（2026春新版）人教版八年级数学下册《第二十章 勾股定理》教案

一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中，经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力，体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理，并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识1.出示课件4-14,探究勾股定理的认识与证明如图，红色直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：(1)A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积.(2)B的面积是个单位面积.(3)C的面积是个单位面积.教师找三个学生回答.学生1答：(1)A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.学生2答：(2)B的面积是9个单位面积.学生3答：(3)C的面积是18个单位面积.学生回答：图1中三个正方形A,B,C的面积之间的数量关系教师问：SA+SB=Sc在图2中还成立吗?学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢?学生答：A的面积是25个单位面积.B的面积是9个单位面积.C的面积是34个单位面积.教师问：你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流交流.学生答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=Sc.去掉网格结论会改变吗?学生答：不会.教师问：式子SA+SB=Sc能用直角三角形的三边a、b、c来表示师生一起解答：如图所示：教师问：去掉正方形结论会改变吗?学生答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢?教师讲解：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c².教师讲解：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢?光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明.下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的.教师依次展示各种证明方法：(1)赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗?试试看.a图1朱实a图1朱实黄实朱实朱实图2C小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.教师展示剪、拼过程.教师问：如何进行证明呢?师生共同讨论后解答如下：b(2)毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗?师生共同讨论后解答如下：abb即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,则a²+b教师总结点拨：(出示课件16)公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.a²+b²=c²b²=c²-a²a=√c²-b²b=√c²-a²c=√a²+b²出示课件17,学生口答，教师订正.考点1:利用勾股定理求直角三角形的边长如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(出示课件18)师生共同讨论解答如下：出示课件19,学生自主练习后口答，教师订正.考点2:勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长在Rt△ABC中，∠C=90°.(出示课件20)学生独立思考后，师生共同解答.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x²+(2x)²=5²,解得x=5√3,x=-5√3(舍去)已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.出示课件21,学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。(三)课堂练习(出示课件22-27)练习课件第22-27页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件28)勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c².1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论(五)课前预习预习下节课(20.1第2课时)的相关内容.会用勾股定理解决实际问题.1、教材第30-32页习题20.1第1,7,8,13题.2、培优练习20.1第1题.第1课时考点1考点2的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈现.20.1勾股定理及其应用第2课时一、教学目标【知识与技能】1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.实际问题.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和能力2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的应用方法.【情感态度与价值观】在例题分析和解决过程中，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣和信心.新授课三、课时第2课时共3课时四、教学重难点【教学重点】运用勾股定理解决实际问题.【教学难点】勾股定理的灵活运用.教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型.(一)导入新课(出示课件2)波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.示意图见课件，就是求AD的长(二)探索新知1.出示课件4-6,探究利用勾股定理解决线段长度问题教师出示问题：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗?学生答：不能.教师问：这个门框能通过的最大长度是多少?学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以.教师问：怎样判定这块木板能否通过木框?学生答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较.师生一起解答如下：解：连接AC,在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=1²+2²=5.AC=√5≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.出示课件7,学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件8-9,探究利用勾股定理解决线段移动问题教师问：如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗?师生一起解答如下：解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D、顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC=OA-OC.