2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题01 空间向量及其运算10大题型（解析版）

专题01空间向量及其运算10大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.知识点2：空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义与向量的方向相同的长度是的长度的倍与向量的方向相反，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律结合律，分配律知识点3：共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.知识点4：空间向量的数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;2、空间向量数量积的应用(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;3、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.4、数量积的运算：（1），.（2）(交换律)．（3）(分配律).知识点5：空间向量基本定理1、空间向量基本定理如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得2、基底与基向量如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．3、单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．4、正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点6：空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系（1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.（2）相关概念：O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分．画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),.2、空间向量的坐标表示（1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标．（2）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．3、空间向量的运算及坐标的关系设向量,那么向量运算坐标表示加法减法数乘数量积共线垂直向量长度向量夹角公式4、向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设．（1）；（2）；（3）若则【题型01空间向量的加减数乘运算】1．在空间四边形中，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由向量的加减运算法则可得：.故选：C2．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，作图见解析(2)，作图见解析(3)，作图见解析【详解】（1），向量如图所示.（2）；向量如图所示.（3），设是线段的中点，则.向量如图所示.3．（多选）如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A，由为的中点，则，在直四棱柱中，易知，所以，故A正确；对于B，由为的中点，则，在直四棱柱中，易知，，故B错误；对于C，由题意可得与的夹角为，且，则，故C正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．4．已知平行六面体，化简下列向量表达式(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意得.（2）由题意得.（3）由题意得5．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】如图，延长交于点，连接交于，连接，则四边形所求截面．取的中点，连接.∵，∴是△APC的中位线，∴为的中点．又分别为的中点，∴，则，即，∴为上靠近的三等分点，故．故选：B.【题型02空间向量的线性表示】1．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】.故选：A.2．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，则，由为的中点，则.所以.故选：A.3．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，设，所以，解得，则，则以为基底时的坐标是．故选：D．4．在四面体中，点，满足，，记，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，故.故选：D.5．如图，在正方体中，点E是的中点，点F在上，且.试用向量、与的线性组合表示.【答案】【详解】.故答案为：.【题型03空间向量的线性表示求参数】1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，连接，则．因为，即，故，因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得，所以，由空间向量的基本定理可得，解得，所以.故选：A.2．如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】是三棱锥的底面的重心，，由向量加法法则得，，，，而，，，，，则，故B正确.故选：B3．如图，已知空间四边形，其对角线是边上一点，且，为的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，为的中点，则，，又，由空间向量基本定理知，故选：C.4．（多选）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】CD【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：，化简得：，显然有，而，所以有，当，时，，所以选项A不可能；当，时，，所以选项B不可能；当，时，，所以选项C可能；当，时，，所以选项D可能，故选：CD5．已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为.【答案】【详解】因为、、、四点共面，根据共面向量定理的推论，对于空间中任意一点，存在实数使得，且满足，将题设条件与该定理对比，可知系数之和必须为，即，解得，故答案为：.【题型04空间向量的共线问题】1．已知向量，，且，则实数k的值为．【答案】/【详解】由，，则，因为，所以，解得，故答案为：2．已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为．【答案】【详解】设，由题可得，所以可得，则，解得：，故点的坐标为．故答案为：3．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】因为，，，所以，因为三点共线，所以存在唯一的实数使得，所以，解得，所以.故选：C.4．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B【详解】，B，C三点共线，，，解得，又由，得，由A，B，C三点共线知，，则.故选：B5．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【详解】以为空间向量的一组基底，则，因为，则，因为四点共面，所以，故．故选：B.6．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接,因为平面，平面，设，则，又平面，所以平面，故K为与平面的交点，又因为与平面交于点F，所以F与K重合，又E为的中点，G为平面的重心，因为点A，F，G三点共线，则又因为点E，F，H三点共线，则，,所以，解得，即，故.故选：C.【题型05空间向量的共面问题】1．若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【详解】A选项：，所以，，是共面向量；B选项：，所以，，是共面向量；C选项：，所以，，是共面向量；D选项：令，即，则，显然方程组无解，故，，不是共面向量．故选：D．2．已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为.【答案】【详解】、、，由，，，四点共面，则存在实数，使得，即有，解得.故答案为：.3．已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（

