2024年高考数学江苏省真题及解析

2024年高考数学江苏省真题及解析引言2024年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学科目已落下帷幕。作为高考中的核心科目，数学不仅是对学生知识掌握程度的检验，更是对其逻辑思维、分析问题和解决问题能力的综合考量。本文旨在通过对本年度江苏卷数学真题的深入解析，为广大考生、家长及教育工作者提供一份详实的参考，以期帮助大家更好地理解试卷结构、命题特点及考查方向，为未来的学习与教学提供借鉴。一、真题解析（一）选择题部分选择题作为试卷的开篇，通常注重基础知识的覆盖面和基本技能的考查，同时也会设置一定的区分度。例1（模拟真题）：已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|log₂(x-1)≤1}，则A∩B=（）A.[1,2]B.(1,2]C.[2,3]D.(1,3]解析：本题主要考查集合的运算以及一元二次不等式、对数不等式的解法，属于基础题。首先解集合A中的不等式：x²-3x+2≤0，因式分解得(x-1)(x-2)≤0，解得1≤x≤2，所以A=[1,2]。接着解集合B中的不等式：log₂(x-1)≤1。根据对数函数的单调性，可得0<x-1≤2¹，即1<x≤3，所以B=(1,3]。则A∩B为两个区间的公共部分，即(1,2]。故本题答案为B。点评：此类题目要求考生熟练掌握集合的交并补运算，并能准确求解基本不等式。解题时需注意对数函数的定义域，这是易失分点。例2（模拟真题）：函数f(x)=sin(2x+φ)(φ∈R)的图像向左平移π/6个单位长度后得到的函数为偶函数，则φ的值可以是（）A.π/6B.π/3C.-π/6D.-π/3解析：本题考查三角函数的图像变换及函数的奇偶性。函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移π/6个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到的新函数解析式为：g(x)=sin[2(x+π/6)+φ]=sin(2x+π/3+φ)。因为g(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，即当x=0时，函数取得最值（最大值1或最小值-1）。因此，有π/3+φ=kπ+π/2(k∈Z)，解得φ=kπ+π/2-π/3=kπ+π/6(k∈Z)。当k=0时，φ=π/6；当k=-1时，φ=-5π/6等。观察选项，A选项π/6符合要求。点评：三角函数的图像变换和性质是高考常考内容。考生需准确记忆平移规律，并理解奇偶性在三角函数中的具体体现（如正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对称轴过最值点等）。（二）填空题部分填空题主要考查学生对数学概念的准确理解和基本运算的熟练程度，部分题目具有一定的灵活性。例3（模拟真题）：已知向量a=(1,m)，b=(2,-1)，若a⊥b，则实数m的值为______。解析：本题考查向量垂直的充要条件。若两个向量a与b垂直，则它们的数量积为零，即a·b=0。已知a=(1,m)，b=(2,-1)，则a·b=1×2+m×(-1)=2-m。令2-m=0，解得m=2。点评：平面向量的数量积运算及其几何意义是基础知识点，应确保计算准确无误。例4（模拟真题）：某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______cm³。（*此处省略三视图，假设为一个常见组合体，如一个正方体上方放置一个同底的四棱锥*）解析：本题考查由三视图还原几何体并求其体积。（根据假设的三视图描述）该几何体由一个正方体和一个四棱锥组合而成。正方体的棱长可从三视图中得出，设为acm，则正方体体积为a³。四棱锥的底面为正方体的上底面，其面积为a²，高也可从三视图中读取，设为hcm，则四棱锥体积为(1/3)×a²×h。（假设正方体棱长为2cm，四棱锥高为1cm）则正方体体积为8cm³，四棱锥体积为(1/3)×4×1=4/3cm³。故该几何体的总体积为8+4/3=28/3cm³。点评：由三视图还原几何体是立体几何的入门题型，需要考生具备一定的空间想象能力。解题时应先确定几何体的构成，再分别计算各部分体积相加或相减。（三）解答题部分解答题是数学试卷的核心，全面考查学生的逻辑推理、综合分析和规范表达能力。例5（模拟真题-数列）：已知数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a₂=3，S₅=25。（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2^(an)，求数列{bn}的前n项和Tn。解析：（1）设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d。已知a₂=3，即a₁+d=3①。S₅=25，根据等差数列前n项和公式Sn=n*a₁+n(n-1)d/2，可得5a₁+(5×4)d/2=25，化简得5a₁+10d=25，即a₁+2d=5②。②-①得d=2，代入①得a₁=1。所以数列{an}的通项公式为an=a₁+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（2）由（1）知an=2n-1，所以bn=2^(an)=2^(2n-1)=(2²)^n/2=4^n/2=(1/2)*4^n。可以看出数列{bn}是首项b₁=(1/2)*4¹=2，公比q=4的等比数列。其前n项和Tn=b₁(1-q^n)/(1-q)=2*(1-4^n)/(1-4)=2*(4^n-1)/3=(2/3)(4^n-1)。点评：数列题通常作为解答题的开篇，难度适中，主要考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式。解题时需仔细审题，准确套用公式，并注意计算的准确性。第（2）问中，对bn的化简是关键，要能识别出等比数列的特征。例6（模拟真题-立体几何）：如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，点D，E分别是棱BC，B₁C₁的中点。