2026年湖南省永州市高一入学数学分班考试真题含答案

2026年湖南省永州市高一入学数学分班考试练习题含答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=2x^33x^2x+1的导数为f'(x)，则f'(x)的零点个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n3

B.an=3n6

C.an=4n9

D.an=5n12

答案：A

3.若函数g(x)=x^2+ax+b（a、b为常数）的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点），则a的取值范围是（）

A.a≤2

B.a≥2

C.a≤2

D.a≥2

答案：A

4.若矩阵A满足A^2=2A3I（I为单位矩阵），则矩阵A的行列式值为（）

A.1

B.2

C.3

D.6

答案：C

5.已知函数h(x)=x^33x+c（c为常数）在x=1处取得极值，则c的值为（）

A.2

B.1

C.0

D.1

答案：B

6.若直线y=kx+1与圆(x1)^2+(y2)^2=4相切，则k的取值范围是（）

A.k≤1

B.k≥1

C.k≤1

D.k≥1

答案：C

7.已知函数y=ln(x^2+1)，则其反函数的定义域为（）

A.(∞,0]∪[0,+∞)

B.(∞,0)∪(0,+∞)

C.[0,+∞)

D.(∞,0]

答案：C

8.若等比数列{bn}的前n项和为Tn，且T3=14，T6=60，则该数列的公比为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

9.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d（a、b、c、d为常数）的图像上存在点A、B、C，使得△ABC为等边三角形，则a、b、c、d之间的关系为（）

A.a+b+c+d=0

B.ab+cd=0

C.a+bcd=0

D.abc+d=0

答案：D

10.若函数y=f(x)的图像关于点A(1,2)对称，则函数y=f(x+1)+1的图像关于（）

A.点(0,2)对称

B.点(1,3)对称

C.点(2,3)对称

D.点(1,2)对称

答案：C

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若函数f(x)=x^33x^2+x+1的导数为f'(x)，则f'(x)的极大值为_________。

答案：4

12.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=16，S7=28，则该数列的首项a1的值为_________。

答案：2

13.若函数g(x)=x^2+ax+b（a、b为常数）的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点），则a的取值范围是_________。

答案：a≤2

14.若矩阵A满足A^2=2A3I（I为单位矩阵），则矩阵A的行列式值为_________。

答案：3

15.已知函数h(x)=x^33x+c（c为常数）在x=1处取得极值，则c的值为_________。

答案：1

16.若直线y=kx+1与圆(x1)^2+(y2)^2=4相切，则k的取值范围是_________。

答案：k≤1

17.若函数y=ln(x^2+1)，则其反函数的定义域为_________。

答案：[0,+∞)

18.若等比数列{bn}的前n项和为Tn，且T3=14，T6=60，则该数列的公比为_________。

答案：2

19.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d（a、b、c、d为常数）的图像上存在点A、B、C，使得△ABC为等边三角形，则a、b、c、d之间的关系为_________。

答案：abc+d=0

20.若函数y=f(x)的图像关于点A(1,2)对称，则函数y=f(x+1)+1的图像关于_________对称。

答案：点(2,3)

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，求f(x)的单调区间。

解：f'(x)=3x^26x+1，令f'(x)=0，得x1=1，x2=(3+√3)/3。当x<1或x>(3+√3)/3时，f'(x)>0；当1<x<(3+√3)/3时，f'(x)<0。因此，f(x)的单调增区间为(∞,1)和((3+√3)/3,+∞)，单调减区间为(1,(3+√3)/3)。

22.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为S