平面几何题的解题策略-以江苏省近三年中考压轴题为例

孙雯.美国佛罗里达州新版数学课程标准的特色与启示[J].上海教师,2024,(04):150-159.国内对平面几何解题的研究则是聚焦于实际教学实践展开。一方面，广大教育研究者根据教材、课标，剖析平面几何知识脉络，梳理出如三角形全等、相似，四边形性质与判定等核心知识点的常见题型和解题通法，为教师教学提供了理论支撑；另一方面，结合中考真题的深度研究层出不穷。诸多学者以各地中考压轴题为切入点，分析题目考察的知识点分布，挖掘其中所蕴含的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、转化与化归等在平面几何压轴题解题过程中的运用，进而提出针对不同题型的解题策略，如动点问题、折叠问题、最值问题等，这些研究成果直接反哺课堂教学，为学生提供解题的方向和道路，提升学生平面几何解题能力与数学综合素养。2.3相关理论基础2.3.1皮亚杰认知发展理论皮亚杰认知发展理论提出了儿童认知发展的四个阶段，分别是感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。每一阶段的儿童均具备其各自所处阶段的独有特点，且每一阶段的发展须在前一阶段的基础上才能得到进一步的发展和完善REF_Ref197526095\h周姣术,朱华.浅谈皮亚杰认知发展理论对当代教育教学的意义[J].学论,2017,(08):172-173REF_Ref197526095\h周姣术,朱华.浅谈皮亚杰认知发展理论对当代教育教学的意义[J].学论,2017,(08):172-173初中生处于形式运算阶段，其认知结构发展至抽象逻辑思维成熟形态。在这一时期的学生能够独立进行逻辑思考，在语言理解方面，他们开始掌握隐喻、直喻等修辞背后的深层含义，并具备较高水平的概念抽象与概括能力，能够主动构建系统化的知识框架。因此，开展概念式学习，研究平面几何解题策略能够有效促进学生从具象思维向抽象思维的跨越，助力其思维品质的全面提升。周姣术、朱华认为根据皮亚杰的理论，教育需要遵循儿童的认知发展阶段论，一方面，要充分尊重学生在各个认知发展阶段所呈现出的独特特点；另一方面，还要兼顾儿童思维在前一认知发展阶段与后一阶段之间的内在联系。基于此，教师应据此选择恰当的教育内容，有条不紊地开展教育教学活动。2.3.2波利亚解题理论波利亚是数学解题研究中极具影响力的人物，其代表作有《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》等，这些著作不仅体现了他独特的解题策略和思维方式，打破传统数学教育的桎梏，极大地推动了数学教育与思维研究领域的发展，至今仍对数学教育实践和学术研究产生着持续而深远的影响。在经典著作《怎样解题》中，波利亚构建起系统的解题方法论体系，将解题分为四个逻辑严密的步骤。首先是理解题目，学生需理解题目，精准剖析题目本质，即锁定未知量、梳理已知条件，并精准把握两者关联。其次拟定方案，观察未知量，找出未知量和已知条件的关系，通过联想过往解题经验，得到解题思路，拟定解题方案。然后执行方案，将拟定的思路转化为具体步骤，并且检查每一个步骤，确保步骤准确性。最后回顾，不仅要验证答案的准确性，更要对整个解题过程进行批判性反思。对答案以及解题过程进行反思并反问自己还有没有其他的解决方法，思考这个结果或方法是否可以在别的什么题目中利用。波利亚解题第二个步骤中“拟定方案”就是要掌握多种解题方法，懂得遇到题目如何处理，初中学生在学习平面几何阶段除了要重视基本知识、性质和定理的学习外，更不可忽视的是学会运用知识、性质和定理去解决平面几何问题，达到融会贯通。徐扬将初中平面几何教学与波利亚“怎样解题表”相结合，详细解读“怎样解题表”的四个阶段，并且详细划分了这四个环节的流程配有提示语REF_Ref197526119\hREF_Ref197526119\h徐杨.波利亚“怎样解题表”在初中平面几何教学中的运用[D].华中师范大学,2021.DOI:10.27159/ki.ghzsu.2021.004014.3.中考数学平面几何压轴题常见题型及解题策略3.1动态几何问题及其解题策略动态几何问题就是在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题。动态几何问题属于几何领域的一大难题，不仅考查学生的知识水平、理解能力，也很好地利用图形变换来挖掘学生学习数学的探究能力和综合素质。给出相应的解题策略，一方面可以帮助初中生在面对这类倍感棘手的问题时快速想到有效的解题思路；另一方面，也能为相关的解题策略理论体系增添新的内容REF_Ref197526299\h周义琴.初中生求解动态几何问题的典型错误及归因研究[D].西南大学,2015.。另外，提出有关动态几何问题的教学建议，教师能够助力学生更好地掌握该领域的核心内容与解题方法，提高教学效果。