五年级数学长方体与正方体面积计算讲义

同学们，我们的生活中充满了各种各样的立体图形，比如书本、魔方、冰箱、骰子等等。这些物体有的是长方体，有的是正方体。当我们需要给一个长方体的盒子包上彩纸，或者计算一个正方体水箱需要多少铁皮时，我们其实就是在求这些立体图形的表面积。今天，我们就一起来深入学习如何计算长方体和正方体的表面积。一、认识长方体和正方体的面在学习表面积之前，我们首先要清晰地认识长方体和正方体的“面”。1.1长方体的面一个长方体，它有6个面。我们可以把它们分为三组：*前面和后面：这两个面的形状和大小是完全相同的。*左面和右面：这两个面的形状和大小也是完全相同的。*上面和下面：这两个面同样是形状和大小完全相同的。每个面都是什么形状呢？通常情况下，长方体的每个面都是长方形。但有时候，会有相对的两个面是正方形，而另外四个面是完全相同的长方形，这也是一种特殊的长方体。我们习惯上把长方体底面中较长的棱叫做长，较短的棱叫做宽，垂直于底面的棱叫做高。那么，长方体的前面（或后面）的大小就与长和高有关；左面（或右面）的大小就与宽和高有关；上面（或下面）的大小就与长和宽有关。1.2正方体的面正方体是一种特殊的长方体，它的12条棱的长度都相等。因此，正方体的6个面都是完全相同的正方形。我们把正方体的棱的长度叫做棱长。二、长方体的表面积计算2.1什么是表面积？一个立体图形所有面的面积总和，就叫做它的表面积。对于长方体来说，就是它6个面的面积加起来的总和。2.2长方体表面积的计算公式推导既然长方体有6个面，且相对的面面积相等，那么我们计算表面积时，是不是可以先算出每组相对面的面积，然后把它们加起来呢？*上面和下面的面积：每个面的面积是`长×宽`，那么两个面就是`长×宽×2`。*前面和后面的面积：每个面的面积是`长×高`，那么两个面就是`长×高×2`。*左面和右面的面积：每个面的面积是`宽×高`，那么两个面就是`宽×高×2`。所以，长方体的表面积=上面面积×2+前面面积×2+左面面积×2用字母表示，如果用`S`表示长方体的表面积，用`a`、`b`、`h`分别表示长方体的长、宽、高，那么：长方体表面积公式：S=a×b×2+a×h×2+b×h×2我们还可以把这个公式进行简化。观察一下，每一项都有一个“×2”，我们可以运用乘法分配律，把公式改写成：S=(a×b+a×h+b×h)×2这个公式更为常用，它表示先算出长方体三个不同面的面积之和，再乘以2，就得到了6个面的总面积。2.3长方体表面积计算示例例题1：一个长方体的礼品盒，长是8厘米，宽是5厘米，高是4厘米。如果要给这个礼品盒的表面包上一层彩纸（不计接头和损耗），至少需要多少平方厘米的彩纸？分析：这道题就是要求这个长方体礼品盒的表面积。我们已知长方体的长`a=8cm`，宽`b=5cm`，高`h=4cm`。解法一：分步计算每个面的面积再求和。上面和下面的面积和：`8×5×2=40×2=80`(平方厘米)前面和后面的面积和：`8×4×2=32×2=64`(平方厘米)左面和右面的面积和：`5×4×2=20×2=40`(平方厘米)表面积：`80+64+40=184`(平方厘米)解法二：运用简化公式计算。先算`a×b+a×h+b×h`：`8×5+8×4+5×4=40+32+20=92`(平方厘米)再乘以2：`92×2=184`(平方厘米)答：至少需要184平方厘米的彩纸。三、正方体的表面积计算3.1正方体表面积的计算公式推导正方体是特殊的长方体，它的所有棱长都相等，所有的面都是完全相同的正方形。那么，正方体的表面积该如何计算呢？正方体有6个面，每个面的面积都是`棱长×棱长`。所以，正方体的表面积就是6个这样的面的面积之和。如果用`S`表示正方体的表面积，用`a`表示正方体的棱长，那么：正方体表面积公式：S=a×a×6或者写成：S=6a²(读作：6a的平方，表示6乘以a乘a)3.2正方体表面积计算示例例题2：一个正方体的魔方，棱长是6厘米。现在要给这个魔方的表面贴上一层保护膜（不计接头和损耗），需要多少平方厘米的保护膜？分析：这道题是求正方体的表面积。已知正方体的棱长`a=6cm`。解答：根据公式`S=6a²``S=6×6×6`(这里第一个6是指6个面，后面的两个6是棱长)`=6×36``=216`(平方厘米)答：需要216平方厘米的保护膜。四、实际应用与拓展在实际生活中，我们遇到的长方体或正方体表面积问题，有时并不是计算完整的6个面。比如：*一个无盖的鱼缸，我们只需要计算它的5个面（没有上面）。*一个粉刷教室墙壁的问题，通常地面不需要粉刷，有时候还要扣除门窗的面积。*一个抽屉，可能只有5个面（没有上面）。所以，在解决这类问题时，关键是要仔细审题，明确究竟需要计算哪些面的面积之和。例题3：一个长方体形状的无盖玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？分析：“无盖”说明这个鱼缸只有5个面：下面、前面、后面、左面、右面。上面不需要计算。解答：方法一：计算5个面的面积之和。下面面积：`8×4=32`(平方分米)前面和后面面积和：`8×5×2=40×2=80`(平方分米)左面和右面面积和：`4×5×2=20×2=40`(平方分米)总面积：`32+80+40=152`(平方分米)方法二：先按6个面计算，再减去上面的面积。`(8×4+8×5+4×5)×2-8×4``=(32+40+20)×2-32``=92×2-32``=184-32``=152`(平方分米)答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃。温馨提示：遇到这类“缺面”的问题，一定要想清楚缺少的是哪个面，或者说，哪些面是不需要计算的。可以在草稿纸上简单画个示意图，帮助自己理解。五、巩固练习1.一个长方体的饼干盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？2.一个正方体的木箱，棱长是5分米。如果在它的表面涂漆，涂漆的面积是多少平方分米？如果每平方分米用漆0.02千克，那么共需要多少千克油漆？3.一个教室长8米，宽6米，高3米。要粉刷教室的天花板和四面墙壁，扣除门窗和黑板的面积18平方米。如果每平方米需要涂料0.2千克，一共需要涂料多少千克？解题小技巧：*拿到题目，先判断是长方体还是正方体。*找出相应的棱长数据（长、宽、