《用向量方法研究立体几何中的度量关系》高考通关练

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《用向量方法研究立体几何中的度量关系》高考通关练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共4题，20分）1.(5分)[2021杭州调研]方向向量为的直线经过点,则坐标原点到该直线的距离是().A. B. C. D.2.(5分)[2021深圳模拟]如图,在直二面角中,四边形是边长为2的正方形,是等腰直角三角形,其中,则点到平面的距离为().A. B. C. D.3.(5分)[2021南昌调研]如图,是正方形外一点,平面,且分别是的中点,则到平面的距离是().A. B. C. D.4.(5分)[2021宜昌期中]正方体中,点在上运动(包括端点),则与所成角的取值范围是().A. B. C. D.二、多项选择题（共1题，5分）5.(5分)[2021武汉模拟]将正方形沿对角线折成直二面角,下列结论正确的是().A.B.是等边三角形C.与平面所成的角为D.与所成的角为三、填空题（共4题，20分）6.(5分)[2021天津调研]如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,四边形为平行四边形,则的长为_________,点到平面的距离为________.7.(5分)[2021西安调考]如图,在四棱锥中,平面,底面为直角梯形,,且.,分别为线段上的一点(端点除外),满足,当实数的值为___________时,为直角.8.(5分)[2021广州调研]如图,已知在一个二面角的棱上有两个点,线段分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,,则这个二面角的大小为________.9.(5分)[2021启东模拟]将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角,若点满足,则的值为__________.四、解答题（共2题，20分）10.(10分)[2021营口调研]如图,平面,四边形是正方形,分别是的中点.(1)求二面角的大小(2)求证:平面平面(3)求点到平面的距离.11.(10分)[2020浙江高考]如图,在三棱台中,平面平面.(1)证明:(2)求直线与平面所成角的正弦值.《用向量方法研究立体几何中的度量关系》高考通关练答案一、单项选择题1.【答案】D【解析】直线的一个单位方向向量,向量,故点到直线的距离为.2.【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点,所以.设平面的法向量为,则即令,则.故点到平面的距离.3.【答案】B【解析】如图,由题意知平面,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,,所以.设平面的一个法向量为,则即所以,故可取,又因为,所以到平面的距离.4.【答案】D【解析】以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则.设点的坐标为,则.设的夹角为,则,所以当时,取得最大值,此时;当时,取得最小值,此时,所以与所成角的取值范围是.二、多项选择题5.【答案】ABD【解析】取的中点,连接,则.平面.故A正确.易知是等边三角形.故B正确.易知是与平面所成的角,应为.故错误.∵(设),∴与所成的角为.故正确.三、填空题6.【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则,设点.∵四边形为平行四边形,∴由得,∴,即的长为.易得.设为平面的法向量,显然不垂直于平面,故可设,∴即解得∴.又∵,∴点到平面的距离为.7.【答案】【解析】已知平面,故可建立如图所示的空间直角坐标系..设,则.,同理可得.∵,要使为直角,即,则,解得.8.【答案】【解析】设..因此,所求二面角的大小为.9.【答案】【解析】设中点为,连接,则平面.以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,所以,所以,所以.四、解答题10.【答案】【解析】(1)解:∵平面平面.由四边形是正方形知.又平面.∴是二面角的平面角.即二面角的大小为.(2)证明:如图,建立空间直角坐标系,则,.∵是的中点,∴,∴.设平面的法向量为,则即令,得.设平面的法向量为,则即令,得.∵.∴平面平面.(3)解:设点到平面的距离为.由(2)知平面的一个法向量为,,又即点到平面的距离为.11.【答案】【解析】(1)证明:如图①,过点作,垂足为点,连接.由得.由平面平面得平面,所以.由得.所以平面,故.由三棱台得,所以.(2)解:方法一:如图①,过点作,垂足为点,连接.由三棱台得,所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角.由平面得,故平面,所以为直线与平面所成角.设.易得,则,所以,因此,直线与平面所成角的正弦值为.方法二:由三棱台得,所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角,记为.如图②,以为原点,分别以射线为轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设.由题意知各点坐标,.因此.设平面的法向量.由即可取