基于核心素养发展的初中数学探究教学设计：以“公式法解一元二次方程”为例

基于核心素养发展的初中数学探究教学设计：以“公式法解一元二次方程”为例一、教学内容分析

本课选自北师大版九年级数学上册，隶属于“一元二次方程”单元。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角审视，本课内容居于代数学习的枢纽位置。知识技能图谱上，它要求学生在前置的直接开平方法、配方法基础上，完成认知的跃迁：从具体、特殊的解法走向抽象、通用的公式，其认知要求从“理解”提升至“综合应用”，是解一元二次方程通性通法的最终定型，并为后续研究二次函数与一元二次方程关系奠定坚实基础。过程方法路径上，本课是演绎推理与数学抽象思想的集中体现。求根公式的推导过程，是将配方法这一具体操作程序应用于一般形式方程，通过严谨的符号运算，抽象出具有普适性的解的表达模式，是数学建模（构建求解模型）的经典范例。素养价值渗透上，本课是发展学生数学运算、逻辑推理等核心素养的关键载体。通过公式的推导与应用，学生能深刻体会数学的确定性、简洁性与普适性之美，形成理性思维和科学求真的态度，理解从复杂问题中寻找一般规律的科学研究基本路径。

九年级学生已具备用配方法解数字系数一元二次方程的能力，并对代数式的恒等变形有一定基础。然而，已有基础与障碍并存：学生可能熟练于“数字配方”，但面对完全用字母系数表示的“符号配方”，会感到抽象和畏难，容易在推导过程中丢失符号或混淆步骤。同时，对根的判别式（Δ）的理解，需要从单纯的运算结果升华为对方程根的情况进行分类讨论的“判据”，这是一个思维难点。过程评估设计将贯穿始终：通过独立推导任务的观察、小组讨论中的发言、板演步骤的规范性，动态诊断学生在符号运算、逻辑连贯性上的个体差异。教学调适策略在于搭建差异化“脚手架”：对推导有困难的学生，提供从数字系数例题到字母系数方程的过渡性引导；对理解较快的学生，则引导其深入思考公式的结构对称性及Δ的几何意义，实现“保底”与“促优”的平衡。二、教学目标

1.知识目标：学生能准确叙述一元二次方程求根公式的推导过程，理解其每一步变形的依据；能熟练记忆并应用公式法求解一元二次方程，明确公式中各个系数的对应关系及判别式Δ的作用。

2.能力目标：学生能够独立完成从ax²+bx+c=0(a≠0)到求根公式的完整符号推导，锻炼其高阶符号运算能力；在面对具体方程时，能先准确计算判别式的值，并据此判断根的情况，再选择恰当步骤进行求解，形成规范、有序的解题程序。

3.情感态度与价值观目标：在公式的推导与发现过程中，学生能体验数学从特殊到一般、从繁琐到简洁的抽象过程，感受数学的严谨与统一之美，增强克服复杂运算的信心和探索一般规律的求知欲。

4.科学（学科）思维目标：重点发展学生的演绎推理与数学抽象思维。通过将具体的配方法升华为一般公式，学会用字母表示一般规律；通过判别式Δ的分类讨论，初步形成根据数学对象属性进行分类的系统性思维。

5.评价与元认知目标：引导学生通过对比配方法与公式法的适用性与效率，学会评价不同解题策略的优劣；在练习后，能依据步骤清单（一化、二定、三算、四判、五代、六解）反思自己的解题过程，识别并修正计算中的典型错误。三、教学重点与难点

教学重点为一元二次方程求根公式的推导与应用。其确立依据在于：从课程标准看，掌握公式法是解一元二次方程的“大概念”和核心技能，是体现方程思想通性通法的关键。从学业评价看，公式法是解决众多代数与几何综合问题的基石，是中考的高频且核心考点，其应用直接体现了学生的运算能力和程序化思考水平。

教学难点为求根公式的推导过程（尤其是对系数a≠0的讨论和开方条件b²4ac≥0的理解）以及判别式Δ的抽象意义及其分类讨论思想。预设依据源于学情：推导过程涉及多步骤的字母运算，抽象性强，学生易在配方、开方两步产生逻辑断裂；对Δ的理解需超越数值计算，认识到它是决定方程实数根个数的“门槛”，这一从“算”到“判”的思维跨度较大。突破方向在于将推导过程分解为可操作的思维阶梯，并通过具体到抽象的实例类比来阐释Δ的意义。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含公式推导的动态分解步骤、判别式分类的图示化说明）、几何画板（用于动态展示二次函数图像与方程根的关系）。

