高等数学课程课件第3章-复件 D3.7 曲率_第1页
高等数学课程课件第3章-复件 D3.7 曲率_第2页
高等数学课程课件第3章-复件 D3.7 曲率_第3页
高等数学课程课件第3章-复件 D3.7 曲率_第4页
高等数学课程课件第3章-复件 D3.7 曲率_第5页
已阅读5页，还剩15页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第三章山东交通学院高等数学教研室第七节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径一、弧微分设在曲线上取固定点在区间内具有连续导数，作为度量弧长的基点，任取一点规定(2)有向弧段的值(1)曲线的方向：沿轴增大的方向为曲线的正向；的绝对值表示弧段的长度，方向同曲线的正向，即方向与曲线正向一致时，相反时，设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧弧长是的单调增加函数,求和微分.的导数则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率注意:

直线上任意点处的曲率为0!转角为例1.

求半径为R

的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,

l

是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,

l

是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解:显然例3.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K

最大最小求驻点:设从而

K

取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.K

最大最小三、曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M

处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.满足方程组由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G

称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G

的渐伸线

.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3(仍为摆线)例5.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得渐屈线方程摆线摆线摆线半径为a

的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点

M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 作文作品

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论