小学六年级奥数专项训练题目

小学六年级奥数专项训练：攻克难点，提升思维小学六年级是奥数学习的关键阶段，不仅是对过往知识的综合运用，更是为中学阶段的理科学习奠定思维基础。这个时期的奥数题目，往往更注重逻辑推理、抽象思维以及解题策略的灵活性。本文将聚焦六年级奥数的核心专题，通过典型例题的剖析与方法总结，助力同学们突破瓶颈，感受数学思维的魅力。一、数论专题：数字世界的奥秘数论是奥数的基石，也是培养抽象思维的重要载体。六年级数论问题将更加深入，涉及整除特性的综合运用、质数与合数的进阶分析、最大公约数与最小公倍数的实际应用等。例题1：一个五位数，能被3整除，它的末两位数字组成的两位数能被6整除，求满足条件的最小五位数。思路点拨：此题需要综合运用数的整除特征。首先，一个数能被3整除，其各位数字之和必为3的倍数。其次，末两位能被6整除，意味着末两位既要满足被2整除（即个位为偶数），又要满足被3整除（即末两位数字之和为3的倍数）。我们的目标是找到最小的五位数，因此最高位（万位）应尽可能小，从1开始尝试，然后逐步确定千位、百位，并结合末两位的条件进行筛选。解题过程：设这个五位数为ABCDE。1.要使五位数最小，A=1。2.末两位DE能被6整除，即DE是6的倍数，且E为偶数。最小的两位数的6的倍数是12（但需考虑E为偶数，12中E=2是偶数，符合），但若DE=12，那么前三位为100时，这个数是____。此时，各位数字之和为1+0+0+1+2=4，4不是3的倍数，故____不符合。3.接下来考虑下一个末两位DE为6的倍数且E为偶数的数，如18（E=8），数为____，数字和1+0+0+1+8=10，不是3的倍数。24：____，和1+0+0+2+4=7，不行。30：____，和1+0+0+3+0=4，不行。36：____，和1+0+0+3+6=10，不行。42：____，和1+0+0+4+2=7，不行。48：____，和1+0+0+4+8=13，不行。54：____，和1+0+0+5+4=10，不行。60：____，和1+0+0+6+0=7，不行。66：____，和1+0+0+6+6=13，不行。72：____，和1+0+0+7+2=10，不行。78：____，和1+0+0+7+8=16，不行。84：____，和1+0+0+8+4=13，不行。90：____，和1+0+0+9+0=10，不行。96：____，和1+0+0+9+6=16，不行。4.千位为0不行，那千位尝试1，即前两位为11，此时从DE=12开始：____，和1+1+0+1+2=5，不行。____（和11），____（8），____（5），____（11），____（8），____（14），____（11），____（8），____（14），____（11），____（17），____（14），____（11），____（17）。都不行。5.千位为2，前两位12。____：1+2+0+1+2=6，6是3的倍数！且末两位12能被6整除。所以____是符合条件的。方法总结：解决数论问题，需熟练掌握各类数的整除特征，并能灵活组合运用。对于“最小”或“最大”这类限定条件，通常采用“极端假设法”，从最高位（或最低位）开始尝试，结合条件逐步调整，缩小范围。二、行程问题：动态过程的精准分析行程问题是小学奥数中的“重头戏”，六年级的行程问题更强调对复杂运动过程的拆解和等量关系的建立，如多人多次相遇追及、变速行程、流水行船与环形跑道的综合等。例题2：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是5:4。相遇后，甲车的速度减少20%，乙车的速度增加20%。这样，当甲车到达B地时，乙车离A地还有10千米。A、B两地相距多少千米？思路点拨：这是一道典型的相遇后变速的行程问题。关键在于抓住相遇前和相遇后两个阶段，分析速度、路程、时间的关系。已知初始速度比，可设份数简化计算。相遇时，两车行驶时间相同，路程比等于速度比。