1.2学习材料：分层学习任务单（含引导性推导提纲、分层练习组）、实物投影仪用于展示学生作品。2.学生准备

2.1知识回顾：熟练运用配方法解数字系数一元二次方程。

2.2学具：课本、练习本、作图工具。3.环境布置

3.1板书记划：预留主板区域用于呈现公式推导的主干逻辑链和最终公式，侧板用于学生板演及分类举例。

3.2座位安排：便于四人小组讨论的布局。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设（认知冲突）：“同学们，我们已经学会了用配方法解方程，比如x²+2x3=0。现在，请大家看看这个方程：2x²√3x1=0。先别急着动笔，用心观察一下，如果还用配方法，你第一时间感受到的挑战是什么？”让学生自由发言，聚焦于系数复杂带来的计算繁琐。

1.1问题提出：教师总结，“是的，每次遇到系数复杂或特殊的方程，我们都要重走一遍配方的完整流程，就像每次出行都要重新画地图。那么，我们能否像发明一个万能钥匙一样，为所有一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，提前找到一个‘万能’的求解公式呢？这就是我们今天要攻克的核心任务。”

1.2路径明晰：“这个‘万能公式’就藏在我们已经掌握的配方法之中。今天，我们将化身数学侦探，用配方法这把‘钥匙’，去开启一般形式方程的大门，从中提炼出那个终极公式。旅程分为三步：第一步，独立尝试用配方‘攻略’一般方程；第二步，从攻略中抽象出‘秘籍’（公式）；第三步，学习如何熟练使用这本‘秘籍’。”第二、新授环节任务一：回顾配方法，搭建思维起点

教师活动：首先投影方程x²+4x+1=0，邀请一位学生口头复述配方法的关键步骤（移常数项、配方、开方、求解），教师板书关键步骤。然后，提出过渡性问题：“刚才的方程，二次项系数是1。如果二次项系数不是1，比如2x²+4x+1=0，我们配方的第一步要做什么？”引导学生得出“先将二次项系数化为1”的结论。此为后续处理一般形式中系数a做好铺垫。

学生活动：回忆并口述配方法解数字系数方程的过程。思考并回答教师关于二次项系数不为1时的处理策略，明确“系数化1”是首要步骤。

即时评价标准：1.能否清晰、有序地复述配方法的步骤逻辑。2.能否意识到二次项系数对配方操作的首要影响。3.倾听同学回答时，是否能进行补充或修正。

形成知识、思维、方法清单：★配方法基本步骤：一移（常数项）、二化（二次项系数为1）、三配（一次项系数一半的平方）、四成（完全平方式）、五开（平方）、六解（两个一元一次方程）。▲系数意识：二次项系数a是配方操作的“总开关”，必须优先处理。任务二：征服“字母王国”，独立推导公式

教师活动：发布核心挑战：“现在，请各位侦探拿出任务单，瞄准终极目标：对一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，实施配方法。记住，所有的系数a,b,c都是‘字母居民’，请用规范的代数语言与它们对话。”教师巡视，重点关注：1.学生是否首先将方程两边同除以a。2.配方时，是否准确书写“加上(b/2a)²”。3.开方时，是否考虑等式右边需满足非负条件。对普遍困难点进行集体提示：“注意，我们现在是在对代数式进行恒等变形，每一步都要问自己：等式还成立吗？右边的式子现在是什么？它允许我们直接开平方吗？”

学生活动：在任务单上独立完成对ax²+bx+c=0(a≠0)的配方推导。经历移项、方程两边同除以a、配方、整理成(x+m)²=n的形式等全过程。在遇到障碍时，可参考任务单上的引导性问题，或与邻座进行小声探讨。

即时评价标准：1.推导过程的逻辑连贯性与步骤完整性。2.代数式书写的规范性（如分数线的使用、括号的使用）。3.面对障碍时，是主动尝试寻找策略还是停滞等待。

形成知识、思维、方法清单：★关键步骤：系数化1：必须强调a≠0的前提，方程两边同除以a，得到x²+(b/a)x+c/a=0。★核心配方操作：在x²+(b/a)x后，加上一次项系数(b/2a)的一半的平方，即(b/2a)²。▲恒等变形原则：代数推导中，对等式一边进行的运算，必须同等施加于另一边。任务三：抽象与命名，诞生“求根公式”

