第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

专题四：立体几何第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析真题感悟重难攻坚

理解、掌握空间中点、线、面的位置关系及相关的图形和符号语言，熟练掌握平行关系的判定定理和性质定理及其应用，熟练掌握垂直关系的判定定理和性质定理及其应用，该内容是高考卷的常考内容，难度属于中低档.1.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有

.(填写所有正确命题的编号)

②③④

解析：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②若n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n.故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β.故正确；④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等.故正确.2.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

(

)A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面B

解析：由面面平行的判定定理知，α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件，由面面平行性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件，故选B.3.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

.

若l⊥α，m∥α，则l⊥m或若l⊥α，l⊥m，则m∥α.解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)若l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；(2)若l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；(3)若l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交，也有可能l∥α.4.如图，已知正方体ABCD

A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(

)

A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1A

解析：如图，连接AD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1的中点，又N是D1B的中点，所以MN∥AB，MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD，则MN不垂直平面BDD1B1，所以B，D不正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABD1.所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D，D1B是异面直线，所以C错误，A正确.故选A.5.(2024·天津)若m，n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论正确的是(

)A.若m∥α，n∥α，则m⊥nB.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m∥α，n⊥α，则m⊥nD.若m∥α，n⊥α，则m与n相交C解析：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故A错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故B错误；对于C，m∥α，n⊥α，过m作平面β，使得β∩α＝s，因为m⊂β，故m∥s，而s⊂α，故n⊥s，故m⊥n，故C正确；

对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，故D错误.故选C.考点一空间点、线、面位置关系的判断例1

(1)(多选)(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC

A1B1C1中，D为BC的中点，则(

)

A.AD⊥A1C

B.BC⊥平面AA1DC.AD∥A1B1

D.CC1∥平面AA1DBD

因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC.又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，故B正确；对于D，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确；对于C，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误.故选BD.

(2)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

(

)

A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B

判断空间线面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.

CD解析：如图1，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，则O为AC，BD的中点.连接PO，因为F为BD1的中点，所以FO∥DD1，由正方体的性质可知DD1⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD.因为DE⊂平面ABCD，所以FO⊥DE.过点O作PQ⊥DE，分别交BC，AD于点P，Q，过点P，Q分别作PH∥BB1，QG∥AA1，分别交B1C1，A1D1于点H，G，连接GH，所以P，Q，G，H四点共面，且GQ∥PH，GQ＝PH，故四边形PQGH为平行四边形.因为AA1⊥平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，PQ⊂平面ABCD，所以PH⊥PQ，故四边形PQGH为矩形.因为PQ∩FO＝O，PQ，FO⊂平面PQGH，所以DE⊥平面PQGH.因为点M在正方体的表面上运动，且满足FM⊥DE，所以当FM⊂平面PQGH时，始终有FM⊥DE，所以点M的轨迹是矩形PQGH.

(2)(多选)(2023

·

深圳模拟)如图，在正方体

ABCD

A1B1C1D1中，点

P

在直线

AD1

上，

Q

为线段

BD

的中点，则下列说法正确的是

(

)

A.存在点

P

，使得

PQ⊥A1C1B.存在点

P

，使得

PQ∥A1BC.直线

PQ

始终与直线

CC1

异面D.直线

PQ

始终与直线

BC1

异面ABD

解析：

连接B1D1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，易得A1C1⊥

平面

BDD1B1，

因为点P在直线

AD1

上，

Q为线段BD的中点，当点P和点

D1

重合时，

PQ⊂平面

BDD1B1，所以PQ⊥A1C1，故A正确；连接

A1D，A1B，当点P为线段

A1D

的中点时，

PQ

为△A1BD的中位线，即

PQ∥A1B，故B正确；CC1

⊂平面

AA1－C1C，当点P和点A重合时，

PQ⊂平面

AA1C1C，所以直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误；BC1⊂平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1＝P，P∉BC1，所以直线PQ始终与直线

BC1

不相交，且不平行，所以直线PQ与直线

BC1

是异面直线，故D正确.解决动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定.(2)