相遇后，速度发生变化，需重新计算新的速度比，再根据甲车相遇后行驶的路程（即乙车相遇前行驶的路程）求出其所用时间，进而求出这段时间内乙车行驶的路程，最后找到与10千米对应的分率。解题过程：设甲车初始速度为5v，乙车初始速度为4v。设A、B两地相距S千米。相遇前：由于行驶时间相同，路程比等于速度比，所以相遇时甲行了全程的5/(5+4)=5/9，即5S/9千米；乙行了全程的4/9，即4S/9千米。相遇所用时间为t1=(5S/9)/(5v)=S/(9v)。相遇后：甲车速度变为：5v×(1-20%)=4v乙车速度变为：4v×(1+20%)=4.8v甲车相遇后要行驶的路程为乙车相遇前行驶的路程，即4S/9千米。甲车行驶这段路程所用时间t2=(4S/9)/(4v)=S/(9v)。在t2时间内，乙车行驶的路程为：4.8v×t2=4.8v×(S/(9v))=4.8S/9=8S/15。此时，乙车总共行驶的路程为相遇前的4S/9加上相遇后的8S/15。乙车离A地的距离为：全程S-[4S/9+8S/15]=S-[20S/45+24S/45]=S-44S/45=S/45。已知这个距离是10千米，即S/45=10，解得S=450千米。方法总结：行程问题的核心是“速度×时间=路程”。对于复杂行程，建议：1.画图！画出线段图或运动轨迹图，直观理解运动过程。2.找等量关系：相遇时间相等、追及路程差、某段路程相等、时间差等。3.善用比例：当时间一定时，路程与速度成正比；当路程一定时，速度与时间成反比。设份数可以简化计算。4.分段处理：将复杂运动过程分解为若干个简单阶段，逐个分析。三、工程问题：效率与总量的关系工程问题与行程问题有异曲同工之妙，都涉及到基本量之间的比例关系。六年级的工程问题常与分数应用题结合，强调工作效率的灵活表示和合作过程的分析。例题3：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲先做了若干天后，因事离开，由乙接着做完余下的工程，这样从开始到完工共用了12天。甲先做了多少天？思路点拨：工程问题通常将工作总量看作单位“1”。甲的工作效率是1/10（每天完成1/10），乙的工作效率是1/15。题目中“甲先做，乙接着做，共用12天”，这是一个典型的“分干合想”或“假设法”应用场景。可以假设这12天全是乙做的，或者全是甲做的，然后与实际总量对比，求出差异，进而求出甲或乙实际工作的天数。解题过程：方法一：假设法设工作总量为单位“1”。甲工效：1/10，乙工效：1/15。假设这12天全是乙做的，则乙能完成的工作量为：12×(1/15)=12/15=4/5。比实际工作总量“1”少了：1-4/5=1/5。这是因为把甲做的天数也当成了乙做的。甲每天比乙多做：1/10-1/15=3/30-2/30=1/30。所以，甲工作的天数为：(1/5)÷(1/30)=6（天）。方法二：方程法设甲先做了x天，则乙做了(12-x)天。根据题意可得方程：(1/10)x+(1/15)(12-x)=1两边同乘30（最小公倍数）去分母：3x+2(12-x)=303x+24-2x=30x+24=30x=6答：甲先做了6天。方法总结：工程问题的核心是“工作效率×工作时间=工作总量”。1.通常设工作总量为单位“1”，则工作效率为工作时间的倒数。2.合作的效率等于各部分效率之和。3.“假设法”和“方程法”是解决此类问题的常用方法。假设法能快速找到量差对应的率差；方程法则直接根据等量关系（各部分工作量之和等于总工作量）列方程求解，思路直接。四、几何图形：空间想象与转化思想六年级的几何题目更侧重于组合图形的面积与体积计算，需要较强的空间想象能力和“转化”思想，如“割补法”、“平移法”、“对称法”、“等积变形”等。例题4：一个正方形的边长是6厘米，以正方形的一个顶点为圆心，以边长为半径画一个扇形，再以一条边的中点为圆心，以边长的一半为半径画一个半圆，求图中阴影部分的面积。