教师活动：邀请12位成功推导到底的学生上台板演最终步骤。引导全班聚焦于板演结果：x+b/(2a)=±√(b²4ac)/(2a)。教师用彩色粉笔框出这个等式。“看，经过一番艰苦的代数跋涉，我们终于到达了终点站！这个等式告诉我们，一元二次方程的根x，可以由系数a,b,c通过这个固定的算式表达出来。”教师将其整理成标准形式：x=[b±√(b²4ac)]/(2a)。“让我们共同为这个伟大的发现命名：它就叫作‘一元二次方程的求根公式’。谁能用一句话概括，这个公式是怎么来的？”引导学生说出“用配方法解一般形式一元二次方程得到的结果”。

学生活动：观摩同伴板演，对照并修正自己的推导过程。跟随教师的整理，在课本或笔记上规范地书写求根公式。思考并回答公式的由来，尝试用自己的语言进行概括。

即时评价标准：1.能否从板演中发现自己推导过程的错误或疏漏。2.能否准确复述公式与配方法的渊源。3.对公式的标准形式是否有清晰的视觉印象。

形成知识、思维、方法清单：★一元二次方程求根公式：x=[b±√(b²4ac)]/(2a)(a≠0)。★公式的渊源：它是配方法应用于一般形式方程的必然产物，是解法的“结晶”。▲记忆要点：公式结构对称，分子是b加上或减去√Δ，分母是2a。任务四：剖析公式结构，认识“判别式”

教师活动：指著公式中的√(b²4ac)部分提问：“这个被开方数b²4ac，它像个‘守门人’，决定了我们能不能进行下一步。为什么？”学生回答后，教师明确：“因为它决定了根号下的值是否非负，从而决定了实数根是否存在。因此，我们赋予它一个专门的名字：根的判别式，用希腊字母Δ（德尔塔）表示，即Δ=b²4ac。”随后，通过提问展开分类讨论：“如果Δ>0，方程会怎样？Δ=0呢？如果Δ<0，在我们目前实数范围内，又意味着什么？”结合几何画板，动态展示二次函数y=ax²+bx+c图像与x轴交点个数随Δ变化的情况，使抽象概念直观化。“所以，在用公式法之前，先计算Δ的值，就像是先给方程做个‘体检’，预知它根的情况。”

学生活动：理解Δ的意义，明确其作为“开方前提”和“根情况预判”的双重作用。通过回答教师提问，归纳出：Δ>0⇔两个不等实根；Δ=0⇔两个相等实根；Δ<0⇔无实根。观察几何画板的动态演示，建立代数符号（Δ）与几何图形（交点）之间的联系。

即时评价标准：1.能否准确说出Δ的表达式及其作用。2.能否将Δ的三种符号情况与方程根的三种情况正确对应。3.是否表现出对“数形结合”理解的兴趣和接受度。

形成知识、思维、方法清单：★根的判别式Δ：Δ=b²4ac，它决定了方程实数根的情况。★Δ的三种情况：Δ>0⇔两不等实根；Δ=0⇔两相等实根（一个实根）；Δ<0⇔无实根。▲数形结合：Δ的符号对应二次函数图像与x轴的交点个数，这是沟通代数与几何的重要桥梁。任务五：程序化演练，掌握公式法步骤

教师活动：以方程2x²3x1=0为例，教师示范完整的公式法解题步骤，并大声说出思维过程：“第一步，‘一化’：确认方程已是标准形式，识别a=2,b=3,c=1。第二步，‘二算Δ’：计算Δ=b²4ac=(3)²4×2×(1)=9+8=17>0，嗯，预判有两个不等实根。第三步，‘三代’：因为Δ>0，所以放心地将a,b,Δ的值代入求根公式…”板书强调步骤的规范书写。然后，给出方程x²6x+9=0，让学生尝试口述步骤。

学生活动：认真观察教师示范，理解“一化（一般形式）、二算（判别式Δ）、三代（求根公式）”的操作程序。针对方程x²6x+9=0，尝试独立计算Δ并预判根的情况，然后口述代入公式的过程。

