六年级数学下册：植树问题的模型建构与应用拓展

六年级数学下册：植树问题的模型建构与应用拓展一、教学内容分析

本节课隶属于“数学广角”范畴，是小学阶段模型思想与应用问题解决能力培养的关键节点。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角解构，本课知识技能图谱的核心在于“植树问题”这一经典数学模型。它并非孤立的知识点，而是对“间隔规律”这一核心概念的深度探究，其认知要求从具体情境的“理解”上升至一般规律的“应用”与“模型建构”。在单元知识链中，它上承“找规律”、“乘除运算”，下启“行程问题”、“方阵问题”乃至中学的函数思想，起着重要的承转作用。过程方法上，课标强调的“模型思想”、“推理能力”与“应用意识”在此得到集中体现。本节课将引导学生经历“简化情境—画图操作—发现规律—抽象模型—解释应用”完整的数学建模过程，实现从“解一道题”到“掌握一类方法”的跃迁。素养价值渗透方面，通过解决与生活紧密相连的间隔问题，旨在培养学生的几何直观、逻辑推理能力，并在探究中体会有序思考、化繁为简的数学思想魅力，实现思维严谨性与实践应用性的统一。

学情研判需立体化。六年级学生已具备扎实的乘除法运算能力和初步的线段图绘制经验，生活中对“间隔”现象（如排队、路灯）有丰富的感性认识，此为探究的起点。然而，认知障碍亦明显存在：一是易将三种情形（两端都栽、只栽一端、两端不栽）的模型混淆；二是面对复杂变式时，难以准确识别其对应的基本模型，易陷入机械套用公式的误区。基于此，过程性评估设计为：在探究初期，通过观察学生画图表征的策略，诊断其“一一对应”思想的理解程度；在模型应用阶段，设计辨析性提问与开放性格子图问题，动态捕捉学生的思维盲点。教学调适策略上，对基础层学生，提供标准线段图脚手架，强化“数形结合”的支撑；对学优生，则引导其归纳模型间的内在联系，并挑战非封闭路线的植树问题，满足其思维深度拓展的需求。二、教学目标

知识目标：学生能够理解“间隔数”与“棵数”之间关系的本质是“一一对应”，并能根据具体情境（两端都栽、只栽一端、两端不栽）准确建立三者间的数学模型。理解其核心是“棵数”与“间隔数”的对应关系，而非机械记忆公式，能用规范的语言解释模型的推导过程与应用条件。

能力目标：学生能够独立运用画图（线段图、点子图）策略分析简单间隔问题，从具体实例中归纳普遍规律，发展几何直观与归纳推理能力；能够在新的问题情境（如锯木头、敲钟、排队）中，识别其与植树问题的同构关系，并选择合适的模型进行求解，提升数学模型的应用与迁移能力。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能积极参与讨论，敢于表达自己的猜想，并认真倾听、辨析同伴的观点，体验集体智慧的价值。在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的广泛联系，激发运用数学知识优化现实世界的兴趣与意愿。

科学（学科）思维目标：重点发展“模型思想”与“化归思想”。学生能将复杂的现实问题简化为“点与间隔”的几何模型，并经历“具体—抽象—具体”的完整思维过程。通过对比三种模型，学会用辩证、联系的眼光看待数学规律，理解条件变化对结论的影响。

评价与元认知目标：引导学生依据“图示清晰、推理有据、表述准确”的标准进行小组互评与自我反思。在学习结束后，能回顾建模过程，总结“遇到复杂问题时，可以先从简单情况入手寻找规律”的解题策略，并能有意识地评估自己选择模型的理由是否充分。三、教学重点与难点

教学重点：建立并理解“植树问题”中“间隔数”、“总长”、“间距”与“棵数”之间的数学模型，特别是区分“两端都栽”、“只栽一端”、“两端不栽”三种基本情形下的数量关系。其确立依据源于课标对“模型思想”这一核心素养的强调，此模型是小学阶段应用问题解决的典型范式，是理解“一一对应”数学思想的重要载体。同时，该知识点是“小升初”考查中的高频考点，常以变式题、综合题形式出现，直接检验学生的分析建模与逻辑推理能力。

