三年级数学：连续进位的笔算乘法探究与实践

三年级数学：连续进位的笔算乘法探究与实践一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本节课属于“数与代数”领域“数的运算”主题。在知识图谱上，它既是两、三位数乘一位数（不进位、一次进位）笔算方法的自然延伸与综合应用，也是后续学习多位数乘多位数笔算的重要基石。其认知要求从“理解”迈向“熟练应用”，核心技能在于掌握连续进位乘法竖式的规范书写与准确计算流程。过程方法上，本课是发展学生运算能力和推理意识的绝佳载体。学生需在理解“满几十向前一位进几”算理的基础上，经历自主尝试、错误辨析、方法优化的完整探究过程，从而将程序性操作内化为稳定的运算策略。在素养价值层面，连续进位所要求的步步为营、严谨有序，是培养学生思维严谨性、条理性的具体抓手；而对复杂计算问题的成功解决，亦能增强其学习数学的自信心与克服困难的意志力，实现“会用数学的思维思考现实世界”的素养渗透。基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已牢固掌握表内乘法、整十整百数乘一位数的口算，以及不进位和一次进位的笔算乘法，具备了学习本节课的知识储备。然而，连续进位步骤增多，计算复杂度提高，学生极易出现“忘记加上进位数”或“进位加错位置”等典型错误，其思维难点在于在保持高速记忆与处理进位数信息的同时，完成本位计算。教学中将通过设计关键设问、暴露常见错误、组织对比辨析等活动进行动态评估。针对不同层次学生，将采取差异化支持：对基础薄弱学生，提供可操作的“步骤贴士卡”和更多口头复述算理的机会；对学有余力学生，则引导其探索计算中的模式规律或尝试解决位数更多的拓展问题，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得成长。二、教学目标知识目标方面，学生将深度理解连续进位乘法的算理本质，即“哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几”，并能够用规范、流畅的竖式笔算正确计算两位数、三位数乘一位数（连续进位）的算式，形成结构化、可迁移的笔算乘法知识网络。能力目标聚焦于运算能力与问题解决能力的协同发展。学生能够在真实或模拟的问题情境中，准确识别并选择笔算乘法（连续进位）作为解题策略，独立、正确完成计算过程，并具备初步的估算意识和验算习惯，能通过粗略估算判断计算结果的大致范围，或运用再算一遍、逆运算等方法进行简单验算。情感态度与价值观目标旨在培养科学严谨的学习品质。在探究与练习过程中，引导学生体验步步为营、细致检查的重要性，逐渐形成认真、踏实、有条理的计算习惯，并在小组交流中乐于分享自己的思路，也能虚心倾听并借鉴他人的方法，感受合作学习的价值。科学（学科）思维目标重点发展学生的数感与推理意识。通过观察、比较不同算例，学生能感知连续进位对乘积大小的影响规律；在解释每一步计算的含义时，锻炼其有条理、有依据的数学表达能力，实现从直观操作到抽象算理的思维进阶。评价与元认知目标关注学生对自己学习过程的监控与调节。引导学生建立并使用简单的自查清单（如：数位对齐了吗？每一步的进位都加上了吗？），学会反思典型错误的原因，并能用语言描述避免错误的策略，从而提升其学习的自主性与反思能力。三、教学重点与难点教学重点确立为：掌握两位数、三位数乘一位数（连续进位）的笔算方法，并能正确熟练地进行计算。其依据源于课程标准的学业要求与学科逻辑本身。从课标看，掌握整数笔算乘法是第二学段“数的运算”中的核心基础技能。从知识结构看，连续进位笔算是整数乘法运算规则的综合体现，其方法的掌握直接决定了后续多位数乘法乃至小数乘法学习的流畅度。从能力立意看，正确进行连续进位计算是衡量学生运算能力是否扎实、思维是否严谨的关键指标，在学业评价中属于高频基础考点。教学难点在于：理解并正确处理连续进位过程中“乘加”两步计算的算理逻辑，避免漏加进位数或加错数位。预设难点主要基于两点：一是认知跨度，学生需在短时间内连续完成“相乘”、“加进位”两个心理运算步骤，并保持中间结果的短时记忆，这对三年级学生的思维负荷是挑战；二是常见错误分析，作业与测试中，“忘记加进位数”是此类计算最高频的失分点，其根源在于学生对“进位数”是计算过程不可或缺的一部分这一算理理解不深，仅将其视为附加步骤。突破方向在于强化对每一步计算“为什么这么做”的理解，通过慢镜头分解、错例对比、算理复述等方式，将内隐思维外显化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态演示算理、分层练习题目）、实物投影仪。