2026年河南省南阳市高职单招数学试题解析及答案

2026年河南省南阳市高职单招数学试题解析及答案试卷题目：已知函数\(f(x)=\sqrt{1+x^2}x\)，\(x\in\mathbb{R}\)。

一、选择题（每题4分，共20分）

1.函数\(f(x)\)的定义域是（）

A.\((\infty,+\infty)\)

B.\([0,+\infty)\)

C.\((\infty,0]\)

D.\([1,1]\)

答案：A

解析：由于\(\sqrt{1+x^2}\)的定义域为\(\mathbb{R}\)，而\(x\)的定义域也是\(\mathbb{R}\)，因此函数\(f(x)\)的定义域是\(\mathbb{R}\)。

2.函数\(f(x)\)在\(x=0\)处的函数值是（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：B

解析：将\(x=0\)代入函数\(f(x)\)，得\(f(0)=\sqrt{1+0^2}0=1\)。

3.函数\(f(x)\)的单调性是（）

A.在\(\mathbb{R}\)上单调递增

B.在\(\mathbb{R}\)上单调递减

C.在\((\infty,0]\)上单调递增，在\([0,+\infty)\)上单调递减

D.在\((\infty,0]\)上单调递减，在\([0,+\infty)\)上单调递增

答案：B

解析：求导数\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}1\)。由于\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)的取值范围是\([0,1)\)，所以\(f'(x)\)总是小于0，因此函数\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递减。

4.函数\(f(x)\)的奇偶性是（）

A.偶函数

B.奇函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

D.无法确定

答案：B

解析：将\(x\)代入函数\(f(x)\)，得\(f(x)=\sqrt{1+(x)^2}+x=\sqrt{1+x^2}+x=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数。

5.函数\(f(x)\)的图像是（）

A.抛物线

B.双曲线

C.指数函数

D.幂函数

答案：B

解析：函数\(f(x)\)的图像是一个双曲线，因为它由两个函数\(y=\sqrt{1+x^2}\)和\(y=x\)的差组成。

二、填空题（每题4分，共20分）

6.函数\(f(x)\)的反函数是_______。

答案：\(y=\sqrt{1+x^2}+x\)

解析：将\(f(x)\)中的\(x\)和\(y\)互换，得到\(x=\sqrt{1+y^2}y\)。解得\(y=\sqrt{1+x^2}+x\)，即\(f(x)\)的反函数。

7.函数\(f(x)\)的极值点是_______。

答案：\(x=0\)

解析：由\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}1\)可知，当\(x=0\)时，\(f'(x)=0\)。而\(f''(x)=\frac{1x^2}{(1+x^2)^{3/2}}\)，在\(x=0\)处，\(f''(0)=1>0\)，因此\(x=0\)是函数\(f(x)\)的极小值点。

8.函数\(f(x)\)在区间\((\infty,+\infty)\)上的最大值是_______。

答案：1

解析：由于\(f(x)\)是单调递减函数，其在定义域上的最大值出现在定义域的左端点，即\(f(0)=1\)。

9.函数\(f(x)\)在区间\((\infty,+\infty)\)上的最小值是_______。

答案：\(\sqrt{2}\)

解析：当\(x\to+\infty\)或\(x\to\infty\)时，\(\sqrt{1+x^2}\)趋近于\(x\)，所以\(f(x)\)趋近于\(\sqrt{2}\)。即\(f(x)\)的最小值是\(\sqrt{2}\)。

10.函数\(f(x)\)的图像与直线\(y=k\)相切的条件是_______。

答案：\(k=\sqrt{2}\)

解析：当\(y=k\)与\(f(x)\)的图像相切时，\(f(x)\)的导数等于直线的