）A．与一定共线 B．与一定共面C．，，一定共面 D．与一定共线【答案】D【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确，对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确，对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确，对于D，与不一定共线，所以D错误.故选：D.4．已知三棱锥的体积为是空间内一点，，则三棱锥的体积是（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】，故，令，则，又，故点共面，故.故选：B5．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则.

【答案】【详解】由题知，设，则，又，且，因为，，，四点共面，所以，即，又因为，则，即，所以，所以，所以，所以，解得，故，所以，所以.故答案为：6．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面．【答案】证明见解析【详解】取，，，结合题图及已知，则，所以与共面，又，，所以与，共面，即四点共面.【题型06空间向量数量积的运算】1．已知，，且，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由.故选：B2．在空间直角坐标系中，，，，且，则．【答案】1【详解】在空间直角坐标系中，，，，则，又因为，所以，所以.故答案为：1.3．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是．【答案】【详解】先后抛掷两次正方体骰子，用数组表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数，则试验的样本空间为，其中共有36个样本点，由得，∴，满足题意的样本点共3个：，所以的概率.故答案为：.4．在平行六面体中，各棱长均为2，，则.【答案】0【详解】设向量，则，所以，又由，，所以.故答案为：.5．正四面体中棱长为2，为的中点，则．【答案】1【详解】为的中点，故，又，所以.故答案为：1.6．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1），．．点为的中点，．（2），，，．7．如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，.

(1)求证：平面；(2)若，，，为线段的中点.求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】【详解】（1）

取，连接，因为，由平行六面体的性质可得，取中点，连接，则由中位线的性质可得，又为中点，由平行六面体的性质可得且相等，所以四边形为平行四边形，可得，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，且平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，用它们表示，，则，，所以，所以．【题型07空间向量的模长】1．设，向量，，，且，，则（）A． B．C．3 D．4【答案】C【详解】因为向量，，，若，则，解得，所以；且，则，解得，所以；可得，所以.故选：C.2．设，，向量，，，且，，则等于.【答案】3【详解】因为，，，所以，因为，所以，得，故，故.故答案为：3．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（

）A．10 B．8 C．6 D．【答案】A【详解】由题意得，所以．因为，二面角的大小为，所以，．因为，所以，所以.故选：A.4．在平行六面体中，，且交平面于点，则.【答案】/【详解】根据题意，连接交于点，连接与交于点，在平行六面体中，∽，则，故，根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中，故，所以，所以.故答案为：5．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使得且.已知，则.【答案】或【详解】根据题意，可得，所以，两边平方，得，又，所以，又直线上分别取点和点，使得且，所以，，所以，又两条异面直线所成的角为，所以与的夹角为或，当与的夹角为时，，即，当与的夹角为时，，即，综上所述，的模为或.故答案为：或6．在空间直角坐标系中，已知．(1)若点满足，求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）设点，因为，，所以，则，解得，所以点，所以，故．（2）由已知得，，则，，，所以，则为锐角，所以，因此，故的面积为．7．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点.(1)设，试用向量表示；(2)求线段的长度.【答案】(1);(2).【分析】【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点，所以,，所以.（2）因为底面边长和侧棱长都等于2，所以，所以.【题型08空间向量的夹角】1．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角.【答案】【详解】由，的夹角为，且，得，，设与的夹角为，则，由于，故.故答案为：.2．点，若，的夹角为钝角，则的取值范围为.【答案】，且【详解】因为，所以，因为，的夹角为钝角，则，且不共线，所以且；则的取值范围为且；故答案为：且.3．三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（

）A． B． C． D．90°【答案】C【详解】设，，,，,所以和的夹角为.故选：C4．（多选）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（