即时评价标准：1.能否模仿教师，有序地陈述解题步骤。2.计算Δ是否准确，预判是否合理。3.代入公式时，特别是代入b和分母2a时，是否注意了符号和系数的完整性。

形成知识、思维、方法清单：★公式法解题步骤：1.化一般式，定a,b,c；2.算Δ值，判根情；3.依情况，代公式（Δ≥0时）。▲规范书写要求：代入公式时，b、√Δ、2a都应视为整体，通常需要括号辅助。★易错点预警：系数b为负数时，b是正数；计算Δ时，4ac前是减号，需仔细。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，学生根据自身情况至少完成A组，鼓励挑战B、C组。

A组（基础应用层）：1.用公式法解方程：(1)x²4x+1=0(2)2x²+3x2=0。（目标：熟悉流程，巩固计算）“请大家先独立完成，完成后同桌交换，对照步骤清单互相检查一下‘一化、二算、三代’每一步是否到位。”

B组（综合辨析层）：2.不解方程，判断根的情况：(1)3x²5x+2=0(2)x²+2x+3=0。3.已知关于x的方程x²2x+m=0，当m为何值时，方程有两个相等的实数根？（目标：深化对Δ的理解，进行简单逆向运用）“第3题有点小挑战，它要求我们‘反着用’判别式，想想看，两个相等实根对应Δ应该满足什么条件？”

C组（挑战探究层）：4.请用公式法解方程：x²(2m+1)x+m²+m=0（其中m为常数）。（目标：在含参方程中应用公式，体会公式的普适性，为后续学习埋下伏笔）“学有余力的同学可以研究一下第4题，当系数中含有字母时，我们的‘万能公式’还一样好用吗？最终的根会表达成什么形式？”

反馈机制：通过实物投影展示A组不同解法的学生作品，重点讲评书写规范和典型计算错误（如Δ算错、代入公式时忘记分母2a等）。B、C组题目的思路请学生讲解，教师提炼思想方法。第四、课堂小结

知识整合：“同学们，今天我们共同完成了一次重要的数学抽象之旅。谁能用一句话总结，我们今天最大的收获是什么？”引导学生说出“得到了解一元二次方程的求根公式”。教师补充：“不仅如此，我们还获得了一套完整的‘作战方案’：从推导中理解它的诞生，通过Δ预判战场形势，最后用标准化步骤解决问题。”鼓励学生课后用思维导图梳理本课知识逻辑（公式来源→公式本身→判别式→应用步骤）。

方法提炼：“回顾整个过程，我们从特殊的配方法，推广到一般形式，最终提炼出普遍适用的公式，这种‘从特殊到一般’的研究路径，是数学发现的核心方法之一。而分类讨论（通过Δ），让我们思考问题更加周密。”

作业布置：必做作业：课本对应练习题，巩固公式法基本应用。选做作业：（1）探究：比较配方法与公式法在解方程x²2x5=0时的异同，你认为各自优势在哪？（2）阅读：查找数学史上一元二次方程解法的发展历程，了解公式法的出现背景。预告下节课：“下节课，我们将扮演‘解题策略师’，面对一个具体的一元二次方程，你将如何在直接开平方法、配方法、公式法中选择最优解？敬请期待。”六、作业设计

基础性作业（全体必做）：

1.用公式法解下列方程：（1）x²5x+6=0；（2）2x²3x2=0；（3）3x²+2x1=0。要求：规范书写步骤。

2.不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x²+3x+4=0；（2）4x²4x+1=0；（3）2x²5x+1=0。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

3.已知关于x的一元二次方程x²4x+k=0。

（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）当k为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出此时方程的根。

（3）当k为何值时，方程没有实数根？

4.一个小型项目：测量并计算你身边的一个矩形花坛（或书本封面）的对角线长度。设长为a，宽为b，对角线满足方程x²=a²+b²。请设计具体数据，构造一个关于x的一元二次方程，并用公式法求解（结果保留根号或近似值）。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

5.探究证明：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，其两根之和为b/a，两根之积为c/a（韦达定理）。请你利用求根公式，通过代数推导证明这两个结论。

6.数学写作：以“求根公式的自述”为题，写一篇短文。从公式的诞生（推导过程）、我的结构（公式各部分含义）、我的能力（能做什么，如何预判）、我的优势（与其他解法对比）等角度进行介绍。七、本节知识清单及拓展