REF_Ref197526299\h周义琴.初中生求解动态几何问题的典型错误及归因研究[D].西南大学,20动点问题邹兴平学者认为所谓的“动点型问题”就是指图形中存在一个或多个动点通过线段、射线或圆弧上运动的一类开放性问题REF_Ref197526311\hREF_Ref197526311\h邹兴平.建立函数解析式解决动点问题赏析[J].数理化学习(初中版),2013,(06):13-14.动点最值问题（1）“将军饮马”问题将军饮马问题简化成简单数学语言就是如何在直线l上找一点P，使得同侧两点A、B到点P之间距离和最短，即PA+PB最小。解题策略：我们可以联系以往所学，“两点之间，线段最短”的知识，将其中任意一点关于直线l作对称，这样便将折线段转换为了直线段。不妨作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值。（2）“隐圆”问题“隐圆”问题，顾名思义即图形中明明没有出现圆，但是解题中必须用到圆的知识。“隐圆”问题可大致分为以下四类，解决此类问题的本质是根据圆的性质去倒推题目条件是否符合。如果遇到等长的共端点线段，则共端点即为圆心，线段即为圆的半径。表格SEQ表格\*ARABIC1“隐圆”问题的四种模型模型一：共端点等线段模型二：直角所对边是直径模型三：固定弦固定角模型四：四点共圆2．动点存在性问题动点存在性问题多为动点在几何图形或者二次函数上运动，当动点在二次函数上运动时，本质还是几何问题，题目询问当动点运动到何时时能与其他固定点构成平行四边形或者其他规则图形。压轴题中常出现三角形或四边形存在性问题，如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、长方形等图形。解题策略：我们需要灵活运用这些图形的有关性质，例如直角三角形的存在性问题可以用两个直角边所在直线的k值相乘为-1来解等，平行四边形利用中点是同一个点或者对边平行且相等的性质等。需要学生对问题进行层层分析，寻找出合理答案。3.1.2动线问题动线问题指直线、射线和线段在基本几何图形或平面直角坐标系中旋转、平移的运动产生的数学问题。遇到动线问题，需要牢记原始线段和运动后的线段长度是没有发生变化的，仅位置改变，因此可以根据运动位置，建立合适的几何模型。例如，当动线绕定点旋转时，可考虑利用圆的相关性质来解决问题，因为旋转过程中动点到定点的距离不变，符合圆的定义。同时考虑数形结合，将几何图形与代数方法相结合，通过建立坐标系，把几何问题转化为代数问题进行求解。例如，利用函数表达式来描述动线的运动轨迹，通过求函数的最值来解决几何中的最值问题。3.1.3动形问题动形问题即基本几何图形经过平移、折叠、旋转变换，使原有图形位置形态发生变化从而引起一系列的数量变化，在不变性和不变量中把握规律，探求关系。纵观江苏省近三年中考压轴题，多个城市将图形的旋转作为压轴考察。动形问题可以有效发展学生的几何直观、想象能力和逻辑推理能力等综合素质，全面考查学生分析问题和解决问题的能力，可以起到了良好的初高中衔接作用。图形的平移图形的平移即图形上每个点都沿着同一方向进行平行移动，解决图形的平移问题可以将图形拆成简单的线段或者点的移动来分析进而简化问题。图形的折叠“折叠”作为图形的三大运动之一，因其题型多样和变换灵活导致学生在紧张的考试过程中解有关“折叠”的问题极易产生浮躁的情绪REF_Ref197526371\hREF_Ref197526371\h徐飞雷.初中平面几何折叠问题解题策略[J].中学课程辅导(教师教育),2020,(07):72+8.图形的旋转在初中几何知识体系里，图形的旋转变换是极为关键的知识点，同时也是教学与学习中的重难点。旋转现象会衍生出多种多样的图形以及错综复杂的关系，这些内容的变化灵活且丰富，因此在考试中常常作为压轴题出现，用以区分学生的能力水平REF_Ref197526446\hREF_Ref197526446\h黄业雯.初中数学几何变换的典型问题研究[D].广州大学,2024.DOI:10.27040/ki.ggzdu.2024.002153.图形的旋转本质上也是一种全等变形，其主要考点有判断中心对称图形和图形绕固定点旋转从而产生的线段位置的变化。判断中心对称图形是一个较为简单的选择题，解决此类问题学生可以把试卷倒过来看，如果正看与倒看图形是一模一样，就可以确定是中心对称图形。3.2与基本图形有关的常见模型问题及其解题策略3.2.1相似三角形（1）“A”、“8”字型相似“A”字型相似是指在一个三角形中，有一条平行于一边的直线与另外两边相交，所构成的小三角形与原三角形相似；“8”字型相似是指两个三角形的对顶角相等，且对应边成比例。解题策略：当遇到图形中存在平行关系或对顶角相等的情况时，要考虑是否存在“A”、“8”字型相似。通过找出对应边的比例关系，结合已知条件来求解未知量。