在Rt△AOB中，根据勾股定理，OA=2.4.在Rt△COD中，根据勾股定理，OC=2.所以，AC=OA-OC=2.4-2=0.4.因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m,出示课件10-11,学生自主练习后口答，教师订正.(三)课堂练习(出示课件12-18)练习课件第12-18页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件19)勾股定理求解.(五)课前预习预习下节课(20.1第3课时)的相关内容.知道如何在数轴上标出无理数及构造直角三角形表示出无理数.1、教材第27页练习第2,3题.2、培优练习20.1第5题.第2课时成功之处：本节课运用勾股定理解决实际问题，整节课注重基础，提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.不足之处：虽然只是勾股定理的实际应用这一知识点，但是涉及乏开放性.一类题目的变式训练题，提高学生分析问题和解决问题的能力.同时，在后续学习中加强与勾股定理的综合运用训练.20.1勾股定理及其应用第3课时一、教学目标【知识与技能】2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形勾股定理解决简单的实际问题.【过程与方法】勾股定理解决问题的能力.展学生的动手操作能力和创新精神.【情感态度与价值观】1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中，体会勾立自信心.2.在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.二、课型新授课第3课时共3课时【教学重点】能利用勾股定理在数轴上表示无理数.【教学难点】利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.教师：课件、三角尺、直尺、圆规等.笔.(一)导入新课(出示课件2)欣赏课件中海螺的图片：在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.这个图是怎样绘制出来的呢?这就是今天我们探究的问题.(二)探索新知1.出示课件4-5,探究证明“HL”教师问：在八年级上册中，我们曾经通过探究得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?教师展示问题：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B'C中求证：△ABC≌△A'B'C′.学生讨论后回答：定理，得BC=√AB²-AC2,B'C'=√A'B'²-A'C'2.2.出示课件6-8,探究利用勾股定理在数轴上确定无理数教师问：你能在数轴上表示出√2的点吗?-√2呢?师生一起解答：(放幻灯片，展示作图过程.)教师问：用同样的方法作√3,√4,√5,√6,√7呢?学生答：如下图所示(放映幻灯片，展示作图过程)总结点拨：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.教师问：长为√13的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗?教师找三名学生回答.学生1答：学生2答：学生3答：教师总结如下，其中有两种符合要求.3231 1.在数轴上找到点A,使OA=3;2.作直线1LOA,在1上取一点B,使AB=2;3.以原点O为圆心，OB长为半径作弧，教师总结点拨(出示课件9)利用勾股定理表示无理数的方法：(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边(2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理考点1:利用勾股定理在数轴上确定无理数的点在数轴上作出表示√17的点.(出示课件10)师生共同讨论解答如下：(1)在数轴上找到点A,使OA=1;(2)过点A作直线1垂直于OA,在直线1上取点B,使AB=4,那么OB=√17;(3)以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交 如图，在数轴上，点C为表示√17的点.出示课件11,学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件12-13,探究利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段教师问：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,请在给定网格中以A出发分别画出长度为√2,√5,√8的线段AB.教师找三名学生回答.学生1答：学生2解答：学生3解答： 学生讨论后回答：如图所示：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.考点1:利用勾股定理在网格上作线段如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为√5的线段?(出示课件14)学生独立思考后，师生共同解答.解：如图所示，有8条.教师总结点拨：一个点一个点地找，不要漏解.出示课件15,学生自主练习，教师给出答案.4.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A',且B'C=3,求AM的长.(出示课件16)学生独立思考后，师生共同解答.解：连接BM,MB'.设AM=x,解得x=2.即AM=2.师生共同归纳如下：(出示课件17)折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x);(2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.出示课件18,学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.(三)课堂练习(出示课件19-26)练习课件第19-26页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件27)师生共同回顾本节课所学主要内容：形中常常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.(五)课前预习预习下节课(20.2第1课时)的相关内容.知道勾股定理的逆定理的定义七、课后作业1、教材第29页练习第2,3题.2、培优练习20.1第2,3题.八、板书设计勾股定理及其应用第3课时1证明“HL”2.利用勾股定理在数轴上确定无理数考点13.利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段考点14.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度5.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课注重数学与生活的联系，注重数学知识的应用，生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边，再按照尺规作不足之处：由于学生尺规作图的能力较差，学生在确定了作图思路之后，却难以按照尺规作图的步骤完成作图.补救措施：教师指导在数轴上找出表示无理数的点，示范作图步的困难.20.2勾股定理的逆定理及其应用第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解并能证明勾股定理的逆定理.定理判定一个三角形是否为直角三角形.【过程与方法】过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.