14.2 立方根 教学设计（表格式）冀教版数学八年级上册

14.2立方根课题立方根授课类型新授课授课人教学内容课本P66-68教学目标1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的唯一性.2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，分清一个数的立方根与平方根的区别.教学重难点重点：立方根的概念和性质.难点：区别立方根和平方根.教学准备多媒体课件教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情景，导入新课师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的？它的符号怎么表示？生:如果x2=a,那么x叫做a的平方根（或二次方根).符号表示:±a,其中a≥0.师：我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的?生：开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，与平方互为逆运算.师:那么平方根有什么样的性质呢？生：正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根.教师引导学生回忆，并回答出平方根的定义、符号表示及性质，对定义及符号进行板书，性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比.被开方数平方根正数2个，互为相反数00负数无【探究1】复习引入（学生活动）已知一个正方体的棱长是4，则这个正方体的体积是______.【探究2】探究教材P6问题②要做一个容积是64dm3的正方体木箱，问它的棱长是多少？【师生活动】学生尝试解答，列方程.设正方体木箱的棱长为xdm，根据题意，有x³=64.教师提问：怎么解这个方程呢？（学生讨论，教师引导）想哪个数的立方是64?1³=1,2³=8,3³=27,4³=64，x=4.【思考】利用数的平方运算可以求出一个数的平方根.已知一个数的立方，能不能求出这个数呢？【观察与思考】如图所示，已知小正方体的棱长为2，那么它的体积是多少？反过来，如果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢？【师生互动】老师：想一想，正方体的体积公式是什么?学生：正方体的体积=棱长3.老师：你能解答这道题吗?学生：……小亮是这样想的:由已知小正方体的棱长为2，可以求出它的体积为23=8；同样，根据正方体的体积公式以及立方运算，由大正方体的体积，也可以求出它的棱长.他是这样做的：因为33=27，所以，这个大正方体的棱长为3.你认为小亮的想法和做法有没有道理?你是怎么做的?通过对平方根的复习，可以增加学生对平方根的印象，同时,教师也能通过学生复习过程的表现，间接了解学生对知识的掌握程度,也能让学生在学习完立方根后,更好地对这两个概念进行比较.复习：已知正方体棱长求体积.思考：已知正方体体积如何求棱长？正方体的体积=棱长³通过解决实际问题，引导学生理解求立方根的必要性.所列方程是已知一个数的立方，求这个数.2.实践探究，学习新知我们知道了平方根的定义，那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下面的问题.【试着做做】求满足下列各式的x的值.（1)x3=-1；（2）x3=64;(3)x3=0.008;（4）x3=-1125指导学生独立完成，然后指名回答.解:(1)x=-1.(2）x=4.（3）x=0.2.（4)x=-15要点提示：本题是已知一个数x的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数，从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念.老师：对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗?学生谈论思考，教师引导归纳概念.【概念归纳】一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根.例如，-1的立方根为-1，64的立方根为4，0.008的立方根为0.2，的立方根为.在上面问题中，因为33=27，所以3是27的立方根.类比开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.因此，我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根.【大家谈谈】1.一个正数有几个立方根？正数的立方根是正数还是负数？答：一个正数有一个立方根，正数的立方根是正数.2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数?答：一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数.3.0的立方根是什么数？答：0的立方根是0.【归纳】一个正数有一个正的立方根.一个负数有一个负的立方根.0的立方根是0.教师根据学生的回答将以下的表格填写完整，可以清晰地看出平方根和立方根的区别，同时要求学生记在笔记上.被开方数平方根立方根正数两个,互为相反数有一个，是正数000负数无有一个,是负数教师还要指导学生：我们发现，进行立方运算，当底数互为相反数时，它们的幂也互为相反数，这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数，但它们的幂相等，故一个正数的平方根有两个，但一个正数的立方根却只有一个.【总结归纳】一个正数有一个正的立方根;老师：我们发现，表述一个数的立方根太复杂了，是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示呢？请大家一起讨论.【开立方的表示及概念】我们把数a的立方根用符号“”来表示，读作“三次根号a”.其中，a称为被开方数，3称为根指数.例如：，，，.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方和立方互为逆运算.借助立方运算，可以求一个数的立方根.【例题讲解】例1求下列各数的立方根.（1）827解:（1)因为233=827即38(2)因为（-2)3=-8,所以-8的立方根为-2，即3-8（3)因为（-0.4)3=-0.064，所以-0.064的立方根为-0.4，即3-0.064在书写过程中要重点强调：“3a”问题1：学习了立方根的符号后，大家是否有个疑问，立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢？如果有,它的根指数是多少？答：算术平方根也有根指数，且为2，因此a也可以读作“二次根号a”，但是这里的根指数可以省略。