例如，已知在“A”字型相似中，平行线段分线段成比例，若已知部分线段的长度，可通过比例关系求出其他线段的长度。（2）母子型母子型相似是指一个直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形与原直角三角形都相似。解题策略：在直角三角形中，一旦出现斜边上的高，可以联想到“母子型相似”模型。基于相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，建立起各边之间的线段关系。其中最具代表性的就是射影定理（在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）。（3）三垂直相似三垂直相似是指在平面直角坐标系或几何图形中，存在三个直角，且这三个直角的顶点在同一条直线上，所构成的两个直角三角形相似。解题策略：当看到图形中有三个直角且共线时，可判断为三垂直相似模型。通过找出对应角相等和对应边成比例的关系，利用相似三角形的性质或勾股定理来求解。3.2.2全等三角形（1）手拉手模型手拉手模型是几何解题中极具代表性的重要模型。两个等腰三角形（或等边三角形、正方形等特殊图形）共享一个顶点，并且顶角相等。当其中一个三角形绕公共顶点旋转特定角度后，两组对应边所在的三角形构成全等关系。解题策略：在实际解题过程中，如果发现题目中存在存在公共顶点且顶角相等的特殊图形组合，应该优先考虑运用手拉手模型，利用全等三角形的判定定理来证明三角形全等。再进一步推导求解线段长度、角度大小等几何问题，从而实现复杂问题的有效突破。（2）一线三垂直模型一线三垂直模型是指在一条直线上有三个直角，且相邻两个直角的边互相垂直，通过构造全等三角形来解决问题。解题策略：当发现图形中有一条直线上存在三个直角时，可尝试构造一线三垂直模型。通过证明两个直角三角形的对应边和对应角相等，利用全等三角形的判定定理（如、等）来证明全等。然后根据全等三角形的性质求解线段长度或角度大小等问题。（3）半角模型半角模型是指在一个角中包含一个它的一半大小的角，通过旋转等变换构造全等三角形来解决问题。解题策略：当遇到一个角中存在半角的情况时，可考虑将图形进行旋转，使半角与其他角构成特殊的关系。然后利用全等三角形的性质，如对应边相等、对应角相等，来求解线段长度或角度大小等问题。3.2.3圆（1）垂径定理模型垂径定理模型是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理常应用于解决实际生活中的问题，如建筑设计、机械制造、测量等领域中的圆形物体相关问题。解题策略：当图形中出现圆的直径和垂直于弦的线段时，要想到垂径定理。利用垂径定理可以得到弦的中点、弧的中点等信息，再结合圆的半径、弦心距等，通过勾股定理来求解线段长度。同时，垂径定理还可以用于证明弧相等、弦相等、圆心角相等等问题。（2）圆周角定理模型圆周角定理模型是指在同一个圆中，同一条弧或相等弧所对应的圆周角大小相等，并且角度是该弧所对的圆心角度数的一半。解题策略：当图形中出现同弧或等弧所对的圆周角和圆心角时，可以联想到圆周角定理。通过寻找圆周角和圆心角的数量关系，结合题目已知条件来求解角度大小。同时，圆周角定理还可以用于证明三角形相似、线段相等、角度相等等问题。3.3线段关系问题及其解题策略线段关系问题我们可以分为位置关系和数量关系，位置关系有两线段平行和两线段垂直；数量关系又细分为两条线段之间的关系和三条线段之间的关系。同时，在压轴题中经常出现线段比值的问题，例如求比值的最值问题或者定值问题。3.3.1两条线段之间的关系两条线段的数量关系通常包括相等、倍数关系等。题目中可能会给出一些几何图形，如三角形、四边形等，通过图形的性质、全等三角形、相似三角形、平行四边形的性质等来隐藏线段之间的关系，需要学生仔细观察图形，挖掘已知条件，找出其中的联。解题策略：1.利用全等三角形。如果能证明两个三角形全等，那么对应边相等，可得出两条线段相等关系。2.借助相似三角形。当两个三角形相似时，对应边成比例，可得到线段的倍数关系。通过发现图形中的相似三角形，通过角的相等关系或平行关系来判定相似，再根据相似比求解线段关系。3.运用特殊图形性质。如等腰三角形两腰相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行四边形对边相等且平行等性质来确定线段关系。3.3.2三条线段之间的关系三条线段之间的关系更为复杂，常见的有和差关系（如勾股定理a2+b题往往需要综合运用多种几何知识，通过添加辅助线、构造全等或相似三角形等方法来解决。解题策略：1.构造全等或相似三角形，通过添加辅助线，构造出包含三条线段的全等或相似三角形，将三条线段的关系转化为三角形对应边的关系。2.利用勾股定理及其推广，直角三角形可直接运用勾股定理来建立三条边的数量关系。