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文档简介

2.导数的应用(4)研究函数或曲线的性态(3)求未定式的极限(2)证明恒等式或不等式二、典型题型1.应用微分中值定理证明存在性命题例1

设在上具有二阶导数,且证明:使得又显然证明:在上连续,在内可导,且使得∴至少存在一点(1)证明有关中值问题的结论又∴在上满足Rolle定理条件,使得在上连续,证明:使得在内可导,(1)使得(2)存在不同的两点例2且证明:设(1)且则在上连续,即使∴至少存在一点由Lagrange定理,使得(2)使得即例3且试证存在证明:∴将①代入②,得①②f(x)在上满足Lagrange定理条件,例1

证明证明:当时,即则在内设故在上单调递增,2.证明不等式例2

设证明:设证明:只需证明:分析:则在内当时,故在上单调递增,当时,故在上单调递增,

时,即

时,例解:则在内设令得3.方程f(x)=0的根的研究在区间上讨论方程的实根的个数.在处取得最大值显然在上没有零点,(1)在与上各有一个零点,方程

有2个实根;时,(2)有唯一零点,方程有1个实根;时,(3)没有零点,方程没有实根;时,例1而例24.求函数的极限例3例4

求解法1原式利用中值定理求极限解法2

利用洛必达法则原式解法3

利用泰勒公式令则原式例1求函数的极值.5.一元函数的极值与最值极小值不存在极大值解:驻点不可导点故函数在处取得极大值1;在处取得极小值例2曲线上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径.解:令得∴是唯一极大值点,时,时,即最大值点.曲率半径在处取得最小值1.6.研究函数及其图形的性质例1

设函数其导数图形如图所示,单减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.单增区间为

;

.在区间

上是凸的;拐点为形在区间

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