中小学数学学科竞赛试题及解析

中小学数学学科竞赛试题及解析再看十位相加的情况：1（十位的“数”）+C（十位的“好”），这个和的结果对百位有进位（已经确定是1），对十位的结果是B（和的十位数字）。这里需要考虑个位相加是否有进位。个位上是B（个位的“学”）+D（个位的“玩”），它们的和的个位数字是C（和的个位数字“好”）。设个位相加向十位进了k，k只能是0或1（因为两个一位数相加最大是9+9=18，进位最多是1）。那么，十位上的计算就是：1+C+k=10*m+B。其中m是十位相加向百位的进位。但我们知道和的百位已经是1，而第一个加数的百位是0（它是两位数），第二个加数的百位也是0，所以十位相加必须向百位进1，即m=1。因此：1+C+k=10*1+B→C+k=9+B→B=C+k-9。由于B是一个数字（0-9），C也是一个数字（0-9），k是0或1。我们来分析k的可能取值。如果k=0：则B=C-9。因为B≥0，所以C-9≥0→C≥9。C是一位数，所以C=9，那么B=0。如果k=1：则B=C+1-9=C-8。因为B≥0，所以C-8≥0→C≥8。C可以是8或9。我们先看k=0的情况：C=9，B=0。此时，个位上B+D=0+D=D，其个位数字是C=9，所以D=9。但此时C=9，D=9，“好”和“玩”都是9，违反了“不同的汉字代表不同的数字”的规则。所以k=0的情况不成立。那么只能是k=1。k=1意味着个位相加向十位进了1，即B+D=10+C（因为个位数字是C，且进位1）。现在k=1，B=C-8。C可以是8或9。先试C=8：则B=8-8=0。代入个位等式：B+D=10+C→0+D=10+8→D=18。D是个位数，不可能是18。所以C=8不成立。再试C=9：则B=9-8=1。代入个位等式：B+D=10+C→1+D=10+9→D=18。又出现D=18，不对。咦？这是怎么回事？难道哪里出错了？哦，对了！个位相加是B+D=10*k+C。因为k=1（个位向十位进位1），所以B+D=10*1+C→B+D=10+C。这个式子是对的。当C=9，B=1时，1+D=10+9→D=18，确实不对。C=8，B=0时，0+D=10+8→D=18，也不对。这说明我们前面的分析可能有一个小小的疏漏。在十位相加时，我们得到1+C+k=10*m+B，并且确定m=1，所以1+C+k=10+B。这个式子是对的。对于k=1，B=C+1-10=C-9。啊！这里！我刚才算错了！1+C+k=10+B，当k=1时，应该是1+C+1=10+B→C+2=10+B→B=C+2-10=C-8。哦，这个没错，刚才这里是对的。那问题出在哪里呢？我们再梳理一下。A=1是确定的。我们换个角度，从和的十位数字是B入手。和的十位数字B，是由“数”（1）+“好”（C）再加上个位的进位k得到的（其个位数字）。所以1+C+k=10*t+B，其中t是十位向百位的进位，t=1（因为和是三位数，百位是1）。所以1+C+k=10+B→C+k=B+9。这个式子是核心。k是0或1。个位：B+D=10*k+C。我们有两个方程：1.C+k=B+92.B+D=10k+C将方程1变形为C=B+9-k，代入方程2：B+D=10k+B+9-k→B+D=9k+B+9→D=9k+9。因为D是个位数（0-9），所以9k+9≤9。当k=0时，D=9*0+9=9。此时，从方程1：C=B+9-0=B+9。C是个位数，所以B+9≤9→B≤0，所以B=0，C=9。此时，A=1，B=0，C=9，D=9。“好”=C=9，“玩”=D=9，重复了。所以这个解不行，因为不同汉字代表不同数字。当k=1时，D=9*1+9=18。D=18，不是个位数，矛盾。所以k=1不可能。这就奇怪了，难道题目有问题？还是我哪里想错了？哦！等等！“玩”是D，D=18是不可能的，所以k=1确实不行。k=0时，D=9，C=9，B=0，A=1。此时，“好”=C=9，“玩”=D=9，这两个重复了。那是不是题目允许“好”和“玩”相同？通常数字谜是不允许的。或者，我在认定A=1时，有没有可能十位相加后，本身的1+C就等于10+B，而个位没有进位（k=0），所以1+C=10+B，此时十位向百位进1。那么A=1仍然成立。那么方程就是1+C=10+B（k=0，个位无进位），以及B+D=C（个位相加，无进位，k=0）。那么，由第一个方程：C=B+9。第二个方程：D=C-B=(B+9)-B=9。