教学难点：灵活、准确地识别实际问题是与哪种基本模型同构，并正确应用模型解决问题。难点成因在于：首先，实际问题往往以“路灯”、“楼层”、“队列”等不同“包装”出现，对学生抽象提取本质特征的能力要求高；其次，三种模型极易混淆，尤其是当问题情境从“线段”模型拓展至“环形”或“方阵”时，学生的认知跨度大。预设依据来自对学生常见错误的分析，如常忽视“两端”条件而误选公式，或将“锯木头次数”与“段数”的关系与植树问题简单对应导致错误。突破方向在于强化“画图分析”和“抓住端点状态”进行判断的策略。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（含动态演示三种模型建立过程、生活实例图片、分层练习）；磁贴或卡片（用于在黑板上贴出“树”与“间隔”）。

1.2学习材料：分层学习任务单（含探究表格、分层练习题）；实物投影仪。2.学生准备

2.1学具：直尺、彩笔。

2.2预习：观察生活中的“间隔”现象（如马路边的路灯、教室里的窗户），简单记录。3.环境布置

3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究。

3.2板书记划：划分出“探究区”、“模型区”、“应用区”三大板块。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：同学们，为了美化校园，学校计划在一条20米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵。请大家快速口算一下，需要准备多少棵树苗？（稍作停顿，等待不同答案出现）我听到有说5棵的，有说4棵的，还有说3棵的？咦，同一个问题，怎么会有这么多不同的答案？看来这里面大有学问！

1.1核心问题提出与路径明晰：到底需要多少棵树苗？答案的不同，可能取决于我们怎么“栽”树。今天这节课，我们就化身“小小园林规划师”，一起研究“植树问题”。我们将从最简单的情况开始画图研究，发现规律，最后总结出解决这类问题的金钥匙，看谁能成为最厉害的设计师！先想想，要研究清楚这个问题，我们需要考虑哪些因素？（引导说出：路长、间距、怎么种两端）对，特别是“两端怎么处理”，是问题的关键。第二、新授环节任务一：动手操作，初探规律（两端都栽）

教师活动：我们先研究最常见的情况：小路两端都栽树。为了方便研究，我们用一条线段代表20米长的小路，用竖线代表树。请大家在任务单上，假设间距是5米，动手画一画，数一数，需要几棵树？同时完成表格第一行：总长20米，间距5米，间隔数？棵数？。“画图可是我们数学探究的‘显微镜’，看看谁能最先发现秘密！”巡视指导，关注学生是用“画点”还是“画线”表示树，引导规范。请一位同学上台用磁贴展示。“大家看，他贴一个‘树’，空一段‘间隔’，再贴一棵‘树’……这种排列像我们学过的什么？（一一对应）除了总长和间距，还有哪个数量很重要？（间隔数）”

学生活动：在任务单上用线段图表示总长20米，按5米间距进行等分，并用竖线标注“树”的位置。通过数一数，得出间隔数为4，棵数为5。观察图形，思考棵数与间隔数的关系，尝试用语言描述（棵数比间隔数多1）。完成探究表格。

即时评价标准：

1.图示是否清晰、规范地表示了“树”与“间隔”。

2.能否从具体数据中准确数出间隔数与棵数。

3.在小组交流中，能否用自己的语言初步描述观察到的规律。

形成知识、思维、方法清单：

1.★画图策略：遇到复杂或抽象的问题，可以通过画简单的线段图（或示意图）将问题具体化、可视化，这是解决问题的首要步骤。“先画图，再思考”是个好习惯。

2.★基本概念：总长、间距（相邻两棵树之间的距离）、间隔数（总长÷间距）。明确这三个量是已知基础。

3.▲初步规律：在“两端都栽”的情况下，通过观察发现棵数=间隔数+1。此时先不急于给出公式，强调是通过“数”出来的直观发现。任务二：数据验证，归纳模型（两端都栽）

教师活动：“我们只试了一种情况，这个‘多1’的规律每次都成立吗？会不会是巧合？”引导进行不完全归纳。布置小组任务：请各小组选择不同的总长和间距（如总长15米，间距3米；总长24米，间距4米），再次画图验证，并完成表格。巡视中提问：“不画图，你能直接算出间隔数吗？怎么算？”“看看你们小组这几组数据，棵数和间隔数永远保持着什么关系？”“谁能用一个式子表示这种关系？（棵数=间隔数+1）”

