2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ.理）高考数学（含答案）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ.理）高考数学【含答案】2/22010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学（必修+选修II）第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径一．选择题1．复数A． B． C． D．2．函数的反函数是A． B．C． D．3．若变量满足约束条件则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．44．如果等差数列中，，那么A．14B．21 C．28 D．355．不等式的解集为A． B．C． D．6．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A．12种 B．18种C．36种 D．54种7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．△中，点在上，平方．若，，，则=A．a+b B．a+b C．a+b D．a+b9．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A．1 B． C．2 D．310．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则A．64 B．32 C．16 D．811．与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点A．有且只有1个 B．有且只有2个C．有且只有3个 D．有无数个12．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点。若，则A．1 B．C． D．2第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2．本卷共10小题，共90分。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知是第二象限的角，，则．14．若的展开式中的系数是，则．15．已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．16．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）中，为边上的一点，，，，求．18．（本小题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．20．（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．21．（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．22．（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学（必修+选修II）参考答案一、选择题1-6ADCCCB 7-12BBCADB二、填空题13． 14．1 15．2 16．3三、解答题17．解：由cos∠ADC= 知B<由已知得：cosB=，sin∠ADC=从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=由正弦定理得所以AD=18．（I）==所以（Ⅱ）当n=1时，=S=6>3；当>1时，==>=所以，当≥1时19．解法一（I）连结A1B，记A1B与AB1的交点为F。因为面AA1B1B为正方形．故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE//BF，DE⊥AB1。作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点。又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B。连结DG，则DG//AB1。故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD。所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线。（Ⅱ）因为DG//AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°，设AB=2．得AB1=2，DG=，CG=，AC=作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA1C1C又作KH⊥AC1，K为垂足．连结B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1—AC1—B1的平面角。，所以二面角A—AC—B的大小为解法二：（Ⅰ）以B为坐标原点，射线BA为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B，设AB=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，1，0），E（，，0），又设C（1，0，），则=（，，0），=（2，-2，0），=（1，-1，）于是·=0，·=0，故DE⊥BA，DE⊥DC，所以DE为异面直线AB与CD的公垂线。（II）因为（，）等于异面直线BA与CD的夹角。故·=||·||cos45°即2×=4解得=，故=（-1，0，）又==（0，2，0），所以=+=（-1，2，）设平面AAC的法向量为=则·=0，·=0．即且令，则z=1，，故=（，0，1）设平面ABC的法向量为则·=0，·=0即令，则，，故=（，-1）．所以由于等于二面角A-AC-B的平面角所以二面角A-AC-B的大小为20．解：记A表示事件，电流能通过T，i=1，2，3，4．A表示事件：T，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过。（I）相互独立，又=1-0．999=0．001，故=0．001，=0．9，（II））==0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891（III）由于电流能通过各元件的概率都是0．9，且电流能否通过各元件相互独立。故～B（4，0．9）E=4×0．9=3．6。21．解：（I）由题设知，的方程为+2．代入C的方程，并化简得设B（）、D（）则由M（1，3）为BD的中点知，故即故所以C的离心率（II）由①、②知，C的方程为：A（a，0），F（2a，0），故不妨设|BF|=|FD|=|BF|·|FD|===又|BF|·|FD|=17故=17，解得=1，或=（舍去）故|BD|=连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切。22．解：（I）当>-1时，当且仅当令则当≥0时≥0