在非直角三角形中，可以通过作高将其转化为直角三角形，再利用勾股定理求解。3.借助线段的平移、旋转等变换，通过平移或旋转线段，将三条线段转化到一个特殊的图形中，以便利用图形的性质来求解它们之间的关系。3.3.3线段比值问题线段比值问题通常是在几何图形中，求两条或多条线段长度的比值。这类问题往往与相似三角形、三角函数等知识密切相关。题目中可能会给出一些角度信息、线段长度信息或图形的特殊性质，需要学生根据这些条件建立线段之间的联系，进而求出比值。解题策略：1.利用相似三角形性质，对应边成比例，这是解决线段比值问题的重要方法。准确找出图形中的相似三角形，根据已知条件求出相似比，从而得到线段的比值。2.运用三角函数。在直角三角形中，三角函数值等于相应边的比值。如果题目中给出了角度信息，可通过三角函数来建立线段之间的比值关系。已知角A的度数和一条边的长度，就可以通过三角函数求出其他边的长度，进而得到线段的比值。3.等积法。利用三角形面积的不同表示方法，得到线段之间的关系，从而求出线段比值。平面几何题解题策略在江苏省近三年中考压轴题中应用4.1各市中考平面几何题数据分析本节统计在江苏省近三年中考数学试题中平面几何相关题目分值占比，根据表格2.1可知占比均超过30%，诸多城市达到40%，尤其是多个城市常常将平面几何题作为区分学生数学水平层次的压轴题出现，聚焦平面几何，融合多个知识点，涵盖三角形、四边形、圆等诸多几何图形的复杂变换与综合运用，这些题目从不同维度考查学生对平面几何知识的深度理解与灵活运用能力。表格2江苏省近三年各市中考真题中平面几何题分值占比年份（年）城市（市）202420232022苏州34.6%37.0%36.9%无锡39.3%36.6%40.6%常州35.0%35.0%36.6%南京39.2%35.8%34.1%南通36.0%34.6%33.3%镇江35.0%35.8%32.5%扬州41.3%43.3%40.0%泰州40.0%38.6%40.0%宿迁35.3%37.3%42.7%淮安42.7%39.3%44.7%盐城36.7%37.3%40.0%徐州36.4%37.1%39.3%连云港35.3%34.7%36.7%同时，在宏观把握中考平面几何考察分值占比后，针对中考压轴题考察知识点进行了题型考察次数统计，由图表1可知，动点最值问题、线段数量关系问题、图形变换成为中考压轴题，本章将围绕这几个题型展开分析平面几何题的解题策略在压轴题中的应用。图表1近三年江苏中考数学压轴题平面几何考察题型次数统计图4.2解题策略在中考数学压轴题中应用4.2.1动点最值问题【2023徐州】28.如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=−3x2+23x的图象与x轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接（2）随着点E在线段BC上运动，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【分析】：要推测为与D、E相关线段长度是否存在最大值，一般需要找出该线段与其他已知线段或角度的关系。可通过三角形的相似、全等关系，或者利用函数关系来建立该线段长度的表达式。由于△OAB和△ABC都是等边三角形，所以存在较多的相等角和相等边，这为构造全等或相似三角形提供了条件；若能得到所求线段长度的函数表达式，可根据函数的性质（如二次函数的最值性质）来判断是否存在最大值以及求出最大值；也可以考虑利用几何图形的特殊位置来确定最值情况，比如当点E运动到某些特殊位置（如B点或C点）时，所求线段的长度可能会出现特殊值，通过分析这些特殊情况以及点在一般位置时的变化趋势，来判断是否存在最大值。经过尝试发现，这边借助三角函数最容易解得线段BF的最大值。【解析】：由BF=AB−AF=2−AF，可知当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大。因为△DAE是等边三角形，得到12∠DAE=30,∠OAD=60°−∠那么AF=AD×cos∠DAF=2×cos30°=【2022扬州】28.如图1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．（2）若AB=6．②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．【分析】：点D在BC边上由点C向点B运动过程中AE最小值，借助AE所在三角形ΔAED，由勾股定理可知AE【解析】：分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，由题目中∠ADE＝90°，可知∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，因为∠EHD＝∠AGD＝90°，通过三垂直模型得到△EHD∽△DGA，有三角形相似就可以得到边的关系AGDH=DGEH，转化得AG×EH=DH×DG。