2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题04 单调性、奇偶性、周期性、对称性的结合10大题型（解析版）

专题04单调性、奇偶性、周期性、对称性的结合10大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数定义一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看,图象是上升的自左向右看,图象是下降的温馨提示：定义中的有以下3个特征（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间．知识点2：函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于原点对称注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域；（2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．奇偶函数的性质（1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.（2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致．（3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反．（4），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数知识点3：函数的周期性函数周期的常用结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则（）；知识点4：函数的对称性①若函数满足，则其函数图象关于直线对称；②若函数满足，则其函数图象关于点对称，知识点5：双对称一周期（1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；（2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；（3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.【题型01复合函数的单调区间】1．若函数在其定义域上单调递增，则函数（）A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减【答案】B【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为；对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误；对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增；对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减.故选：B2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，因为在上单调递增，所以在上单调递减，对于，由解得：，令，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，因为在上单调递减，所以的单调递增区间是函数的单调递减区间，所以的单调递增区间是，故选：C.3．函数f（x）＝的单调递减区间是（

）A． B． C．[1,4] D．[－2,1]【答案】C【详解】由题可知，，解得.令，则，因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以在上单调递减.故选：C.【点睛】4．函数的单调递增区间是．【答案】【详解】由，可得，因为在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性，可知的单调递增区间为.故答案为：5．函数的单调递增区间是.【答案】【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，令，，则，因为在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性得在上单调递减，又在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.6．函数的单调递减区间为.【答案】【详解】令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又单调递减，所以函数的单调递减区间是.故答案为：.【题型02根据函数的单调性求参数】7．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由反比例函数及二次函数的单调性可知，若函数在R上单调递增，有，可得．故选：C8．已知函数在上单调递减，则的取值范围是．【答案】【详解】由题意可得，解得.故答案为：.9．函数，满足对、且，都有，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】不妨设，由，可得，所以函数在上为减函数，依题意得，解得，所以.所以实数a的取值范围是.故选：D.10．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有，所以函数在定义域上单调递增，当时，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，此时若函数要在上单调递增，则，当时，函数，若函数要在单调递增，则，根据分段函数的单调性可得：，解得：，故选：B.11．已知函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则整数为.【答案】或【详解】由已知，，又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，所以，解得，又因为，所以或.故答案为：或.12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为在上单调递减，所以，即.故答案为：.【题型03函数的奇偶性的判断与证明】13．（多选）下列函数中，是奇函数的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】A：的定义域为R，且，即为奇函数，B：的定义域为，且，即为奇函数，C：的定义域为R，且，即为奇函数，D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数.故选：ABC14．下列函数是奇函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，故A错误；对于B：的定义域为，关于原点对称，，即为偶函数，故B错误；对于C：的定义域为，关于原点对称，，则不为奇函数，故C错误；对于D：的定义域为，关于原点对称.对任意的,有;对任意的，有，则；对任意的,有，则;所以，又因为，因此有，即函数是奇函数，故D正确.故选：D.15．下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误；对于B，函数是偶函数，故B错误；对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误；对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确.故选：D.16．已知，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】证明充分性：因为，解得，当时，，则，所以是偶函数；当时，，则，所以是奇函数，故不充分.证明必要性：若为奇函数，则，即，整理得，因为，所以，即，故必要，综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件，故选：B.17．函数在区间上的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为，，则函数为偶函数，排除选项AB；又，则，排除选项D，选项C符合题意.故选：C.18．已知函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】B【详解】，所以的图像关于直线对称，设，则是将的图像向左平移1个单位长度得到的，因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数．因为，记，因，而即且，故为非奇非偶函数，即C、D错误.故选：B.【题型04根据函数的奇偶性求参数】19．已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】不妨设，由奇函数性质可知，所以，即对任意恒成立，于是，所以.故选：D.20．已知是奇函数，则．【答案】【详解】，，则，得，得，当时，，定义域为，满足奇函数的条件.所以.故答案为：21．若函数在上严格单调递减，则的取值范围是【答案】【详解】由题意知，解得，所以.所以的取值范围为.故答案为：22．已知定义域为的奇函数，则的值为．【答案】0【详解】由题可知，所以，又是奇函数，所以，即，所以，所以．故答案为：0.23．若函数（为常数）在定义域上为奇函数，则.【答案】【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设.故答案为：24．已知函数，若函数为奇函数，则.【答案】【详解】，，设，为奇函数，为奇函数，，，，，，对于任意的恒成立，，，.故答案为：.【题型05己知函数的奇偶性求解析式、求值】25．设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，由奇函数的定义可得.故选：C26．设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（

）A．4 B．-4 C．10 D．-10【答案】A【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时，所以，解得，故时，，所以.故选：A27．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，令，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而，则，故选：A.28．已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（

）A．1 B．5 C．9 D．10【答案】D【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数，所以定义域关于原点对称，所以即，解得：或，又，所以，所以函数，所以，故选：D.29．函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式．【答案】【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，所以.当时，，则.因为，所以时，.故答案为：.30．已知函数，则.【答案】【详解】已知，得：，即：，由此可得：.故答案为：31．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．(1)求；(2)求出函数在上的解析式；【答案】(1)0(2)【分析】【详解】（1）因函数是定义域为的奇函数，则；（2）因为函数是定义域为的奇函数，所以；当时，，，又是奇函数，所以．综上，.【题型06函数的周期性】32．已知函数，则（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】B【详解】当时，，即时，的周期为，所以.故选：B.33．若偶函数对任意都有，且当时，，则（

