全等三角形难题集锦

全等三角形难题集锦在平面几何的浩瀚海洋中，全等三角形无疑是一座坚实的桥梁，连接着简单的线条与复杂的证明。它不仅是初中几何的核心内容，更是培养逻辑推理能力和空间想象能力的重要载体。许多同学在初学全等时，对于基本的判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）应用自如，但面对一些条件隐蔽、图形复杂的难题时，往往感到无从下手。本文旨在梳理全等三角形证明中的若干难点，通过典型例题的剖析，提炼解题思路与技巧，助力同学们突破瓶颈，更上一层楼。一、辅助线的巧妙构造——通往全等的“金钥匙”许多全等三角形难题的破解，关键在于能否根据题目的特点，恰到好处地添加辅助线，将分散的条件集中，或将隐含的关系显现。辅助线的添加并非无章可循，它需要对图形性质和判定定理有深刻的理解，并结合题目条件进行联想与尝试。（一）倍长中线法：构造“8”字全等当题目中出现三角形的中线时，“倍长中线”是一种非常经典的辅助线作法。通过延长中线至两倍长度，构造出一对全等三角形，从而实现边或角的转移。例题1：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。思路导引：要证AF=EF，可考虑证明∠FAE=∠FEA。已知AD是中线，故BD=DC。若延长AD至G，使DG=AD，连接BG，则易证△ADC≌△GDB（SAS）。由此可得AC=BG，∠G=∠CAD。又因为BE=AC，所以BE=BG，从而∠G=∠BEG。而∠BEG与∠FEA是对顶角，等量代换即可得证。简要证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG。在△ADC和△GDB中，AD=GD，∠ADC=∠GDB，DC=DB，∴△ADC≌△GDB（SAS）。∴AC=BG，∠CAD=∠G。∵BE=AC，∴BE=BG。∴∠G=∠BEG。∵∠BEG=∠FEA，∴∠CAD=∠FEA。∴AF=EF。难点剖析：本题的难点在于如何将BE和AC这两条看似不相关的线段联系起来。倍长中线AD，成功地将AC“转移”到了BG的位置，与BE构成等腰三角形，从而建立了角之间的关系。这种“转移”思想是解决几何问题的重要策略。（二）截长补短法：解决线段和差问题的利器当题目中出现线段的和、差关系，如“AB=CD+EF”或“某角的平分线与某线段相交，求证线段关系”时，截长补短法往往能发挥奇效。其核心思想是通过在长线段上截取一段等于短线段，或将短线段延长使其等于长线段，从而构造全等三角形。例题2：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。思路导引：要证AB+BD=AC，可考虑在AC上截取AE=AB，再证EC=BD。连接DE，由AD平分∠BAC，易证△ABD≌△AED（SAS），则BD=ED，∠B=∠AED。已知∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C。而∠AED=∠C+∠EDC，故∠EDC=∠C，从而ED=EC，因此BD=EC，所以AB+BD=AE+EC=AC。简要证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS）。∴BD=ED，∠B=∠AED。∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C。又∵∠AED=∠C+∠EDC，∴2∠C=∠C+∠EDC，即∠EDC=∠C。∴ED=EC。∵BD=ED，∴BD=EC。∴AC=AE+EC=AB+BD。难点剖析：本题巧妙之处在于通过“截长”将AC一分为二，利用角平分线的条件构造全等，进而将角的倍数关系转化为等腰三角形的判定，最终实现线段的转化。理解∠AED=∠C+∠EDC这一外角性质的应用是关键。二、图形的运动与变换——从动态视角看全等有些全等三角形问题，其图形并非静态呈现，而是蕴含着平移、旋转、翻折等动态变换思想。能够从复杂图形中识别出这些变换，或主动运用变换思想构造全等，是提升解题能力的重要标志。（一）旋转型全等：寻找旋转中心与旋转角当题目中出现等腰三角形（特别是等腰直角三角形、等边三角形）时，常常可以考虑旋转变换。将图形的某一部分绕着某一点旋转一定角度（通常是60°、90°或180°），使其与另一部分重合或构成全等关系。例题3：已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在BC上，且∠DAE=45°。求证：BD²+CE²=DE²。思路导引：结论是关于线段平方的关系，容易联想到勾股定理。但BD、CE、DE不在同一个直角三角形中。考虑到△ABC是等腰直角三角形，可尝试将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF的位置。则BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF=45°。因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠BAD+∠CAE=45°，即∠CAF+∠CAE=∠EAF=45°=∠DAE。再证△ADE≌△AFE（SAS），得DE=FE。此时，∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△ECF中，由勾股定理得CE²+CF²=EF²，即CE²+BD²=DE²。简要证明：将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，连接EF。则AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF。∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACF=45°。∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°。∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠EAF=45°。在△ADE和△AFE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，∴△ADE≌△AFE（SAS）。∴DE=FE。在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²，∴CE²+BD²=DE²。难点剖析：本题的核心是利用旋转变换，将分散的线段BD、CE集中到同一个直角三角形中，同时构造出与△ADE全等的△AFE，从而将DE与EF联系起来。旋转角的选择（90°）和旋转中心的确定（点A）是基于题目中等腰直角三角形的特殊性。三、复杂图形的分解与整合——拨开迷雾见全等有些几何题目图形复杂，线条繁多，全等关系隐藏较深。此时，需要具备“庖丁解牛”的精神，将复杂图形分解为若干个基本图形（如“一线三垂直”模型、“手拉手”模型等），或通过添加辅助线整合分散条件，从而找到全等的突破口。（一）识别基本模型：快速找到全等线索“一线三垂直”模型是平面几何中非常常见的一种全等模型，其特征是：一条直线上有三个直角顶点，且往往伴随着等腰直角三角形或正方形。例题4：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D。求证：DE=AE-BD。思路导引：图形中出现了∠ACB=90°，AE⊥CE，BD⊥CE，符合“一线三垂直”模型的特征。易证∠ACE+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBD=90°，故∠ACE=∠CBD。再结合AC=BC，∠AEC=∠CDB=90°，可证△AEC≌△CDB（AAS）。则AE=CD，EC=BD。因为DE=CD-EC，所以DE=AE-BD。简要证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCD=90°。∵BD⊥CE，∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°。∴∠ACE=∠CBD。∵AE⊥CE，∴∠AEC=90°。在△AEC和△CDB中，∠AEC=∠CDB，∠ACE=∠CBD，AC=CB，∴△AEC≌△CDB（AAS）。∴AE=CD，EC=BD。∵DE=CD-EC，∴DE=AE-BD。难点剖析：本题的关键在于识别“一线三垂直”模型，利用同角的余角相等快速得到一组对应角相等，进而证明三角形全等。熟练掌握这类基本模型，能极大提高解题效率。四、解题策略与反思解决全等三角形难题，不仅需要扎实掌握全等三角形的判定定理和性质，更需要具备良好的思维习惯和解题策略：1.仔细审题，标注条件：将题目中的已知条件、隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、角平分线、中线、高所带来的性质）在图形上清晰标注，有助于直观分析。2.联想模型，尝试构造：对于复杂问题，要善于联想已学过的基本图形和常见辅助线作法（如倍长中线、截长补短、旋转、翻折等），主动尝试构造全等三角形。3.执果索因，逆向思维：从要证明的结论出发，思考需要哪些条件才能得到该结论，逐步向已知条件靠拢，即“分析法”。4.多法尝试，不拘一格：有些题目可能有多种解法，不要局限于一种思路。尝试不同的辅助线或不同的全等构造方法，往往能拓宽解题视野。5.及时总结，归纳反思：解完题后，要反思解题过程中遇到的困难、关键的突破口、用到的