）A．B．C．直线与所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为【答案】BCD【详解】对于A，令，则，所以，所以，故A错误；对于B：，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，取的中点，连接，因为，所以，则即为所求二面角的平面角，又因为，所以，故D正确．故选：BCD.5．已知空间中三点．(1)若，求a的值；(2)若与的夹角为，求a的值.【答案】(1)或(2)或【分析】【详解】（1）因为，所以，则．因为，所以，所以，即，解得或．（2）由（1）可知，则，．因为与的夹角为，所以，即，所以，解得或．6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，．是的中点．(1)用空间的一个基底表示；(2)求异面直线与所成角的余弦值；【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由题意，（2）因为底面是边长为1的正方形，，所以，则，，，，所以异面直线与所成角的余弦值为.7．在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则．【答案】或【详解】设正方体棱长为1，建系，由题意设，则,∵和都是单位向量，．，又．．答案：或【题型09投影向量】1．已知向量，则在方向上的投影向量坐标为.【答案】【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为.故答案为：2．在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为.【答案】【详解】向量在平面上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则，因，则.故答案为：.3．在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则.【答案】4【详解】若在上的投影向量为，即，则，解得.故答案为：44．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且.(1)求向量的坐标;(2)求在上的投影向量的坐标.【答案】(1).(2)【分析】【详解】（1）由题意可得，，故．（2）由（1）可知，所以，．所以在上的投影向量的坐标为．【题型10空间向量数量积的最值与范围】1．已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】A【详解】由题可知①，又②，①②联立，结合，得，.因为，所以当时，取得最大值为.故选：A2．空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【详解】由，可得，即，又因为，所以，所以，又，所以，所以，当时，的最小值为.故选：D.3．如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为.

【答案】8【详解】设的中点为，由，则，所以点落在以为球心，以1为半径的球上，在正八面体中，，则，而，则，所以的最大值为8.故答案为：8.

4．如图，长方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则..点在线段上运动，，且.，，，即，故选：A.5．如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，因为直线与平面没有公共点，所以平面，则，即，，所以，即当时，此时,取得最小值，最小值为.故选：A.6．如图，在正四棱柱中，，，，，设直线与所成角的大小为.①当时，；②若，则的取值范围是.【答案】；.【详解】由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，所以，，，①当时，，②当时，，所以，化简得，解得：.故答案为：；.7．已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，.(1)若三点共线，求的值；(2)若四点共面，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则，又，，所以即，解得，所以；（2）因为A，B，C，D四点共面，所以，即，于是有，解得，即，所以，当，时，取到最大值.一、单选题1．设x，，向量，向量，，且，，则（

）A． B．3 C．4 D．【答案】D【详解】由题意得，解得，，解得，则，，，则.故选：D.2．在四面体中，点G是的重心，设，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】如图所示：取AC的中点H，则，又，所以，故选：C3．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】，所以，因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，所以，所以.故选：C.4．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设向量在基底下坐标为，则.已知在基底下坐标为，即.所以，即，则：，所以向量在基底下的坐标是，故选：B.5．在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得,,所以.由,得,所以.故选：A.6．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，因为，所以，又因为四点共面，所以，解得，即.故选：A.7．如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，设，则，因为，则，即，所以，而，由二次函数的单调性可知，当时，，则.故选：B.二、多选题8．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面.选项A：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合.选项B：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.B不符合.选项C：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.C不符合.选项D：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.D符合.故选：AD.9．如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A：，正确；对于B：，错误；对于C：，正确；对于D：由选项AB知，，正确.故选：ACD10．在空间四边形ABCD中，，，则（

）A．若M为CD的中点，则B．直线AD与BC所成角的余弦值为C．D．空间四边形ABCD外接球的表面积为【答案】ACD【详解】对于A，若M为CD的中点，则，故A正确；对于B，因为，，所以由余弦定理得：，又，所以，故直线AD与BC所成角的余弦值为，故B不正确；对于C，因为，又，所以，则，故C正确