的近似解【教学目标】【核心素养】1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．（重点）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．（难点）3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．（易混点）借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f（x）在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点（即函数在零点两侧符号相反），因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f（x）＝（x－1）2的零点就不能用二分法求解．2．二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0．（2）求区间（a，b）的中点c．（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c．（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）．二、初试身手1．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（）A．[－2，1]B．[－1，0]C．[0，1]D．[1，2]答案：A解析：∵f（－2）＝－3<0，f（1）＝6>0，f（－2）·f（1）<0，故可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算．2．用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（）A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001D．|a－b|＝0.001答案：B解析：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．答案：x3解析：因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．4．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0．5）＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：（0，0．5）解析：f（0．25）[∵f（0）<0，f（0．5）>0，∴x0∈（0，0．5），故第二次应计算f（0．25）．]三、合作探究二分法的概念类型1例1：已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（）A．4，4B．3，4C．5，4D．4，3答案：D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．规律方法判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．跟踪训练1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）A B C D答案：B解析：二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．用二分法求函数零点的近似值类型2探究问题1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．例2：求函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点（精确度0.01）．思路点拨：eq\x(确定初始区间)eq\o(――→,\s\up15(二分法))eq\x(定新的有解区间)eq\o(――――――→,\s\up15(检验精确度ε))eq\x(得零点近似值)解：确定一个包含负数零点的区间（m，n），且f（m）·f（n）<0．因为f（－1）>0，f（－2）<0，所以可以取区间（－2，－1）作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：端点（中点）端点或中点的函数值取值区间f（－1）>0，f（－2）<0（－2，－1）x0＝eq\f(－1－2,2)＝－1.5f（x0）＝4.375>0（－2，－1.5）x1＝eq\f(－1.5－2,2)＝－1.75f（x1）≈2.203>0（－2，－1.75）x2＝eq\f(－1.75－2,2)＝－1.875f（x2）≈0.736>0（－2，－1.875）x3＝eq\f(－1.875－2,2)＝－1.9375f（x3）≈－0.0974<0（－1.9375，－1.875）x4＝eq\f(－1.875－1.9375,2)＝－1.90625f（x4）≈0.3280>0（－1.9375，－1.90625）x5＝eq\f(－1.9375－1.90625,2)＝－1.921875f（x5）≈0.1174>0（－1.9375，－1.921875）x6＝eq\f(－1.9375－1.921875,2)＝－1.9296875f（x6）≈0.0105>0（－1.9375，－1.9296875）由于|－1．9296875＋1．9375|＝0．0078125<0．01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1．9296875．母题探究1．（变条件）求本例函数f（x）在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．解：因为f（－1）>0，f（－2）<0，且函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：端点（中点）端点或中点的函数值取值区间f（－1）>0，f（－2）<0（－2，－1）x0＝eq\f(－1－2,2)＝－1.5f（x0）＝4.375>0（－2，－1.5）x1＝eq\f(－1.5－2,2)＝－1.75f（x1）≈2.203>0（－2，－1.75）x2＝eq\f(－1.75－2,2)＝－1.875f（x2）≈0.736>0（－2，－1.875）x3＝eq\f(－1.875－2,2)＝－1.9375f（x3）≈－0.0974<0（－1.9375，－1.875）由于|－1.875＋1.9375|＝0.0625<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.9375．2．若将本例函数改为“f（x）＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？（精确度0．1）解：确定一个包含正数零点的区间（m，n），且f（m）·f（n）<0．因为f（0）＝－6<0，f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0，所以可以取区间（1，2）作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点（中点）端点或中点的函数值取值区间f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0（1，2）x1＝eq\f(1＋2,2)＝1.5f（1.5）＝－2.625<0（1.5，2）x2＝eq\f(1.5＋2,2)＝1.75f（1.75）≈0.2344>0（1.5，1.75）x3＝eq\f(1.5＋1.75,2)＝1.625f（1.625）≈－1.3027<0（1.625，1.75）x4＝eq\f(1.625＋1.75,2)＝1.6875f（1.6875）≈－0.5618<0（1.6875，1.75）由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以函数的正数零点的近似值可取为1.6875．规律方法利用二分法求方程近似解的过程图示四、课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间[a，b]上连续不断；（2）f（a）·f（b）<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．五、当堂达标1．思考辨析（1）二分法所求出的方程的解都是近似解．（）（2）函数f（x）＝|x|可以用二分法求零点．（）（3）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．（）答案：（1）×（2）×（3）×2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f（x）在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f（x）在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f（x）在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）＝0在[a，b]内的精确解答案：D解析：二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D．3．用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）·f（4）<0．取区间的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f（2）·f（x1）<0，则此时零点x0∈________（填区间）．答案：（2，3）解析：因为f（2）·f（3）<0，所以零点在区间（2，3）内．4．用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值时，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f（x）1.07940.1918－0.3604－0.9989由表中的数据，求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一个近似解（精确度为0.1）．解：因为f（1.25）·f（1.375）<0，故根据二分法的思想，知函数f（x）的零点在区间（1.25，1.375）内，但区间（1.25，1.375）的长度为0.125>0．