所以，C=B+9，B可以是0（因为C是个位数，B+9≤9→B≤0），所以B=0，C=9，D=9。还是同样的结果：数=1，学=0，好=9，玩=9。看来，唯一的可能就是“好”和“玩”都是9。这可能是题目设计的一个小瑕疵，或者在某些竞赛中，允许不同位置的相同数字？或者我确实漏掉了什么？或者，和的“数学好”是一个三位数，“数”是1，“学”是B，“好”是C。而“数学”是两位数“1B”，“好玩”是两位数“CD”。我再想想，有没有可能C=0？如果C=0，那么从十位看，1+0+k=10m+B。m只能是0或1。如果m=1，则1+0+k=10+B，k最大1，1+0+1=2=10+B，B=-8不可能。如果m=0，则1+0+k=B，k=0时B=1；k=1时B=2。若C=0，k=0，B=1。个位：B+D=C→1+D=0→D=-1，不可能。若C=0，k=1，B=2。个位：2+D=10*1+0→D=8。此时，A=1，B=2，C=0，D=8。检验：12+08=20？12+08=20，和是20，不是1BC=120啊！所以不对。所以，看来只能是A=1，B=0，C=9，D=9。虽然“好”和“玩”都是9，但可能在本题中，出题者默认首位可以为0？不对，“好玩”是两位数，“好”是十位，C不能为0。或者，我最初认定A=1是错的？两个两位数相加得到三位数，百位只能是1啊！除非这两个两位数都是99，99+99=198。所以A不可能不是1。那么，或许题目就是这样设计的，答案就是“数学好”=109。虽然“好”和“玩”都是9，但可能题目中“不同的汉字代表不同的数字”这个条件我理解错了？或者题目本身存在这个小小的不严谨。考虑到这是小学竞赛题，可能更侧重于考察分析过程，答案应该就是109。答案：“数学好”所代表的三位数是109。（三）图形计数题目：数一数，下面的图形中共有多少个三角形？（*此处应有一个由多个小三角形组成的复杂图形，为方便描述，我们假设这是一个由一个大三角形，每条边都平均分成了3份，然后连接各分点形成的图形。即类似一个边长为3的小等边三角形组成的大等边三角形。*）分析与解答：对于这类图形计数问题，我们通常采用分类枚举的方法，按照三角形的大小或组成方式来分别计数，最后求和，这样可以避免重复或遗漏。假设这个大等边三角形的每条边都被平均分成了3份，我们把最小的那种等边三角形的边长看作1个单位。第一种：边长为1的小三角形。我们可以分层数，或者按方向数（尖朝上和尖朝下）。*尖朝上（顶角在上）的：最顶层（第1层，从上往下）：1个。第2层：3个。第3层：5个。（规律是每层比上一层多2个，1,3,5...）总数：1+3+5=9个。*尖朝下（顶角在下）的：这种三角形在边长为n的大三角形中（n为边上的份数），最多只能有边长为k的，其中k≤n//2。这里n=3，所以k可以是1。第2层（从下往上看，或者说能容纳尖朝下小三角形的层数）：在第2和第3层之间，有1个。第3层：如果n更大，会有更多，但这里n=3，尖朝下的边长为1的只有1个。（或者直接观察：在大三角形内部，尖朝下的小三角形，边长为1的，每行从第2行开始有，个数为(n-1),(n-3),...直到非负。n=3时，就是(3-1)=2？不对，我刚才数的是1个。可能我的直观有误。我们换个方式，对于边长为3的大等边三角形（由3x3小等边三角形组成）：尖朝上的小三角形（边长1）：1+2+3=6个？不对，之前的1+3+5是针对每边有n个小三角形边长的情况，比如n=3，每层尖朝上边长1的数量是n-(层-1)。或者更简单的，对于边长为m（这里m指大三角形每条边上有m个小三角形的边）的大等边三角形，尖朝上的边长为1的三角形个数是m(m+1)/2。当m=3时，3*4/2=6个。之前的1+3+5=9是错误的，那是正方形网格中数正方形或者另一种图形的规律。我这里纠正一下。正确的方法：对于一个每条边被分成m等份的大等边三角形（即由边长为1的小等边三角形组成，大三角形的边长为m）：*尖朝上的三角形：边长为1的：1+2+3+...+m=m(m+1)/2。边长为2的：1+2+...+(m-1)=(m-1)m/2。边长为3的：1+2+...+(m-2)=(m-2)(m-1)/2。...以此类推，直到边长为m的：1个。*尖朝下的三角形：边长为1的：1+2+...+(m-1)=(m-1)m/2。（当m≥2时）边长为2的：1+2+...+(m-3)=(m-3)(m-2)/2。（当m≥4时）边长为k的尖朝下三角