2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅰ.理）高考数学（含答案）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅰ.理）高考数学【含答案】2/22005年全国普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12题,共计60分)1.复数=（A）

（B）

（C）

（D）2.设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是（A）CIS1∩（S2∪S3）=Φ

（B）S1（CIS2∩CIS3）（C）CIS1∩CIS2∩CIS3=Φ

（D）S1（CIS2∪CIS3）3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（A）

（B）

（C）

（D）4.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）5.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（A）

（B）（C）

（D）6.已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）7.当时，函数的最小值为（A）2

（B）

（C）4

（D）8.设，二次函数的图像为下列之一

则的值为（A）

（B）a

（C）1

（D）-19.设，函数，则使的的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）10.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（A）

（B）

（C）

（D）211.在中，已知，给出以下四个论断：①

②③

④其中正确的是（A）①③

（B）②④

（C）①④

（D）②③12.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A）18对

（B）24对

（C）30对

（D）36对二、填空题(本大题共4题,共计16分)（13）若正整数m满足，则m=

。（14）的展开式中，常数项为

。（用数字作答）（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=

（16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则①

四边形一定是平行四边形.②

四边形有可能是正方形.③

四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形.④

平面有可能垂直于平面.以上结论正确的为

。（写出所有正确结论的编号）三、解答题(本大题共6题,共计74分)（17）设函数图像的一条对称轴是直线。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）证明直线与函数的图像不相切。（18）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。（19）设等比数列的公比为，前n项和。（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较和的大小。（20）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。（精确到）（21）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a＝（3，－1）共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。（22）（Ⅰ）设函数，求的最小值；（Ⅱ）设正数满足，证明

.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）A（2）C（3）B（4）C（5）A（6）D（7）C（8）B（9）C（10）B（11）B（12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（13）155（14）672（15）1（16）①③④三、解答题（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×+)=±1,∴+=kπ+,k∈Z.∵－π<<0,∴=－.(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知=－，因此y=sin(2x－).由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ+,k∈Z.所以函数y=sin(2x－)的单调增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.(Ⅲ)证明：∵|y′|=|（sin(2x－)′|=|2cos(2x－)|≤2,所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[－2,2].而直线5x－2y+c=0的斜率为>2,所以直线5x－2y+c=0与函数y=sin(2x－)的图像不相切.(18)方法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD。因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD。又CD而PCD，∴面PAD⊥面PCD。

（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角。连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形。由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=,PB=,∴cos∠PBE=,∴AC与PB所成的角为arccos.(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN。在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB,所以CM=AM。在等腰三角形AMC中，AN·MC=∴AN=。∴AB=2，∴cos∠ANB=。故所求的二面角为arccos(－).方法二：因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1,).(Ⅰ)证明：因=（0，0，1），=（0，1，0），故·=0，所以AP⊥DC。又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD。（Ⅱ）解：因=（1，1，0），=（0，2，－1），故||=，||=，·=2，所以cos<,>=.由此得AC与PB所成的角为arccos.(Ⅲ)解：在MC上取一点N（x,y,z）,则存在∈R，使，=(1－x,1－y,－z),=(1,0,－),∴x=1－,y=1,z=.要使AN⊥MC，只需·=0，即x－z=0,解得=。可知当=时，N点坐标为（），能使·=0。此时，=（），有·=0。由·=0，·=0得AN⊥MC，BN⊥MC。所以∠ANB为所求二面角的平面角。∵||=。∴cos<，>=。故所求的二面角为arccos(－).(19)本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力的推理能力，满分12分。解：（Ⅰ）因为{an}是等比数列，Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.当q=1时，Sn=na1>0;当q≠1时，Sn=,即1－q<0,上式等价于不等式组：(n=1,2,…)①1－qn<0,1－q>0,或(n=1,2,…)②1－qn>0.解①式得q>1;解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1。综上，q的取值范围是（－1，0）∪（0，+∞）.（Ⅱ）由bn=an+2－得bn=an（q2－q）,Tn=(q2－q)Sn.于是Tn－Sn=Sn(q2－q－1)=Sn(q+)(q－2).又因为Sn>0,且－1<q<0或q>0,所以，当－1<q<－或q>2时，Tn－Sn>0,即Tn>Sn;当－<q<2且q≠0时，Tn－Sn<0,即Tn<Sn;当q=－，或q=2时，Tn－Sn=0，即Tn=Sn.(20)本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算，方法考查随机变量、数学期望等知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为（1－0.5）3=，所以单个坑不需要补种的概率为1－=.3个坑都不需要补种的概率为C恰有1个坟需要补种的概率为C恰有2个坑需要补种的概率为C3个坑都需要补种的概率为C补种费用ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.(21)本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力。满分14分。（Ⅰ）解：设椭圆方程为=1（a>b>0）,F(c,0),则直线AB的方程为y=x－c,代入=1，化简得（a2+b2）x2－2a2cx+a2c2－a2b2=0.令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由=（x1+x2,y1+y2）,a=(3,－1),与a共线，得3（y1+y2）+（x1+x2）=0。又y1=x1－c,y2=x2－c,∴3(x1+x2－2c)+(x1+x2)=0,∴x1+x2=.即所以a2=3b2.∴c=,故离心率e=(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知a2=3b2,所以椭圆=1可化为x2+3y2=3b2.设=(x,y),由已知得（x,y）=(x1,y1)+μ(x2,y2),x=x1+μx2,∴y=y1+μy2∴M(x,y)在椭圆上，∴（x1+μx2）2+3(y1+μy2)2=3b2.即2（x+3y）+μ2(x+3y)+2μ(x1x2+3y1y2)=3b2.①由（Ⅰ）知x1+x2=c，a2=c2，b2=c2.∴x1x2=∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1－c)(x2－c)=4x1x2－3(x1+x2)c+3c2=c2－c2+3c2=0.又x+3y=3b2,x+3y=3b2,代入①得2+μ2=1。故2+μ2为定值，定值为1.(22)本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：对函数f(x)求导数：f′(x)=(xlog2x)′+[(1－x)log2(1－x)]′=log2x－log2(1－x)+=log2x－log2(1－x).于是f′（）=0.当x<时，f′(x)=log2x－log2(1－x)<0,f(x)在区间（0,）是减函数，当x>时，f′(x)=log2x－log2(1－x)>0,f(x)在区间（,1）是增函数。所以f（x）在x=时取得最小值，f()=-1.(Ⅱ)证法一：用数学归纳法证明。（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立。(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数p1,p2,…,满足p1+p2+…+=1,则p1log2p1+p2log2p2+…+log2≥－k.当n=k+1时，若正数p1,p2,…,满足p1+p2+…+=1,令x=p1+p2+…+,q1=q2=…,=则q1,q2,…,为正数，且q1+q2+…+=1.由归纳假定知q1log2q1+q2log2q2+…+log2≥－k.p1log2p1+p2log2p2+…+log2=x(q1log2q1+q2log2q2+…+log2+log2x)≥x(－k)+xlog2x,①同理，由++…=1－x,可得log2+…+log2≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x).②综合①、②两式p1log2p1+p2log2p2+…+_EMBEDEquation.3___log2_EMBEDEquation.3___≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x)≥－(k+1).即当n=k+1时命题也成立。根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。证法二：令函数g(x)=xlog2x+(c－x)log2(c－x)(常数c>0,x∈（0，c）),那么g(x)=c[_EMB