学生活动：小组分工合作，选取不同数据进行画图验证。计算间隔数（总长÷间距），并数出对应棵数，填入表格。观察多组数据，确认“棵数比间隔数多1”的规律普遍成立。尝试用数学等式表示：棵数=间隔数+1。

即时评价标准：

1.小组合作是否有序、高效，每个成员是否都参与了数据的生成与验证。

2.能否从多个具体实例中归纳出共性规律，并用准确的数学语言进行表述。

3.能否理解“间隔数=总长÷间距”是推导模型的前提。

形成知识、思维、方法清单：

1.★不完全归纳法：通过研究多个特例，发现其中不变的规律，并推测这是一个普遍规律。这是数学发现的重要方法。“大胆猜想，小心验证”。

2.★“两端都栽”模型：棵数=间隔数+1，其中间隔数=总长÷间距。这是本节课第一个核心数学模型。强调其成立的前提条件是“两端都栽”。任务三：对比探究，构建模型体系

教师活动：“园林设计可不止一种方案！如果小路起点是一座房子，不能栽树（只栽一端），或者两端都有障碍物（两端不栽），棵数又会怎样变化呢？”组织小组竞赛：每组选择一种新情况（只栽一端或两端不栽），用同样的“画图填表找规律”的方法进行研究，时间3分钟。“比比哪个小组最快发现新规律！”待各组汇报后，利用课件动态演示三种情况，将三种模型并列展示。“大家的目光要像探照灯一样，来回对比这三幅图，核心差异在哪里？（端点处有没有树）这导致了棵数与间隔数的关系有什么不同？”

学生活动：小组选择一种新情境进行探究，画图、计算、填表、归纳规律。派代表汇报发现：只栽一端时，棵数=间隔数；两端不栽时，棵数=间隔数1。观察对比三种模型的图示与公式，理解差异源于“端点”的处理方式。

即时评价标准：

1.能否将探究“两端都栽”的方法成功迁移到新情境中。

2.汇报时，能否结合图示清晰地解释新模型的推导过程。

3.在对比观察中，能否敏锐指出三种模型的本质区别在于“端点”。

形成知识、思维、方法清单：

1.★模型体系：完整构建三种基本模型。两端都栽：棵数=间隔数+1；只栽一端：棵数=间隔数；两端不栽：棵数=间隔数1。

2.★核心思想（一一对应）：抛开公式，从本质上理解：当“只栽一端”时，一棵树对应一个间隔，完美一一对应，所以棵数=间隔数；当“两端都栽”时，开头多一棵树，破坏了完美对应，所以“+1”；“两端不栽”则开头少一棵树，所以“1”。理解本质才能灵活应用。任务四：抽象提炼，形成解题策略

教师活动：“现在我们已经掌握了三把‘尺子’，遇到真正的植树问题，你打算怎么用？”引导学生提炼解题步骤。提出一个辨析题：在一条全长100米的跑道一边插彩旗，每隔5米插一面（两端都插），一共要多少面？学生列式后追问：“100÷5=20，这个20是间隔数还是彩旗数？为什么加1？”“所以，我们的第一步是什么？（判断类型）第二步呢？（求间隔数）第三步？（根据类型选公式）”

学生活动：跟随教师引导，总结解决植树问题的一般步骤：①审题，判断属于三种基本模型中的哪一种（关键看“两端如何”）；②求间隔数（总长÷间距）；③根据模型关系求棵数（或其它量）。口头复述解题思路。

即时评价标准：

1.能否清晰、有条理地复述解题的三个关键步骤。

2.在辨析提问中，能否准确区分“间隔数”与“棵数”这两个易混淆概念。

3.能否意识到“判断类型”是解题的首要且关键的步骤。

形成知识、思维、方法清单：

1.★解题步骤：一判（类型）、二求（间隔数）、三算（棵数）。固化这一思维程序有助于避免盲目套公式。

2.易错点警示：总长÷间距=间隔数，不是棵数！必须先明确这个结果的意义，再根据类型调整。这是最常见的计算错误根源。任务五：联想迁移，模型拓展

教师活动：“智慧的火花需要碰撞！请大家想一想，生活中有哪些现象和我们研究的‘植树问题’模型很像？”引导学生发散思考。“比如，听，钟声响了（播放音频）：广场上的大钟3时敲3下，6秒敲完，9时敲9下要多久？这里的‘敲’像不像‘栽树’？‘间隔时间’像不像‘间距’？”引导学生将敲钟问题“翻译”成植树模型（两端都敲，相当于两端都栽，间隔数=敲击数1）。再展示“木工锯木头”、“爬楼梯”等图片。“看，数学模型就像一个万花筒，能解释千变万化的世界！”