★1.一元二次方程求根公式：对于方程ax²+bx+c=0(a≠0)，其解为x=[b±√(b²4ac)]/(2a)。这是解一元二次方程的通法。

★2.公式的推导渊源：该公式是通过将配方法系统性地应用于一般形式一元二次方程而得到。理解推导过程是掌握公式本质、避免机械记忆的关键。

★3.根的判别式（Δ）：表达式Δ=b²4ac。它不是公式的一部分，而是决定公式中开方运算能否在实数范围内进行的关键量，并对方程根的情况进行预判。

★4.Δ的三种情况与根的关系：①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根（也可说一个实数根）；③Δ<0⇔方程在实数范围内无解（无实数根）。教学提示：可用“体检报告”比喻Δ，先体检再治疗（求解）。

★5.公式法解题的一般步骤：一“化”（化为一般式，明确a,b,c值，注意符号）；二“算”（计算判别式Δ的值）；三“判”（根据Δ值判断方程根的情况）；四“代”（当Δ≥0时，将a,b,Δ的值代入求根公式求解）。强调程序化思维。

▲6.公式的结构记忆技巧：分子是“b加/减根号Δ”，分母是“2a”。可类比为“(b±√Δ)/(2a)”。特别注意b是一个整体，当b为负数时，b为正数。

▲7.易错点警示：（1）忽略a≠0的前提条件。（2）计算Δ时，漏掉4ac前的负号或计算错误。（3）代入公式时，忘记分母是2a，或忘记b是整体。（4）当Δ为完全平方数时，开方后需化简为最简形式。

▲8.公式法的优势：作为一种通用程序，它适用于任何形式的一元二次方程（只要a≠0且需实数解），避免了配方法在面对复杂系数时的繁琐性，体现了数学的普适性与机械化思想。

▲9.公式法的局限性认知：当方程系数简单，特别是易于直接开平方或配方时，公式法可能在计算步骤上并非最优。它也可能掩盖了某些方程特有的结构特征。

▲10.判别式Δ的几何意义：对于二次函数y=ax²+bx+c，Δ的符号决定了其图象（抛物线）与x轴交点的个数（2个、1个、0个）。这是连接代数与几何的重要纽带。

▲11.分类讨论思想：依据Δ的符号对根的情况进行分类，是数学中重要的分类讨论思想在本课的体现。它培养了学生思维的严谨性和全面性。

▲12.从特殊到一般的归纳思想：本课学习路径（具体数字系数配方法→一般字母系数配方法→抽象出公式）完美演绎了数学中从特殊案例中发现一般规律的归纳抽象过程。八、教学反思

（一）教学目标达成度证据分析：从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能规范完成A组练习，表明知识目标与基本能力目标达成度良好。在B组练习中，关于Δ的逆向应用（已知根情况求参数范围）有约30%的学生存在困难，这提示“判别式”作为工具进行推理的能力需后续加强。情感目标方面，在公式推导成功后观察到的学生表情（如释重负、欣喜）以及在C组挑战题上少数学生表现出的探究热情，是积极的情感体验信号。

（二）各教学环节有效性评估：1.导入环节以复杂系数方程引发认知冲突，有效激发了寻求“万能公式”的内在动机。“这个系数带根号的方程，确实让大家眉头一皱，我们的‘痛点’抓得很准。”2.新授核心任务（任务二、三）中，独立推导虽耗时，但必不可少。巡视中发现，真正动笔完整经历符号运算的学生，在后继公式应用时眼神更笃定，错误率更低。这验证了“过程性理解”的价值。小组讨论在此时作用有限，因推导更依赖个人思维连贯性。3.任务四（剖析判别式）结合几何画板的动态演示，将抽象的Δ与直观的图像交点关联，是化解难点的有效策略。有学生课后说：“原来Δ就是决定抛物线和x轴‘见面’次数的开关。”

（三）对不同层次学生课堂表现的深度剖析：对于基础薄弱学生，“系数化1”这一步的引导仍需更强化，部分学生在独立推导时在此处卡壳，后续的“配方”便无从谈起。未来可设计更细化的引导提纲，如“第一步：方程两边同除以____”。对于学优生，在快速掌握公式应用后，课堂精力应被更充分地调动。可即时赋予其“小导师”角色，协助教师巡视指导，或提供更具思维深度的“微探究”题，如