（1）求证：DE//平面A₁ABB₁；（2）求三棱锥A₁-BDE的体积。（*此处省略图形，直三棱柱底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面*）解析：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为点D，E分别是棱BC，B₁C₁的中点。连接A₁B，AB₁，两线交于点O（或直接利用中位线）。方法一：在△B₁BC中，D是BC中点，E是B₁C₁中点，又因为B₁C₁平行且等于BC，所以BD平行且等于C₁E，故四边形BDC₁E是平行四边形，所以DE//B₁B。又B₁B⊂平面A₁ABB₁，DE⊄平面A₁ABB₁，所以DE//平面A₁ABB₁。方法二：连接A₁D，AD，因为E是B₁C₁中点，A₁B₁C₁是△ABC的对应三角形，D是BC中点，由直三棱柱性质知A₁E平行且等于AD，所以四边形A₁ADE是平行四边形，所以DE//A₁A。又A₁A⊂平面A₁ABB₁，DE⊄平面A₁ABB₁，所以DE//平面A₁ABB₁。（注：具体辅助线需结合图形，此处提供两种思路）（2）解：要求三棱锥A₁-BDE的体积，可利用等体积法转换顶点。因为AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=√(AB²+AC²)=√8=2√2，D为BC中点，故AD=BC/2=√2，且AD⊥BC。直三棱柱中，AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AD，AA₁⊥BC。以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系，则各点坐标可求，进而求得相关线段长度和点到面的距离。或者，因为DE//平面A₁ABB₁（由（1）知），所以点E到平面A₁BD的距离等于点D到平面A₁ABB₁的距离？（此思路需谨慎）。更直接的方法：VA₁-BDE=VE-A₁BD。先求S△A₁BD的面积，再求点E到平面A₁BD的高。在平面ABC中，AD=√2，BD=√2。A₁A=2，A₁D=√(AD²+A₁A²)=√(2+4)=√6。A₁B=√(AB²+A₁A²)=√(4+4)=√8=2√2。在△A₁BD中，BD=√2，A₁B=2√2，A₁D=√6。可由余弦定理求角，再求面积；或用海伦公式。cos∠A₁BD=(A₁B²+BD²-A₁D²)/(2*A₁B*BD)=(8+2-6)/(2*2√2*√2)=4/(2*2*2)=4/8=1/2。所以sin∠A₁BD=√3/2。S△A₁BD=(1/2)*A₁B*BD*sin∠A₁BD=(1/2)*2√2*√2*(√3/2)=(1/2)*4*(√3/2)=√3。点E在B₁C₁中点，平面A₁BD在平面A₁BC或A₁B₁C₁等。考虑到直三棱柱，平面BCC₁B₁垂直于平面ABC，AD⊥BC，所以AD⊥平面BCC₁B₁。点E到平面A₁BD的距离，可看作是点E到直线BD的距离在某个方向上的投影？或者，因为AD⊥平面BCC₁B₁，且AD是平面A₁BD的一部分，所以平面A₁BD⊥平面BCC₁B₁？交线为BD。过E作BD的垂线，垂足为F，则EF⊥平面A₁BD，EF即为高。在矩形BCC₁B₁中，BC=2√2，BB₁=2，E为B₁C₁中点，D为BC中点。易得四边形BDC₁E为矩形（因为B₁C₁//BC，且E、D为中点），所以ED//BB₁，ED=BB₁=2，BD=√2，EC₁=√2。在矩形BDC₁E中，E到BD的距离即矩形的高，也就是ED对应的高？不，矩形的对边平行且相等，E到BD的距离可以用面积法：S矩形BDC₁E=BD*EF=ED*BD？（此处BD是底，ED是高）。S=BD*ED=√2*2=2√2。同时S=BD*EF，所以EF=S/BD=2√2/√2=2。所以VE-A₁BD=(1/3)*S△A₁BD*EF=(1/3)*√3*2=2√3/3。即VA₁-BDE=2√3/3。点评：立体几何题重点考查空间线面位置关系的证明和空间几何体体积的计算。证明线面平行通常有两种思路：利用线线平行或面面平行。求体积则常用直接法（公式法）或等体积法（转换顶点或底面）。本题（2）问计算稍复杂，需要考生具备较强的空间想象能力和计算能力，合理建立坐标系或利用几何性质是简化计算的关键。（四）解答题（综合应用与创新部分）这部分题目通常难度较大，综合性强，旨在考查学生分析问题、解决问题的能力和数学核心素养。例7（模拟真题-解析几何）：已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2/2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：原点O到直线l的距离为定值。解析：（1）由题意知，离心率e=c/a=√2/2，所以c=(√2/2)a。又因为a²=b²+c²，所以a²=b²+(1/2)a²，即b²=(1/2)a²，所以a²=2b²。椭圆过点(1,√2/2)，代入椭圆方程得：1²/a²+((√2/2))²/b²=1，即1/a²+((2/4))/b²=1，化简为1/a²+1/(2b²)=1。将a²=2b²代入上式，得1/(2b²)+1/(2b²)=1，即2/(2b²)=1，所以1/b²=1，b²=1，进而a²=2。故椭圆C的标准方程为x²/2+y²=1。（2）证明：当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m。代入椭圆方程得m²/2+y²=1，解得y=±√(1-m²/2)。则A(m,√(1-m²/2))，B(m,-√(1-m²/2))。因为OA⊥OB，所以OA·OB=0，即m*m+[√(1-m²/2)][-√(1-m²/2)]=m²-(1-m²/2)=0。化简得m²-1+m²/2=0，(3m²)/2=1，m²=2/3，|m|=√(2/3)=√6/3。此时原点O到直线l的距离d=|m|=√6/3。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t(t≠0)。联立方程组：{y=kx+t{x²/2+y²=1消去y得：x²/