关于层次分析法的例题与解

在复杂决策问题面前，人们常常需要一种能够将定性分析与定量计算相结合的方法。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP）便是这样一种实用的决策工具。它将决策者对复杂问题的决策思维过程模型化、数量化，通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。本文将通过一个具体的例题，详细阐述层次分析法的应用步骤与求解过程，以期为读者提供直观的理解和实际操作的参考。一、例题背景某大学生小王计划利用暑假进行一次为期一周的旅游，初步筛选出三个备选目的地：A城市、B城市和C城市。小王希望在综合考虑多种因素后，选择一个最理想的旅游目的地。影响其选择的主要因素包括：风景特色（准则1）、旅行费用（准则2）、交通便利性（准则3）以及旅游设施完善程度（准则4）。请运用层次分析法帮助小王做出决策。二、层次分析法的解题步骤与过程（一）建立层次结构模型首先，我们需要将决策问题分解为不同的层次。对于小王的旅游目的地选择问题，层次结构可以分为以下三层：1.目标层（O）：选择最理想的旅游目的地2.准则层（C）：影响决策的各个因素，即：*C1：风景特色*C2：旅行费用*C3：交通便利性*C4：旅游设施完善程度3.方案层（P）：可供选择的旅游目的地，即：*P1：A城市*P2：B城市*P3：C城市（二）构造判断矩阵层次结构建立后，需要通过两两比较确定各层次元素的相对重要性。这种比较是定性的，但我们需要将其转化为定量的判断矩阵。判断矩阵是层次分析法的核心，其元素表示针对上一层次某一元素，本层次与之相关元素的相对重要性。通常采用1-9标度法来确定元素间的相对重要性，其中1表示两个元素同等重要，9表示一个元素比另一个极端重要，其余数值则表示不同程度的重要性。1.准则层对目标层的判断矩阵（O-C）小王根据自身偏好，对风景特色（C1）、旅行费用（C2）、交通便利性（C3）、旅游设施完善程度（C4）这四个准则相对于“选择最理想旅游目的地”（O）的重要性进行两两比较，得到如下判断矩阵：OC1C2C3C4-------------------------C11352C21/3131/2C31/51/311/4C41/2241（说明：例如，C1行C2列的数值为3，表示小王认为“风景特色”比“旅行费用”稍微重要。）2.方案层对各准则层的判断矩阵（C-P）接下来，针对每个准则，小王对三个备选城市（P1,P2,P3）的优劣进行两两比较。*判断矩阵C1-P（风景特色）C1P1P2P3--------------------P111/32P2315P31/21/51（说明：例如，P1行P2列的数值为1/3，表示在“风景特色”准则下，P1（A城市）不如P2（B城市）重要，即B城市风景更好。）*判断矩阵C2-P（旅行费用）C2P1P2P3--------------------P1121/2P21/211/3P3231（说明：例如，P1行P2列的数值为2，表示在“旅行费用”准则下，P1（A城市）比P2（B城市）费用更低，即A城市在费用上更有优势。）*判断矩阵C3-P（交通便利性）C3P1P2P3--------------------P1113P2113P31/31/31（说明：例如，P1行P3列的数值为3，表示在“交通便利性”准则下，P1（A城市）比P3（C城市）交通更便利。）*判断矩阵C4-P（旅游设施完善程度）C4P1P2P3--------------------P1131/2P21/311/5P3251（说明：例如，P1行P2列的数值为3，表示在“旅游设施完善程度”准则下，P1（A城市）比P2（B城市）设施更完善。）（三）层次单排序及其一致性检验层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层次某元素而言，本层次与之相关元素的相对权重。权重计算方法有多种，这里我们采用较为简便的“和法”进行近似计算。同时，为了保证判断矩阵的合理性，需要进行一致性检验。1.计算权重向量（和法）以准则层对目标层的判断矩阵（O-C）为例，说明权重计算步骤：*第一步：将判断矩阵每一列元素归一化例如，第一列（C1列）总和为：1+1/3+1/5+1/2≈1+0.333+0.2+0.5=2.033则C1列归一化后各元素为：C1:1/2.033≈0.492C2:(1/3)/2.033≈0.164C3:(1/5)/2.033≈0.098C4:(1/2)/2.033≈0.246同理计算其他列，得到归一化后的矩阵：OC1C2C3C4-----------------------------------------C10.4920.5450.5560.308C20.1640.1820.3330.154C30.0980.0610.1110.077C40.2460.2120.0000.462（注：此处C3列C4行原判断矩阵值为4，归一化时，C3列总和为5+3+1+4=13，4/13≈0.308，之前的0.000是笔误，应为0.308。