2025年线性代数信号处理应用测试试卷

2025年线性代数信号处理应用测试试卷考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2025年线性代数信号处理应用测试试卷考核对象：电子信息工程、通信工程及相关专业中等级别学生或行业从业者题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。2.任何向量空间都存在一个基，且基的向量数量唯一确定。3.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但无法恢复原始信号。4.离散时间傅里叶变换（DTFT）是周期性的，而快速傅里叶变换（FFT）是非周期的。5.线性时不变（LTI）系统的冲激响应唯一决定了系统的特性。6.特征值不为零的方阵一定是可逆的。7.信号通过理想低通滤波器后，其高频分量会被完全消除。8.哈尔滨变换是信号处理中常用的正交变换之一，其基向量具有正交性。9.离散傅里叶变换（DFT）的长度可以任意选择，但长度越大，计算量越大。10.信号在时域的卷积等效于频域的乘积。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个不是矩阵的奇异值分解（SVD）的应用？（）A.信号去噪B.主成分分析（PCA）C.线性回归D.矩阵特征值计算2.傅里叶变换的对称性中，实数信号的频谱是（）。A.偶函数B.奇函数C.非对称D.无法确定3.信号通过理想高通滤波器后，其低频分量会被（）。A.放大B.滤除C.不变D.衰减4.下列哪个不是线性时不变（LTI）系统的性质？（）A.可叠加性B.时不变性C.非因果性D.微分性5.离散傅里叶变换（DFT）的频域采样间隔与信号长度成（）。A.正比B.反比C.无关D.对数关系6.信号在时域的平移会导致其频域的（）。A.平移B.反射C.调制D.零相移7.下列哪个不是正交变换的特点？（）A.基向量正交B.保留能量C.非线性变换D.可逆性8.矩阵的行列式为零时，该矩阵（）。A.可逆B.不可逆C.正定D.负定9.信号通过理想带通滤波器后，其（）。A.低频和高频分量都被滤除B.特定频段被保留C.所有频段都被放大D.频谱反转10.下列哪个不是快速傅里叶变换（FFT）的优点？（）A.计算效率高B.仅适用于实数信号C.可处理复数信号D.减少计算复杂度三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些是矩阵的特征值性质？（）A.特征值之和等于矩阵迹B.特征值之积等于矩阵行列式C.特征值可以是复数D.特征值对应的特征向量线性无关2.信号处理中常用的正交变换包括（）。A.傅里叶变换B.哈尔滨变换C.离散余弦变换（DCT）D.卡尔曼滤波3.线性时不变（LTI）系统的卷积性质包括（）。A.可分解为多个子系统卷积B.时不变性C.可叠加性D.频域乘积性质4.下列哪些是离散傅里叶变换（DFT）的应用？（）A.信号频谱分析B.图像压缩C.语音识别D.矩阵求逆5.信号通过滤波器后，其（）。A.频谱可能发生变化B.幅度谱和相位谱可能独立变化C.时域波形一定不变D.能量可能守恒6.矩阵的奇异值分解（SVD）应用包括（）。A.信号去噪B.数据降维C.系统辨识D.矩阵求逆7.下列哪些是傅里叶变换的性质？（）A.线性性质B.时移性质C.频移性质D.对称性质8.信号在时域的微分会导致其频域的（）。A.频率升高B.幅度增加C.相位变化D.周期性增强9.下列哪些是线性代数在信号处理中的应用？（）A.矩阵分解B.信号去噪C.系统建模D.频谱分析10.快速傅里叶变换（FFT）的优点包括（）。A.计算效率高B.减少数据量C.适用于复数信号D.可并行计算四、案例分析（每题6分，共18分）1.案例背景：某通信系统接收到的信号为\(x[n]=2\cos(0.1\pin)+\sin(0.2\pin)\)，其中\(n\)为离散时间。假设信号通过一个理想低通滤波器，其截止频率为0.15πrad/sample。问题：（1）求信号\(x[n]\)的频谱；（2）滤波后信号中保留的频率分量有哪些？（3）滤波前后信号的能量是否守恒？说明原因。2.案例背景：某图像处理任务需要对一幅8×8的图像块进行离散余弦变换（DCT），图像块的像素值矩阵为：\[\begin{bmatrix}100&120&110&90&80&70&60&50\\130&140&135&125&115&105&95&85\\160&150&145&135&125&115&105&95\\180&170&165&155&145&135&125&115\\200&190&185&175&165&155&145&135\\220&210&205&195&185&175&165&155\\240&230&225&215&205&195&185&175\\260&250&245&235&225&215&205&195\\\end{bmatrix}\]问题：（1）求该图像块的DCT系数矩阵；（2）DCT变换后，哪些系数的能量占比较大？说明原因；（3）如果只保留能量最大的10%的DCT系数进行反变换，图像质量会受多大影响？3.案例背景：某控制系统中的状态方程为：\[\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t),\quad\mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{u}(t)\]其中矩阵参数为：\[\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-1\end{bmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{C}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},\quad\mathbf{D}=0\]问题：（1）求系统矩阵\(\mathbf{A}\)的特征值和特征向量；（2）判断该系统是否稳定；（3）如果输入信号\(\mathbf{u}(t)\)为单位阶跃函数，求系统的输出响应\(\mathbf{y}(t)\)。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述题：论述线性代数在信号处理中的重要性，并举例说明矩阵分解、特征值分析等技术在信号去噪、系统建模等领域的应用。2.论述题：论述傅里叶变换在信号分析中的作用，并比较时域分析和频域分析各自的优缺点。---标准答案及解析一、判断题1.√2.√3.×（傅里叶变换可逆）4.×（DTFT是周期性的）5.√6.√7.×（保留特定频段）8.√9.√10.√解析：3.傅里叶变换及其逆变换可以完全恢复原始信号。4.DTFT的频域是连续的，周期为2π。7.理想带通滤波器只保留特定频段，而非完全滤除低频和高频。二、单选题1.D2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.B10.B解析：1.矩阵求逆不属于SVD的直接应用。5.DFT的频域采样间隔与信号长度成反比（根据采样定理）。9.带通滤波器保留特定频段。10.FFT仅适用于实数信号的说法错误，FFT也可处理复数信号。三、多选题1.A,B,C,D2.A,B,C3.A,B,C,D4.A,B,C5.A,B,D6.A,B,C7.A,B,C,D8.A,C9.A,B,C,D10.A,C,D解析：1.特征值之和等于矩阵迹，之积等于行列式，可以是复数，对应特征向量线性无关。5.滤波后频谱变化，幅度谱和相位谱可能独立变化，能量可能守恒（无损耗）。四、案例分析1.（1）频谱：\(x[n]\)的频谱为两个正弦信号的频谱叠加，频率分别为0.1π和0.2πrad/sample。（2）保留分量：截止频率为0.15π，因此0.1π的分量被保留，0.2π的分量被滤除。（3）能量守恒：滤波器无损耗，因此能量守恒。2.（1）DCT系数：计算DCT系数矩阵（略，需使用DCT公式）。（2）能量占比：DCT系数具有能量集中特性，能量最大的系数集中在低频部分。（3）图像质量：保留10%的系数会导致部分高频细节丢失，图像质量下降。3.（1）特征值和特征向量：特征值：-1,-3；特征向量分别为\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatr