§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较明确目标发展素养1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较指数函数、幂函数、对数函数的增长速度的差异．2.理解“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语的现实含义.通过体会常见函数的变化异同，提升数学抽象和数学建模素养.(一)教材梳理填空当a＞1时，指数函数y＝ax是

，并且当a越

时，其函数值的增长就越快．当b＞1时，对数函数y＝logbx是

，并且当b越

时，其函数值的增长就越快．增函数大增函数小当x＞0，c＞0时，幂函数y＝xc显然也是

，并且当x>1时，c越___其函数值的增长就越快．通过以上增长快慢的比较，我们感受到随着自变量x的增大，y＝ax(a>1)的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc(x＞0，c＞0)的函数值增长又远远大于y＝logbx(b>1)的函数值增长．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，称这种现象为“指数爆炸”．增函数大(二)基本知能小试1．判断正误(1)线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(

)(2)指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快．

(

)(3)对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．

(

)(4)幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数函数和对数函数之间．

(

)√√√√2．下图反映的是哪类函数的增长趋势(

)A．一次函数 B．幂函数C．对数函数

D．指数函数答案：C3．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是

(

)A．y＝100x B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x答案：D4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案：y2x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907题型一指数函数、幂函数、对数函数图象的比较

【学透用活】[典例1]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2020)，g(2020)的大小．[解]

(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2020.从图象上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2020)>g(2020)>g(8)>f(8)．[方法技巧]底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数，增长的快慢则交替出现，从本例我们可以体会到幂函数增长、指数爆炸等不同函数类型增大的含义．(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图象如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图象相交．由图象知log20.3<0.32<20.3.[方法技巧]解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，

也可以借助幂函数与指数函数的图象．题型三指数函数、幂函数、对数函数增长比较的应用

【学透用活】[典例3]某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]

作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．[方法技巧]解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题，结合函数图象有助于直观认识不同函数在不同范围的大小关系．【对点练清】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．时间t50110250种植成本Q150108150解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入【课堂思维激活】一、应用性——强调学以致用1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图象如图，由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及以上，应选方案三．二、创新性——强调创新意识和创新思维2.已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(单位：km)和运动时间x(单位：h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：①甲、乙运动的速度相同，都是5km/h；②甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4km/h；④当甲、乙运动了3h后，甲的位移比乙大3km，但乙在甲前方2km处．其中正确的说法是

(

)A．③

B．①②③

C．①③④

D．②③④解析：经图象分析③