高等数学课程课件第8章-D8.8 多元函数的极值及其求法

最值点应在极值可疑点和边界点上找常根据问题的实际意义判别2一元连续函数的最值

闭区间上连续函数的最值

实际问题中的最值对于多元函数，该如何计算其极值与最值?

8.8.1多元函数的极值

定义:则称函数在该点取得极大值例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义,(极小值).的某邻域内有若对该邻域内异于的任何点,都有设函数注:例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证明:取得极值,取得极值

但驻点未必是极值点.且在该点取得极值,则有存在故(2)可导函数极值点必为驻点,同理(1)偏导数都为0的点称为驻点.(3)可疑的极值点：驻点、

偏导数不存在的点又如,在点(0,0).在点(0,0)时,定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:A<0时取极大值;A>0时取极小值.(2)(3)(证明略)时,时,若函数且(4)定理1的条件下,

平行于xoy面的切平面.取得极值不取得极值.不能确定,需另行讨论.(1)当当当曲面z=f(x,y)在极值点处有例1

求函数解:得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步解方程组的极值.求二阶偏导数第一步求可能的极值点

极小值极大值无极值无极值驻点结论第三步判断例2讨论函数及是否取得极值.解:在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为而时，显然(0,0)都是它们的驻点,8.8.2最值及最值应用问题函数f

在有界闭域上连续函数f

在有界闭域上必取得最值

最值可疑点驻点或偏导数不存在的点边界上的最值点特别,为极小值为最小值(大)(大)

在

上的最值.

如求函数当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,例3解:则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.设水箱长、宽分别为xm、

ym,

则高为8.8.3条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制如例3化为无条件极值问题若设水箱长、宽、高分别为xm,ym,z

m

,则即求A在条件下的极值.将代入目标函数就转化为无条件极值问题.方法2拉格朗日乘数法.例如设解方程组可得到条件极值的可疑点.求函数下的极值.在条件步骤:拉格朗日函数例4求表面积为a2则问题就是令解方程组解:下求函数的最大值在条件长方体的体积.而体积最大的设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,得唯一驻点由问题本身可知最大值一定存在,相等时，长方体体积最大.因此,当长、宽、高即长方体的表面积为a2时，以棱长为的正方体的体积最大，最大体积为练习内容小结1函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2函数的条件极值问题(1)简单问题化为无条件极值问题如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别

比较驻点及边界点上函数值的大小

根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3函数的最值问题在条件求驻点.1

已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC

面积S△最大.解答提示:设C

点坐标为(x,y),则思考与练习设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与

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