学生活动：积极联想生活中的类似现象（排队、路灯、护栏、钉扣子等）。重点分析“敲钟问题”，通过讨论将其与“两端都栽”模型建立联系：敲的下数相当于棵数，间隔时间相当于间距，总时间相当于总长。理解“锯1次木头条数+1”与“只栽一端”模型的同构性。

即时评价标准：

1.能否举出至少一个合理的、与植树问题同构的生活实例。

2.在分析“敲钟问题”时，能否准确地进行“翻译”，找到“敲击数”与“间隔数”的对应关系。

3.是否体会到数学模型的应用广泛性，感受到数学学习的价值。

形成知识、思维、方法清单：

1.▲模型迁移（化归思想）：许多实际问题（如敲钟、锯木、爬楼、排队）可以转化为“植树问题”模型来解决。关键在于识别出问题中的“点”（树、钟声、锯痕、楼层）和“间隔”，并判断“两端”的状态。

2.学科价值：数学的价值之一在于其强大的建模能力。掌握一个核心模型，往往能解决一类问题。这提示我们要深入理解模型的本质，而非死记硬背。第三、当堂巩固训练

分层训练体系：

1.基础层（直接应用）：

(1)在一条长80米的路的一侧栽树（两端都栽），每隔8米栽一棵，一共要栽多少棵？

(2)一个圆形池塘周长是150米，每隔5米栽一棵柳树（只栽一端），需要树苗多少棵？（提示：封闭图形属于“只栽一端”模型）

设计意图：巩固三种基本模型，第(2)题引入封闭曲线，检验对模型本质（端点）的理解。

2.综合层（情境辨识与应用）：

(1)把一根木头锯成5段，需要锯几次？如果每锯一次用时2分钟，锯完共需几分钟？

(2)小明从1楼爬到5楼回家，共爬了几层楼梯？如果他每爬一层用时20秒，从1楼到5楼共需多久？（忽略其他时间）

设计意图：将模型迁移到常见变式情境，考察学生识别“点”与“间隔”、判断模型类型的能力。

3.挑战层（开放探究）：

(1)在一个正方形操场四周插彩旗，四个角上都要插。如果每条边插5面彩旗，一共需要多少面彩旗？请你尝试用我们今天学过的知识来分析。

设计意图：联系“方阵问题”，鼓励学有余力的学生进行综合探究与创造性思考，将线性模型拓展至二维平面。

反馈机制：学生独立完成后，首先在小组内交换批改基础题，讨论分歧。教师巡视，收集综合层与挑战层的典型解法与错误案例。利用实物投影展示两种案例：一种解题步骤清晰、模型选择正确的优秀作业；一种因误判类型或混淆概念导致的错误。组织学生进行“诊断”，分析错误原因。“大家来做小医生，看看这个‘病例’问题出在哪里？是‘诊断’（判断类型）错了，还是‘用药’（用公式）错了？”教师最后进行总结性点评，强调审题和抓本质的重要性。第四、课堂小结

结构化总结与元认知反思：“同学们，这节课的探索之旅即将到站，谁能来当‘首席总结官’，用最简练的语言说说我们的收获？”引导学生从知识、方法、思想三个层面总结。鼓励学生尝试画一个简单的思维导图（教师可板书画出主干：中心词“植树问题”，分出“三种模型”、“核心思想”、“解题步骤”、“生活应用”等分支）。“回顾一下，我们是怎么发现这些规律的？（从简单画图开始）以后遇到新的复杂问题，你会怎么想？（先尝试简化、画图寻找规律）这就是‘化繁为简’的策略魅力。”

分层作业布置：

必做（基础+综合）：1.完成练习册上关于三种基本模型的题目。2.找一找生活中的两个“植树问题”实例，并尝试用数学语言描述它属于哪种模型。

选做（探究）：研究“挑战层”的正方形插旗问题，并思考：如果是一个正六边形呢？你能发现什么规律吗？

“下节课，我们将带着这些模型工具，去解决更多有趣的、更复杂的间隔问题，期待大家更精彩的表现！”六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.直接应用：根据给定条件（总长、间距、种植方式），直接计算棵数。设计包含三种基本模型的题目各一道。