问题2:我们已经学过算术平方根的符号中的a必须是非负数，那么立方根的符号中的a的取值有什么限制吗?答：立方根的符号中的a没有限制，可以取任何数。通过这个问题总结出:任何数都有立方根，且它的立方根都只有一个，但只有非负数才有平方根.例2求下列各式的值.（1）3-0.027;（2）3思路分析：先分析出每题的含义，然后再求解。含义:（1）表示-0.027的立方根。（2)表示—1216解:（1)3-0.027=-30.027=-(2）3-1216=-31216【知识拓展】平方根与立方根的联系与区别.联系:①都有相应的乘方运算与开方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算；②0的平方根与立方根都是它本身.区别：①用根号表示平方根时，根指数2可以省略,而用根号表示立方根时，根指数不能省略；②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有。如-8没有平方根,但有立方根，为-2；③正数的平方根有2个，而正数的立方根只有1个。如2的平方根是±2，而立方根只有32联系平方根的概念，让学生类比,给出立方根的概念，学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别.让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根，以及一个数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算，求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中,教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学生明晰道理。在了解立方根的性质的同时，让学生掌握立方根的表示方法；通过对问题的探究,让学生掌握立方根的一些规律,从而能够灵活应用。例题着重于弄清立方根的概念,不仅让学生会求立方根，还让学生学会从开立方与立方是互为逆运算中寻找解题途径。3.学以致用，应用新知考点1求一个数的立方根【例1】求下列各数的立方根：(1)1000；(2)−827；(3)0.125；(4)(-2.1)解：(1)由于10³＝1000，因此1000的立方根10，即31000=10(2)由于(−23)³＝−827，因此−8(3)由于0.5³＝0.125，因此0.125的立方根0.5，即30.125(4)3(−2.1)³考点2立方根与平方根的综合问题【例2】如果b+4a−3b为a−3b的算术平方根，a+21−a²解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3，所以b＝－2，a＝1.所以2a－3b＝2×1－3×(－2)＝2＋6＝8.所以32a−3b＝3【例3】如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是()A．1B．0或1C．0或±1D．任意非负数答案：B任何一个数的立方根的符号与原数的符号相同．（4）根据公式3a³本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a-3b的立方根，体现了方程思想的应用．只有0和1的算术平方根等于本身；只有-1,0和1的立方根等于本身.4.随堂训练，巩固新知1．8的立方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．24答案：B2．等于（）A．3B．﹣3C．9D．﹣9答案：B3．下列各式正确的为（）A． B．C． D．答案：D4．如果x是64的立方根，那么x的算术平方根是（）A．4B．2C．D．±4解析：∵43＝64，∴64的立方根是4，即x＝4.∵22＝4，∴x的算术平方根是2．答案：B5．下列语句：①81的立方根是3，②，③立方根等于平方根的数是1，④4的算术平方根是2．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：D6．若，则的值为（）A．﹣5B．5C．15D．25解析：∵，∴x﹣5＝0，y+25＝0，解得：x＝5，y＝﹣25，∴．答案：A7．计算：＝．答案：﹣8．若一个正方体的体积为64，则它的棱长为．答案：49．一个正数a的两个平方根是m+7和2m﹣1，则a﹣m的立方根为．解析：由题意知m+7+2m﹣1＝0，解得m＝﹣2，∴a＝52＝25，∴a﹣m＝25﹣（﹣2）＝27，即a﹣m的立方根为3.答案：310．已知4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4，则a+b的平方根是．解析：∵4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4，∴4a+4＝23＝8，2a+4b+2＝42＝16，解得a＝1，b＝3，∴a+b＝1+3＝4，∴a+b的平方根是±2.答案：±211.如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．（1）当x＝64时，输出的y的值为．（2）当输出的y的值为时，输入的x的值可以是．（填写两个不同的x的值）（3）小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？解：（1）当x＝64时，64的立方根是4，4是有理数，当x＝4时，4的立方根是，是无理数，∴当x＝64时，输出的y的值为；故答案为：.（2）当y＝时，（）3＝2，所以输入的x的值可以是2.∵23＝8，∴输入的x的值可以是8；综上所述：当输出的y的值为时，输入的x的值可以是2或8.故答案为：2或8（答案不唯一）.（3）∵1的立方根永远是1，﹣1的立方根永远是﹣1，0的立方根永远是0，∴小明输入x的值可能是1或﹣1或0，就永远得不到y的值．知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．5.课堂小结，自我完善1.立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根.2.一个正数有一个正的立方根.一个负数有一个负的立方根.0的立方根是0.通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.6.布置作业1.课本P68练习T1-T22.课本P68习题A组，B组课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.板书设计14.2立方根立方根的性质：一个正数有一个正的立方根.一个负数有一个负的立方根.0的立方根是0.提纲掣领，重点突出.教后反思立方根是在学生学习了平方根、平方根的性质和算术平方根等知识的基础上学习的.本节从内容上看与上一节平方根的内容基本平行,主要研究立方根的概