2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅲ.文）高考数学（含答案）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅲ.文）高考数学【含答案】2/22005年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）文科数学（必修+选修Ⅰ）第I卷参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CPk(1－P)n－k一、选择题：每小题5分，共60分.1.已知α为第三象限角，则所在的象限是 （）A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限2.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 （）A.0 B.－8 C.2 D.103.在的展开式中的系数是 （）A.－14 B.14 C.－28 D.284.设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V、P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 （）A. B. C. D.5.设，则 （） A.－2<x<－1 B.－3<x<－2 C.－1<x<0 D.0<x<16.若，则 （） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c7.设，且，则 （） A. B. C. D.8. = （）A. B. C.1 D.9.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且=0则点M到x轴的距离为 （）A. B. C. D.10.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （）A.B.C. D.11.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （）A.3个 B.4个 C.6个 D.7个12.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789ABCDEF10进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （）A.6E B.72 C.5F D.B0二.填空题：每小题4分，共（16分）13.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.14.已知向量，且A、B、C三点共线，则k=.15.曲线在点（1，1）处的切线方程为.16.已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是第Ⅱ卷三.解答题：本大题共6小题，共74分.17.(本小题满分12分)已知函数求使为正值的的集合.18.(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.20.(本小题满分12分)在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项21.(本小题满分12分)用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?22.(本小题满分14分)设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当时，求直线的方程.参考答案一、1~5DBBCA6~10CCBCD11~12DA二、13.314.15.y=-x+216.3三、解答题：17.本小题考查三角函数基本知识和基本运算。满分16分。解：∵f(x)=2sin2x+sin2x=2sin2x+2sinxcosx=2sinx(sinx+cosx).f(x)为正值当且仅当sinx与sinx+cosx同号.在x∈[0，2π]上，若sinx与sinx+cosx均为正值，则x∈(0，);若sinx与sinx+cosx均为负值，则x∈(0，)。所以所求x的集合为{x|0<x<或π<x<}.18.本小题考查相互独立事件同时发生或对立事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件.（Ⅰ）由已知得P(A·B)=P(A)·P(B)=0.05P（A·C）=P(A)·P(C)=0.1P（B·C）=P(B)·P(C)=0.125解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5所以，甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5.（Ⅱ）记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，则P（）=0.8，P()=0.75，P()=0.5，于是P（A+B+C）=1-P（··）=1-P()·P()·P()=0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.19.本小题主要考查四棱锥的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力。满分12分。方法一：（Ⅰ）证明：平面VAD⊥平面ABCDAB⊥ADAB⊥平面VADAB平面ABCDAD=平面VAD∩平面ABCD(Ⅱ)解：取VD的中点E，连结AE，BE.∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE=AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.又由三垂线定理知BE⊥VD.因此，∠AEB是所求二面角的平面角.于是tan∠AEB=即得所求二面角的大小为arctan.方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系.(Ⅰ)证明:不妨设A(1，0，0)，则B(1，1，0)，V(，0，)，=(0，1，0)，=(，0，-)，由·=0，得AB⊥VA又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.∴AB⊥平面VAD.(Ⅱ)解:设E为DV中点，则E(，0，)，=(，0，-)，=(，1，-)，由·=0，得EB⊥DV.又EA⊥DV，因此，∠AEB是所求二面角的平面角.cos(·)=解得所求二面角的大小为arccos.20.本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。解：依题设得：an=a1+(n-1)d，∴，整理得d2=a1d，∵∴d=a1，得an=nd.所以，由已知得d，3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列.由d≠0，所以数列1，3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q==3，由此得k1=9.等比数列{kn}的首项k1=9，公比q=3，所以kn=9×qn-2=3n+1(n=1，2，3，…).即得到数列{kn}的通项为kn=3n+1.21.本小题主要考查建立函数关系式，函数的倒数及其应用等基础知识，以及分析和解决实际问题的能力。满分12分。解：设容器的高为xcm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)=x（90－2x）（48－2x）=4x3－276x2+4320x(0<x<24).求V(x)的导数，得V′(x)=12x2－552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).令V′(x)=0得x1=10，x2=36(舍去).当0<x<10时，V′(x)>0，那么V(x)为增函数;当10<x<24时，V′(x)<0，那么V(x)为减函数.因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3)，答:当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.22.本小题主要考查直线和抛物线等基础知识，考查逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力。满分14分。解：（Ⅰ）F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线