概率论与数理统计课件-5.1 数学期望

因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是重要的.而数字特征中最常用的是数学期望、方差。例如判断棉花质量时，既看纤维的平均长度,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度.平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好.考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.5.1随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质

随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写

r.v.X的平均取值——数学期望

r.v.X的取值平均偏离均值的情况

—————方差本章内容一、离散型随机变量的数学期望

1、概念的引入：引例：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量。如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？（假定小张每天至多出现三件废品）2、定义设X是离散型随机变量，它的分布律是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…注意：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。数学期望简称期望，亦称为均值。若级数绝对收敛，则称级数和即为随机变量X的数学期望，记为例1012P00.20.8012P0.60.30.1例2某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？解:设X表示一件产品的利润(单位:元),X的分布律为X52-4P0.60.20.2X的数学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。课堂练习某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望.解:设试开次数为X,于是E(X)P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n3、常见离散型分布的期望:0-1,B(n,p),P(λ)(1)0-1分布E(X)=0×(1-p)+1×p=p(2)二项分布B(n,p)X

0

1P

1-pp(3)泊松分布P(λ)定义：设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)，如果广义积分绝对收敛，则称此积分为X的数学期望,即注意:

连续型r.v.的数学期望是一个绝对收敛的积分;数学期望的本质是加权平均,它是一个数不再是r.v.二、连续型随机变量的数学期望例3例4设随机变量X的密度函数为(1)2、常见连续型分布的期望(2)指数分布X～E(λ)

X的密度函数为X的数学期望为(3)

正态分布X～

N(

,

2)常见r.v.X的数学期望分布类型期望分布律0-1pB(n,p)npP(

)

分布类型期望密度函数区间(a,b)上的均匀分布E(

)N(,2)注意：不是所有的r.v.都有数学期望。反例：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：

设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？

一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例5设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望。XP-101YP10

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的。

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。(1)当X为离散型时,它的分布律为P(X=xk)=pk;(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)

该公式的重要性在于：当我们求E[g(X)]时，不必知道g(X)的概率分布，而只需知道X的概率分布即可。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。例6：练习设X的密度函数为解：Y是随机变量X的函数,

四、数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);2