2026年高一数学寒假自学课（人教B版）重难点突破02 利用数量积求最值范围（原卷版）

重难点突破02利用数量积求最值范围内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：定义法】【题型02：基底法】【题型03：坐标法】【题型04：求数量积的最值范围】【题型05：求夹角的最值范围】【题型06：求模长的最值范围】第二步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点平面向量求最值范围的常用方法：1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。【题型01：定义法】1．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（

）

A． B．C． D．5．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．6．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是．【题型02：基底法】7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是．10．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则：若点为线段上的动点，则的取值范围为．

11．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.

(1)若，求的值；(2)求的取值范围.12．如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设.(1)若，用表示；(2)求的取值范围.【题型03：坐标法】13．已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．14．在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（

）.A． B． C． D．15．在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．16．直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为.17．在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为．18．已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为.19．在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为．【题型04：求数量积的最值范围】20．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A． B．C． D．21．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．22．在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则；若，，则的取值范围是.23．已知边长为2的正内一点（包含边界）满足（其中为任意实数），则的取值范围为．24．如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，．(1)若，用，表示；(2)求的取值范围．25．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.

【题型05：求夹角的最值范围】26．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．27．已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．28．已知均为单位向量，若对任意的恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．29．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．30．已知矩形中，，点分别在边上（包含端点），若，则与夹角的余弦值的最大值是.31．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【题型06：求模长的最值范围】32．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．33．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．34．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是.35．已知平面向量，满足，且，则的最大值是.36．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为．37．设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是.1．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．45．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．6．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．7．在中，，，，，且与交于点F，则（用表示），若，则的最大值为．8．已知点，，不重合，且，，若平面内一点满足，则的取值范围是．9．在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为．10．如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，