又因为∠BAC＝90°，∠C＝60°，得∠B=30°，所以AG=12AB=3，EH=12BE=12（6−AE)，所以DH×DG=3EH，通过勾股定理可以得到AE2=A4.2.2线段数量关系问题【2024连云港】27.【问题情境】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【分析】：题目要求以P为端点的四条线段之间的数量关系，即PA【解析】：如图①所示，由题目可知，得到边得关系a2=OF2d2=OE2+OH如图④，结合图形变换可得：PA2【2022徐州】28.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；【分析】：数量关系与位置关系两种关系，先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得数量关系PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；【解析】：说明数量关系是DG=PE，位置关系是DG⊥PE，理由如下：因为DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF，通过SAS可以得到三角形全等△GFD≌△CFE(SAS)，因此DG=CE。又因为E是PC的中点，得PE=CE，PE=DG；三角形全等△GFD≌△CFE得∠ECF=∠DGF。因为∠CEF=∠PEG，所以∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE。【2022淮安】：在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG【解析】：结论：DG如图，延长DG交EB'的延长线于点T，过点D作DR⊥GA'交设GC=GB'=x，CD=A'D=A'B'=2a，因为∠B=60°，得到∠A=∠DA'B'=120°，∠DA'R=60°，所以A'R=A'D⋅cos60°=a，DR=3a。在Rt△DGR中，则有2a+x2=3a4.2.3线段比值问题【2022徐州】28.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（4）求的最大值．【分析】：比值问题，不妨将两条线段都用同样线段表示出来，再考虑相除后是否能用基本不等式的方式来求得最值。此题也可采用建立直角坐标系的方式来通过二次函数表示出CH和CE，再通过基本不等式求解。【解析】：因为△GFD≌△CFE，可以得到∠CEF=∠CDH。又因为∠ECF=∠DCH，所以有相似△CEF∽△CDH，得CECD=CFCH，即CE⋅因为FC=12+x22，CE=12x所以根据基本不等式CH≤因此的最大值为2+12【2024宿迁】28.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．根据以上操作，得∠EBF=________°【深入研究】若AGAC=1k，请求出【分析】:连接BD，先证明△BED∽△BHC，则CHED=BCBD=22，由AGAC=1k，设AG=1,AC=k，则AB=BC=AC⋅cos∠4=2【解析】：如图，连接BD，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC，∠ABC=∠DAB=∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，又因为AC,BD是对角线，所以∠4=∠5=∠CBD=45°，通过∠EBF=45°，得∠2+∠3=∠1+∠2，∠1=∠3，得到△BED∽△BHC，CHED=BCBD。在Rt△BCD中，∠CBD=45°，所以cos∠CBD=BCBD=4.2.4图形变换问题1.图形的旋转【2024徐州】28.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P为边AB上的动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理由．【分析】此题以平行四边形为基本图形，首先要明确平行四边形的性质，其次线段PC为运动的线段，是典型的动线问题，较为困难的点在于第二小问中点P也开始在线段AB上运动，则要求我们在动中寻找静态的量。询问MN与AQ的长度是否发生变化，则可考虑以下几种思路。构造辅助线：尝试连接一些线段，比如连接DF、CF等，构造出与MN、AQ图形的平移【2023常州】28.