）A．8 B． C．12 D．【答案】B【详解】由得，故，故的一个周期为6，又为偶函数，故，，，故.故选：B34．已知是定义域为的奇函数，且满足，，则.【答案】.【详解】由是定义域为的奇函数，得.，，则.，..故答案为：.35．已知函数的定义域为R，且满足：，，，则.【答案】3【详解】，，两式相加得，，，函数的周期为6，，，，，.故答案为：36．函数的定义域为R，满足，且当时，，则；时，．【答案】16【详解】根据题意，，则；时，，则.故答案为：16；37．已知定义在上的函数满足，且时，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【详解】因为，故，所以函数周期为6，故.故选：A.【题型07函数的对称性】38．已知定义域为的函数满足：，则的解析式可以是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，故选：B39．已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（）A． B．C． D．【答案】A【详解】若，则，故，由函数的图象关于点成中心对称图形，则.故选：A40．若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，又函数的图象是的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的，所以函数图象对称中心的是，故选：B41．已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得，注意到，所以函数的图象关于点对称，所以.故选：D.42．若函数是奇函数，则函数图象可以关于点对称.【答案】【详解】因为是奇函数，可得，即，所以函数图象关于点对称.故答案为:.43．已知函数为定义在上的奇函数，则.【答案】【详解】由于为定义在上的奇函数，故的对称中心为，则，.故答案为：2025【题型08利用函数的性质比较大小】44．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有，所以函数是定义域在上的增函数，又，所以.故选：A45．设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则该函数在上单调递减，所以，故选：C.46．定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】∵，∴，，又∵在上是减函数，且，∴，即.故选：D.47．已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为关于中心对称，所以对称中心是，即是奇函数，故，因为是偶函数，所以的对称轴是，即，所以中，将替换为，得到，故，将替换为，得到，所以，因此的周期为8.所以，，，因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，所以，即.故选：D.48．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为定义在上的函数满足条件，所以函数是偶函数，对任意，当时都有，所以不妨设，则有，因此时，函数是增函数，因为函数是偶函数，所以，因为时，函数是增函数，所以，即，故选：A.49．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为关于中心对称，所以对称中心是，故，因为是偶函数，所以的对称轴是，即，所以中，将替换为，得到，故，将替换为，得到，所以，因此的周期为8.所以，，，因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，所以，∴.故选：D【题型09利用函数的性质解不等式】50．已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减，且，，由，得或，作出的示意图，所以x的取值范围是.故选：C51．已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】在上是奇函数，故，故，当时，单调递增，令，解得，故，结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示.

由得或，由图象得或，所以或，即不等式的解集是.故选：B52．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以，在上单调递增.所以当时，；当时，；当时，；当时，.不等式可变形为或，①，解得；②，解得，综上，不等式的解集为.故选：D.53．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，令，得，所以，又在上单调递增，所以当时，；当时，；等价于或，所以或，所以或，则不等式的解集为.故选：D.54．已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为为偶函数，所以函数关于对称，又因为函数在上单调递增，且，则不等式，等价于，解得，所以的解集是.故选：B.55．设函数，则使得成立的实数的取值范围为.【答案】【详解】由可知其定义域为，且，即函数为偶函数，当时，单调递增，所以当时，单调递减，不等式，可转化为，解得，即不等式的解集为.故答案为：.【题型10单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合】56．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，则.【答案】0【详解】函数的图象向左平移1个单位得函数的图象，而的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，由对任意都有，得，即，解得，因此，即，函数的周期为6，所以.故答案为：057．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是定义域为的奇函数，满足，即，，在等式中，用代替得，所以，故函数是周期为的周期函数，且，对任意的，，所以，因为，所以，故选：C.58．已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（

）A．2 B．1 C．0 D．-2【答案】A【详解】函数的定义域为，，所以，的图象关于点对称，由，得的图象也关于点对称，因此，，则.故选：A.59．已知函数，使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，，即，所以函数图象关于直线对称，当时，，函数在内单调递增，∵，∴，解得.故选：C.60．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C．关于对称 D．【答案】B【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以，又，所以，所以，即，所以函数为偶函数，故A正确；对于B：因为，所以，即，所以函数是周期为的周期函数，当时，，因为当时，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递增，故B错误；对于C：因为函数图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，即，，所以，所以关于对称，故C正确；对于D：，又时，，所以，故D正确；故选：B1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为.【答案】【详解】，由反比例函数性质知当，即时，在单调递增，又在单调递增，所以，所以.综上，即实数的取值范围是故答案为：.2．若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误；令，，，所以为偶函数，即为偶函数，故B正确；也不知其奇偶性，故C错误；令，，，所以为奇函数，即为奇函数，故D错误．故选：B．3．若函数是偶函数，则实数．【答案】【详解】函数的定义域为，由题意可知，即，所以，因该等式对定义域内的任意都成立，故，解得故答案为：4．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数，则对任意的，，故函数的图象关于直线对称，所以