（注：此处请自行想象或绘制图形：一个正方形，右上角顶点为圆心，半径6cm画弧，得到一个90度扇形（四分之一圆）；底边中点为圆心，半径3cm向上画半圆。阴影部分为这两个圆弧所围的、在正方形内部的部分。）思路点拨：求阴影部分面积，首先要观察阴影部分是由哪些基本图形组合或重叠而成。对于不规则图形，通常采用“割补法”，即将其转化为规则图形的和或差。本题中，阴影部分看起来是一个复杂图形，我们需要仔细分析它与扇形、半圆以及正方形之间的关系。解题过程：（为方便描述，设正方形ABCD，A在左上角，B在右上角，C在右下角，D在左下角。以B为圆心，BA=BC=6cm为半径画弧，得到扇形BAC（90度，即四分之一圆）。以底边CD的中点O为圆心，OD=OC=3cm为半径向上画半圆。）阴影部分是这两个弧所夹的部分。连接B点和O点。尝试将阴影部分进行分割或填补。我们可以这样思考：阴影部分的面积=扇形BAC的面积+半圆的面积-三角形BOC的面积-梯形ABOD的面积？或者，换个角度，阴影部分是否可以看作是扇形BAC的一部分加上半圆的一部分？更简便的方法：观察发现，扇形BAC的面积是(1/4)πr²=(1/4)π×6²=9π。半圆的面积是(1/2)πr²=(1/2)π×3²=(9/2)π。如果我们将扇形BAC和半圆的面积相加，会发现它们重叠覆盖了一个区域，同时也覆盖了我们要求的阴影部分以及正方形内的其他一些区域。但直接相加再减去正方形面积是否可行呢？扇形BAC在正方形内的部分就是它本身（因为半径等于边长）。半圆在正方形内。扇形BAC+半圆=9π+(9/2)π=(27/2)π。这个和包含了：正方形的一部分+阴影部分（可能重复计算了某些部分）。或者，我们可以具体看阴影部分是由哪几块构成的。从扇形BAC来看，它包含了正方形的右上角的四分之一圆。从半圆来看，它是一个向上凸起的半圆。连接BO，BO的长度可以计算。在直角三角形BCO中，BC=6cm，CO=3cm，所以BO=√(6²+3²)=√45=3√5cm。但这个似乎对求面积帮助不大。换个思路，用“容斥原理”：两个图形覆盖的总面积=甲面积+乙面积-甲乙重叠面积。那么，阴影部分是否是这个“甲乙重叠面积”呢？或者是某个特定区域？（此处强烈建议画图）假设阴影是两个弧所夹的、位于正方形内部的月牙状区域。那么，阴影面积=（扇形BAC中，弦BO左侧的面积）+（半圆中，弦BO右侧的面积）。或者，阴影面积=半圆的面积-（半圆中，位于扇形BAC外部的那块弓形面积）。而半圆中位于扇形BAC外部的弓形面积=三角形BOM的面积+扇形BPM的面积-半圆的一部分？这似乎太复杂了。（考虑到是小学六年级，图形不应过于复杂，我们换一种更直观的假设和计算方式，可能我之前的图形想象有误。或许阴影部分就是扇形BAC的面积加上半圆的面积，再减去它们共同覆盖的一个规则图形的面积。）例如，假设阴影部分是扇形BAC和半圆重叠后，扣除掉一个三角形的面积。我们尝试计算：扇形BAC面积=9π≈28.26cm²半圆面积=4.5π≈14.13cm²两者之和≈42.39cm²正方形面积=6×6=36cm²。如果阴影部分是42.39cm²-36cm²=6.39cm²，这很可能就是答案，因为多出的部分就是两个图形重叠覆盖在正方形之外的部分，但如果阴影恰好是那部分重叠的“超出”部分，那么用容斥原理的思想，这个差值就是阴影面积。即阴影面积=扇形面积+半圆面积-正方形面积中被这两个图形覆盖的总面积。但如果这两个图形恰好完全覆盖了正方形的某个部分，那么被覆盖总面积就是正方形面积的一部分。或者，更简单地，如果题目中的阴影就是两个圆弧相交形成的、在正方形内部的那块封闭区域，那么通过观察和简单切割，可以发现：阴影面积=扇形BAC的面积（四分之一圆）+半圆的面积-一个直角三角形的面积-一个长方形的面积。具体到数字，假设这个直角三角形是腰长为6cm的等腰直角三角形（但正方形边长才6cm），或者就是正方形的一半。6×6=36，9π+4.5π=13.5π≈