【情感态度与价值观】的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】勾股定理的逆定理的应用.【教学难点】勾股定理的逆定理的证明.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、绳子、铅笔、直尺、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?这就是今天我们探究的问题!(二)探索新知1.出示课件4-9,探究勾股定理的逆定理教师问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗?学生答：三边分别为3,4,5,满足关系：3²+4²=5²,则该三角形是直角三角形.4教师问：完成下面的问题：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).师生一起解答如下：教师问：用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?师生一起解答：如下图所示，它们都是直角三角形.7教师问：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:7①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.这三组数在数量关系上有什么相同点?教师找三名学生回答.学生1答：①5,12,13满足5²+12²=13²,学生2答：②7,24,25满足7²+24²=25²,学生3答：③8,15,17满足8²+15²=17².教师问：如果用字母a,b,c代替上面每一组的数字，你能得到a,b,c之间什么关系式呢?教师问：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?学生答：∵3²+4²=5²,∴满足.教师问：根据上面的式子你有什么猜想呢?学生答：一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形.教师总结如下：由上面几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.教师问：你觉得这个猜想严谨吗?为什么?学生1答：我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.学生2答：我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.教师：试着完成下面的题目.展示问题：已知：如图，在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,并且a²+b²=c².求证：∠C=90°.aa师生共同解答如下：a证明：作△A₁B₁C1,使∠C₁=90°,B₁C₁=a,C₁A₁=b.根据勾股定理，则有A₁Bi²=B₁Ci²+C₁A₁²=a²+b².∵a²+b²=c²,∴A₁B₁=c.教师总结归纳：(出示课件10)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.教师追问：你能利用符号语言描述一下上面的定理吗?师生一起总结如下：在△ABC中，若a²+b²=c²则△ABC是直角三角形.教师总结点拨：(出示课件11)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.考点1:利用勾股定理的逆定理判断直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一个角是直角?(出示课件12)教师找两名学生解答.学生1解：根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直学生2解：∴14²+13²≠15²,不符合勾股定理的逆定理.∴这个三角形不是直角三角形.师生总结点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平出示课件13,学生自主练习后口答，教师订正.考点2:利用勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形的形状直角三角形.(出示课件14)学生独立思考后，师生共同解答.∴△ABC是直角三角形.出示课件15,学生自主练习，教师给出答案.2.出示课件16,探究勾股数教师问：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²那么这个三教师找两名学生回答.学生1答：可以找到，例如3,4,5.学生2答：可以找到，例如5,12,13.教师找四名学生回答.学生1答：3,4,5.5,12,13学生2答：6,8,10.7,24,25.学生4答：10,24,26得到一组新数，这组数同样是勾股数.出示课件17,学生自主练习后口答，教师给出答案.(三)课堂练习(出示课件18-22)练习课件第18-22页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件23)师生共同回顾本节课所学主要内容：三角形是不是直角三角形.(2)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方；②三个数必须都是正整数.三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.(五)课前预习预习下节课(20.2第2课时)的相关内容.知道利用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法七、课后作业1、教材第36页练习第1,2题.2、培优练习20.2第1,2,3,5题.八、板书设计勾股定理的逆定理及其应用第1课时考点1考点2九、教学反思成功之处：1.本节课以“提出问题解决问题”为主线，以学生的自主探索学习为中心，从解决问题的完成情况看，知识目标完全达到，能力目标基本实现，情感目标基本实现.2.在本节课教学中，充分发挥学生在教学中的主体作用，教师不能让学生去自主探究，注重了知识上的及时巩固，也侧重了学生各方面的素质的培养.不足之处：生学好，中等生也能跟上.同时，缺少了板书示范，不利于学生养成良好的书写习惯.2.本节课内容较多，由于时间紧，还是不敢放手，总是牵着学生走，结果学生的积极性没有充分调动起来，还需要注意教师精讲，留足时间让学生探究.20.2勾股定理的逆定理及其应用第2课时【知识与技能】1.进一步理解勾股定理的逆定理；2.灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.【过程与方法】1.通过对勾股定理的逆定理应用的探索，经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状的应用，体验数形结合方法的应用.【情感态度与价值观】1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状的应用，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2-3)工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的AB、BC相交成直角才符合规定.你能测出这个零件是否合格呢?(身边只有刻度尺)观察课件图片，引出本课知识点。(二)探索新知1.出示课件5-7,探究利用勾股定理的逆定理解答角度问题如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q,R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行?教师问：认真读题，找已知是什么?离已知，如下图.教师问：需要解决的问题是什么?学生回答：求出两艘船航向所成角.教师问：由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想?师生一起解答：转化的思想.教师问：知道线段长度，通过线段长度来求