2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国大纲卷.文）高考数学（含答案）

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国大纲卷.文）高考数学【含答案】2/22011年普通高等学校招生全国统一考试（全国大纲卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题1．设集合U=,则A． B． C． D．2．函数的反函数为A． B．C． D．3．设向量满足，则A． B． C． D．4．若变量x，y满足约束条件则的最小值为A．17 B．14 C．5 D．35．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A． B． C． D．6．设为等差数列的前项和，若，公差，，则A．8 B．7 C．6 D．57．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于A． B． C．6 D．98．已知直二面角，点，，C为垂足，点，，D为垂足。若，则CD=A．2 B． C． D．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有A．12种 B．24种 C．30种 D．36种10．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=A．- B． C． D．11．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=A．4 B． C．8 D．12．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）13．的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为。14．已知∈（，），=2，则=15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为16．已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）设等比数列的前项和为，已知，求和。18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求。19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3。设各车主购买保险相互独立。（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小。21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（Ⅰ）证明：曲线（Ⅱ）若求a的取值范围。22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国大纲卷）文科数学参考答案1．【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求,进而求出其补集为.【精讲精析】选D..2．【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.3．【思路点拨】本题主要考查向量的数量积的运算与向量的模的求法。【精讲精析】选B。依题意得4．【思路点拨】解决本题的关键是作出其可行域。然后要把握住线性目标函数的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。【精讲精析】选C作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.5．【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。6．【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.7．【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C.由题,解得，令，即得.8．【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。【精讲精析】选C.在平面内过C作，连接BM，则四边形CMBD是平行四边形，因为，所以，又,就是二面角的平面角。.所以代入后不难求出。9．答案：选B【精讲精析】依题意，满足题意的选法共有种。10．【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值。【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得:.11．【精讲精析】选C。依题意，设圆心坐标为（a,a），半径为r，其中r=a>0,因此圆方程是，由圆过点（4,1）得，即则该方程的两根分别是圆心的横坐标，12．【答案】选D.13．【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.【精讲精析】0.由得的系数为,x9的系数为,而.14．【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。【精讲精析】由a∈（，），tanα=2得.15．【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。只要在平面A1B1C1D1内过E作及B1C【精讲精析】取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，。16．【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：,故.17．【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。【精讲精析】设的公比为q,由题设得解得或，当时，当时，.18．【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。【精讲精析】（I）由正弦定理得由余弦定理得。故，因此。（II）故.19．【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。（II）第（II）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n次独立重复试验发生k次的概率计算公式求解即可.【精讲精析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。（I）P（A）=0.5，P（B）=0.3，C=A+BP（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8.（II）D=，P（D）=1-P（C）=1-0.8=0.2,P（E）=.20．【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。（II）本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则又SD=1，故所以为直角。由，得,所以.SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以（II）由知，作，垂足为F，则,作，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则又，,故，作，H为垂足，则.，即F到平面SBC的距离为。由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为。设AB与平面SBC所成的角为，则,.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz，设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。又设S（x,y,z），则x>0，y>0，z>0.（I）由得故x=1.由得，又由得，即，故。于是，故，又所以.（II）设平面SBC的法向量，则又故取得，又.故AB与平面SBC所成的角为.21．【思路点拨】第（I）问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。（II）第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.【精讲精析】解：（I）.由得曲线在x=0处的切线方程为由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）。（II）由得（i）当时，没有极小值；（ii）当或时，由得故，由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合（i）（ii）得的取值范围是。22．【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。（II）此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平