如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF<AB），且点C、D、G、在直线AB的同侧；第二步，设置ABAD=m,EFEH=n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测（2）小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立．请说明理由；【分析】：当O恰为边AB的中点时，很明显是一个三垂直相似的模型，很容易得到△GOF∽△QOB，因而可以得到比值的关系，再用一次三垂直模型即可得出结论图形的折叠【2022淮安】27.在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．（1）A'D与B'E的位置关系是______；（2）连接B'C，判断∠DEC与【分析】：把握折叠问题关键是“对称”之后，针对2022年淮安的题（1）中线段A'D即翻折前的线段AB，线段B'E即翻折前BE。翻折前根据平行四边形的性质可知平行四边形中对边平行且相等，即可判断；第二小问连接B'C，BB'，由EB=EC=EB'可知点B、B'、C在以BC为直径,E【解析】：（1）在菱形ABCD中，AD∥BE，由翻折的性质可知，故答案为：A'（2）解：∠DEC=如图，连接B'C，因为E为BC中点，可知EB=EC=EB'，所以点B、B'、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，∠BB'C=90°，BB4.2.5动点存在性问题【2022常州】28.现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为【分析】：针对这类动点存在性问题，我们可以从题目需要构成的几何图形入手，例如上题题设中要求构成边长为4cm的菱形，菱形不仅拥有平行四边形对边平行且相等的性质，还具有四条边都等长。此类题目可以首先在图中先将C点假设存在画出C点任意位置，可以发现直径AB上的点P、Q与C点构成三角形，而点M、N构成的线段MN与点【解析】：小明的猜想错误，理由如下：如图，菱形MNQP的边长为4，过C点作CG∥NQ，交AB于点G，连接CO，在菱形MNQP中MN=QN=4，MN∥PQ，因为MN∥PQ，可知∆CMN~∆CAB，MNAB=CNBC，因为AB=12，MN=4，所以MNAB=CNBC=412=13，又因为BN=BC-CN，可知BNBC=23。因为CG∥NQ，NQ=4，有∆BQN~∆BGC，NQGC=BNBC=23=4GC，所以GC=6。因为AB=12，OC=65.教学启示与建议江苏近三年中考数学关于平面几何的压轴题具有知识点覆盖面积广、题型丰富多样、注重考查思维能力等特点，导致众多学生在解题时遭遇各式各样的难题。这些难题成因复杂，有可能是对基础概念领悟不够透彻，也可能是解题技巧运用不够娴熟，亦或是思维模式存在一定局限。在本章节里，笔者将结合第三章梳理出的平面几何题解题策略给出具有针对性的教学建议。（一）强化基础概念教学帮助学生梳理平面几何知识体系，以图形为核心，将相关概念、定理串联起来。例如，以三角形为节点，延伸出全等、相似、特殊三角形等知识分支，让学生清晰把握知识间的内在联系，便于在解题时快速检索运用。（二）加强解题技巧训练对常见平面几何题型，如证明线段相等、角相等、平行或垂直关系，求图形面积、周长等进行分类。针对每类题型，总结通用解题思路与方法。如证明线段相等，可考虑利用全等三角形、等腰三角形性质、等量代换等方法，通过大量同类题型练习，让学生熟练掌握解题套路。（三）培养思维能力​锻炼学生逻辑推理能力，随着学习深入，逐步增加证明难度，引入复杂图形和多步骤推理，锻炼学生逻辑思维的严密性。​同时进行空间想象能力培养：借助立体几何模型、3D动画等资源，让学生观察、操作，增强对空间图形的感知。设置开放性问题和探究性课题来强化学生创新思维的激发。组织数学兴趣小组，开展数学建模活动，让学生运用平面几何知识解决实际问题，培养创新思维和实践能力。通过对江苏省近三年中考数学平面几何题的深入分析，明确教学方向与重点。在教学中，教师应强化基础概念教学，加强解题技巧训练，注重培养学生思维能力，紧密联系生活实际，并关注学生个体差异。通过这些教学策略的实施，提升学生平面几何学习水平，助力学生在中考中取得优异成绩，同时为学生的数学学习和未来发展奠定坚实基础。6.研究总结与展望本研究聚焦于平面几何题的解题策略研究，以江苏省近三年中考压轴题为例进行深入研究，采用对题型分析给出一般思路和解法，再针对近三年的压轴题分析结合的方法，对研究问题展开分析，得出相关结论。对前文进行简要总结，并结合研究的实际情况给出研究不足，同时展望未来可能的研究方向。6.1研究总结基于近几年平面几何题在江苏中考中的比重和对学生思维方式的影响，笔者萌生了研究平面几何题的