1，因此需要取（1.25，1.375）的中点1.3125，两个区间（1.25，1.3125）和（1.3125，1.375）中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0．1，因此1.3125是一个近似解．【第3课时】函数模型的应用【教学目标】【核心素养】1．会利用已知函数模型解决实际问题．（重点）2．能建立函数模型解决实际问题．（重点、难点）3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点）通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养．【教学过程】一、新知初探1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）（3）指数函数模型y＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）（4）对数函数模型y＝mlogax＋n（m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1）（5）幂函数模型y＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）（6）分段函数模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2．建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原．这些步骤用框图表示如图：二、初试身手1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（）x45678910y15171921232527A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型答案：A解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A．2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（）A．300只B．400只C．600只D．700只答案：A解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100．所以x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300．3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）A．y＝0.3x＋800（0≤x≤2000）B．y＝0.3x＋1600（0≤x≤2000）C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000）D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）答案：D解析：由题意知，变速车存车数为（2000－x）辆次，则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）．4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．答案：7解析：设二次函数y＝a（x－6）2＋11，又过点（4，7），所以a＝－1，即y＝－（x－6）2＋11．解y≥0，得6－eq\r(11)≤x≤6＋eq\r(11)，所以有营运利润的时间为2eq\r(11)．又6<2eq\r(11)<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]三、合作探究利用已知函数模型解决实际问题类型1例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间？解：先设定半衰期h，由题意知40－24＝（88－24）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(20,h))，解之，得h＝10，故原式可化简为T－24＝（88－24）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))，当T＝32时，代入上式，得32－24＝（88－24）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))＝eq\f(8,64)＝eq\f(1,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，∴t＝30．因此，需要30min，可降温到32℃．规律方法已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．跟踪训练1．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系为：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，,－t＋10025≤t≤30.))（t∈N*）设该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系为Q＝40－t（0<t≤30，t∈N*），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解：设日销售金额为y（元），则y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，,t2－140t＋400025≤t≤30.))（t∈N*）①当0<t<25且t∈N*时，y＝－（t－10）2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900（元）．②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝（t－70）2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125（元）．结合①②得ymax＝1125（元）．因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．自建确定性函数模型解决实际问题类型2例2：牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）．（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；（2）求羊群年增长量的最大值．思路点拨：eq\x(畜养率)―→eq\x(空闲率)―→eq\x(\A\AL(y与x之间,的函数关系))eq\o(――→,\s\up15(单调性))eq\x(求最值)解：（1）根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))（0<x<m）．（2）对原二次函数配方，得y＝－eq\f(k,m)（x2－mx）＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，即当x＝eq\f(m,2)时，y取得最大值eq\f(km,4)．母题探究1．（变条件）若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？解：根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m))))（0<x<m）．2．（变结论）若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．解：由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m．因为当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2．又因为k>0，所以0<k<2．规律方法自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．拟合数据构建函数模型解决实际问题类型3探究问题1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．例3：某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f（x）（万件）如下表所示：x1234f（x）4.005.587.008.44（1）画出2015～2018年该企业年产量的散点图；（2）建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；（3）2019年（即x＝5）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？思路点拨：eq\x(描点)eq\o(――→,\s\up15(依散点图))eq\x(选模)eq\o(――→,\s\up15(待定系数法))eq\x(求模)eq\o(――→,\s\up15(误差))eq\x(验模)→eq\x(用模)解：（1）画出散点图，如图所示．（2）由散点图知，可选用一次函数模型．设f（x）＝ax＋b（a≠0）．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f（x）＝1.5x＋2.5．检验：f（2）＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f（4）＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．∴一次函数模型f（x）＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．（3）根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f（5）＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．规律方法函数拟合与预测的一般步骤：1．根据原始数据、表格，绘出散点图．2．通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．3．求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．跟踪训练2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未