后续计算需基于正确的归一化值。为简洁，此处我们直接给出各判断矩阵计算后的权重结果。）*第二步：将归一化后的矩阵按行求和*第三步：将行和向量归一化，得到权重向量通过上述步骤，我们可以计算出各判断矩阵的权重向量：*O-C判断矩阵权重向量W_O-C：[w1,w2,w3,w4]^T≈[0.45,0.20,0.08,0.27]^T（即：风景特色权重约0.45，旅行费用约0.20，交通便利性约0.08，旅游设施约0.27）*C1-P判断矩阵权重向量W_C1-P：[w11,w12,w13]^T≈[0.23,0.65,0.12]^T（即：在风景特色下，P1约0.23，P2约0.65，P3约0.12）*C2-P判断矩阵权重向量W_C2-P：[w21,w22,w23]^T≈[0.27,0.12,0.61]^T（即：在旅行费用下，P1约0.27，P2约0.12，P3约0.61）*C3-P判断矩阵权重向量W_C3-P：[w31,w32,w33]^T≈[0.40,0.40,0.20]^T（即：在交通便利性下，P1约0.40，P2约0.40，P3约0.20）*C4-P判断矩阵权重向量W_C4-P：[w41,w42,w43]^T≈[0.26,0.08,0.66]^T（即：在旅游设施下，P1约0.26，P2约0.08，P3约0.66）2.一致性检验由于客观事物的复杂性和人的主观判断的局限性，构造的判断矩阵往往不具有完全一致性。因此，需要进行一致性检验。*计算一致性指标CI：CI=(λ_max-n)/(n-1)，其中λ_max为判断矩阵的最大特征根，n为矩阵阶数。*查找平均随机一致性指标RI：RI值与矩阵阶数有关，通常给出标准值（例如，n=3时RI=0.58；n=4时RI=0.90）。*计算一致性比例CR：CR=CI/RI。若CR<0.1，则认为判断矩阵具有满意的一致性；否则，需要调整判断矩阵。对于上述各判断矩阵，我们可以计算其CR值（计算过程略，实际应用中可借助软件或计算器）。假设经过计算，各判断矩阵的CR值均小于0.1，表明具有满意的一致性，权重分配合理。（四）层次总排序及其一致性检验层次总排序是指计算最底层（方案层）相对于最高层（目标层）的相对权重。它是通过将方案层对准则层的权重与准则层对目标层的权重进行加权求和得到的。对于方案P1，其总权重为：W_P1=w1*w11+w2*w21+w3*w31+w4*w41≈0.45*0.23+0.20*0.27+0.08*0.40+0.27*0.26≈0.1035+0.054+0.032+0.0702≈0.2597同理，方案P2的总权重为：W_P2=w1*w12+w2*w22+w3*w32+w4*w42≈0.45*0.65+0.20*0.12+0.08*0.40+0.27*0.08≈0.2925+0.024+0.032+0.0216≈0.3701方案P3的总权重为：W_P3=w1*w13+w2*w23+w3*w33+w4*w43≈0.45*0.12+0.20*0.61+0.08*0.20+0.27*0.66≈0.054+0.122+0.016+0.1782≈0.3701（注：此处P2和P3的总权重计算结果非常接近，均约为0.37，这在实际中可能需要决策者进一步审视判断矩阵的精确性，或考虑其他未纳入的因素。为简化，我们假设P2略高于P3，或认为两者难分伯仲。）层次总排序同样需要进行一致性检验，其方法是利用各准则层判断矩阵的一致性指标CI和相应的权重进行加权平均，再与平均随机一致性指标RI比较，得到总排序的CR值。若CR<0.1，则认为层次总排序结果具有满意的一致性。假设本例中总排序的CR值小于0.1。（五）结果分析与决策根据层次总排序的结果，三个备选旅游目的地的权重分别为：*P1（A城市）：≈0.26*P2（B城市）：≈0.37*P3（C城市）：≈0.37从权重可以看出，P2（B城市）和P3（C城市）的权重非常接近，均高于P1（A城市）。这意味着在小王设定的准则和偏好下，B城市和C城市都是比较理想的选择。此时，小王可能需要进一步考虑一些未在模型中详尽体现的细微差别，或者重新审视对某些准则的权重赋值以及方案间的比较，以做出最终的决策。如果必须选择一个，他可能会倾向于在风景特色上有明显优势的B城市，或者在费用和设施上表现较好的C城市，这取决于他内心更侧重的那个“微小差异”。三、总结通过上述例题的求解过程，我们可