2.概念辨析：判断题或选择题，重点考查对“间隔数”、“棵数”概念的理解及三种模型的区分。例如：“在一条路上植树，间隔数总是比棵数少1。（）”

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.情境应用题：提供“路灯安装”、“队列人数与间隔”、“楼梯层数”等真实情境，要求学生先判断属于何种模型，再列式解答。

2.微型项目：“设计一份班级文化墙版面分割方案”。假设文化墙长6米，计划等距离张贴若干幅作品（画），要求美观且两端不留太多空白。请你设计至少两种不同的张贴方案（考虑不同的间距和“两端”处理方式），并计算出每种方案需要多少幅作品。

探究性/创造性作业（选做）：

1.变式探究：研究“在一条路上植树，如果一端种柳树，另一端种杨树，且两种树交替种植”这类“两种物体”的间隔规律，并尝试总结。

2.数学小论文（或解说视频）：以“藏在生活中的‘植树问题’”为题，记录你发现的至少三个生活实例，详细分析它们是如何与植树模型对应的，并分享你的发现过程与思考。七、本节知识清单及拓展

1.★核心概念—间隔数：总长度被等分成的段数。计算公式：间隔数=总长÷间距。这是所有模型计算的基础，务必首先准确求出。

2.★三种基本模型：

两端都栽：棵数=间隔数+1。（起点和终点都有“点”）

只栽一端：棵数=间隔数。（起点或终点只有一个“点”）

两端不栽：棵数=间隔数1。（起点和终点都没有“点”）

3.★本质思想—一一对应：理解模型的关键。在直线上，理想的一一对应状态是“一个点对应一个间隔”（即只栽一端）。两端都栽相当于在一端多了一个点（+1），两端不栽相当于在一端少了一个点（1）。

4.★解题策略步骤：一判（判断两端情况，确定模型）、二求（总长÷间距，求间隔数）、三算（根据模型公式计算棵数或其他量）。

5.▲封闭图形（只栽一端模型）：在圆形、正方形等封闭曲线上植树，相当于“只栽一端”，因为首尾相连，没有多余的端点。所以：棵数=间隔数。

6.★易错点警示：切勿将“总长÷间距”的结果直接当作棵数！必须明确其是“间隔数”，再根据模型调整。

7.▲常见生活模型迁移：

敲钟问题：敲击次数相当于“棵数”，敲击间隔时间相当于“间距”，总时间相当于“总长”。通常视为“两端都敲”，故间隔数=敲击数1。

锯木头问题：锯的次数相当于“植树问题”中的“点”（树），锯出的段数相当于“间隔数”。锯1次得2段，属“只栽一端”模型：段数=次数+1？不对！请注意对应关系：次数=段数1（两端不锯，相当于两端不栽）。

爬楼梯问题：楼层数相当于“点”（树），楼梯层数相当于“间隔数”。从1楼到n楼，爬了(n1)层楼梯，属“两端都栽”的逆向（已知点求间隔）。

8.★数学方法—化繁为简：面对复杂问题（如路很长，树很多），先从简单情况（路短、树少）画图入手，寻找规律，这是解决数学问题的通用策略。

9.▲方阵问题（拓展）：可看作是二维的“植树问题”。例如，正方形每边摆5个棋子，四个角重复，总棋子数为：4×(51)=16个。本质是处理“角”这个特殊“端点”。八、教学反思

（一）目标达成度评估本节课预设的知识与能力目标达成度较高。通过课堂观察与随堂练习反馈，绝大多数学生能正确建立三种基本模型并解决直接应用问题。在“模型迁移”任务中，约70%的学生能顺利将敲钟问题转化为植树模型，表明对模型本质有一定理解。情感目标在小组探究环节表现突出，学生参与积极，讨论热烈。然而，元认知目标中的“策略总结”部分，仅部分优生能清晰表述，需在后续教学中持续强化。

（二）环节有效性分析导入环节的“认知冲突”设计成功激发了全体学生的探究欲望。新授环节的五个任务构成了清晰的认知阶梯：“任务一、二”的动手操作与归纳，有效突破了重点；“任务三”的对比探究，帮助学生系统构建了知识网络；