1.2学习材料：分层探究学习任务单、典型错例辨析卡、小组互动评价量表。2.学生准备2.1知识预备：复习一位数乘两位数（一次进位）的笔算。2.2学具：练习本、铅笔、直尺（用于画横线，培养规范书写习惯）。3.环境布置3.1座位安排：小组合作式座位，便于讨论与互评。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：1.1（课件出示）创设“学校运动会奖品采购”情境：“为表彰优秀运动员，王老师去文具店采购跳绳。一捆跳绳是36根，如果需要购买4捆，一共要买多少根跳绳呢？”1.2抛出核心问题：“这个问题该怎么列式？（36×4）这个算式和我们之前学的乘法有什么不一样的感觉吗？估一估，结果大概是多少？”（学生口答列式并估算）“有同学说感觉会进位，而且可能不止一次，你的数感很准！今天我们就一起来挑战这个‘连环进位’的乘法计算。”2.唤醒旧知与明确路径：2.1快速口算热身：“我们先来练练手，回顾一下旧知识。”（出示：28×3,19×5等一次进位乘法）“这些题在计算时，要注意什么？”（学生回忆：数位对齐，从个位算起，满几十向前一位进几。）2.2“说得很清楚。那么，如果进位不止一次，我们刚才总结的方法还管用吗？计算过程中又会遇到哪些新情况？这就是这节课我们要一起探险的内容。我们将通过几个挑战任务，把‘连续进位’这个堡垒攻克下来。”第二、新授环节任务一：初次尝试，暴露思维原状教师活动：首先，明确任务：“请大家当一回‘计算小先锋’，在任务单上独立尝试用竖式计算36×4。计算过程中，把你觉得拿不准或容易出错的地方，稍微标记一下。”巡视课堂，有目的地收集几种典型做法：完全正确的、漏加一次进位的、进位数书写位置错误的。然后，利用实物投影同时展示23份不同过程的学生作品（匿名）。“同学们，这几位‘先锋’的探险路线略有不同，我们一起来当‘评审官’，看看哪份地图能带领我们找到正确答案？先看结果，你同意哪个？”学生活动：独立思考并尝试完成竖式计算。在观察投影上的不同算法时，进行对比和判断，积极发表自己的看法，指出认为正确的算法，并对其他算法提出疑问或指出可能的问题所在。即时评价标准：1.探究态度：能否独立、认真地进行首次尝试，并在遇到困难时坚持思考。2.观察与辨析：能否仔细观察不同算法的差异，并基于已有的计算规则（如进位规则）进行初步判断。3.表达与倾听：发言时能否指向具体的计算步骤说明理由；倾听时能否关注他人观点的合理性。形成知识、思维、方法清单：★核心冲突点：连续进位时，进位的处理成为焦点。正确的计算必须每一步都包含“乘”和“加”两个环节，缺一不可。例如36×4，个位6×4=24，写4进2；十位3×4=12，这里的12是“乘得的积”，必须加上个位进来的2，得到14，最终写4进1。这里学生易犯的错误是十位只算3×4=12，忘记加2。▲教学提示：此环节不急于给出标准答案，重在暴露多样化的学生思维，尤其是错误思维，为后续的深度辨析和算理理解制造认知冲突，激发探究欲望。任务二：算理辨析，“慢镜头”分解步骤教师活动：聚焦到正确的算法和一份典型的漏加进位错误算法上。“看来大部分‘评审官’都认为第一种算法正确。那我们就像看动画慢镜头一样，把正确算法的每一步拆开来看。”结合课件动态演示：先展示个位计算，突出“4乘6得24，满20向十位进2，个位写4”；再展示十位计算，用颜色高亮“4乘3得12”的“12”，和“加上个位进上来的2”的“+2”，得到14。“大家发现了吗？十位上的这个‘14’是怎么来的？它可不是直接4乘3得来的哦！”接着，对比错误算法：“第二种算法的问题出在哪一步？谁能上来指出来并说说为什么错了？”学生活动：跟随教师的引导和课件演示，口述每一步的计算过程，特别是十位上的计算。通过对比，清晰地指出错误算法中漏加了进位数，并能解释“因为个位相乘满二十了，进了2到十位，所以十位算的时候一定要把这个2加上”。即时评价标准：1.算理解释：能否用语言清晰地描述竖式中每一步计算的具体含义，特别是“乘”和“加”的结合。2.错误归因：能否准确找出错误算法中的问题步骤，并能从算理层面（忘记加上进位的数）解释错误原因。形成知识、思维、方法清单：★核心算理：笔算乘法中，每一位上的计算都是“本位相乘的积”加上“前一位进上来的数”。连续进位只是将这一基本规则在多位数上连续应用。★规范流程：计算口诀可归纳为：“乘加同步，不忘进位”。即从个位算起，用一位数依次乘多位数的每一位；乘到哪一位，就把积的个位写在那一位下面；哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几，并且在计算前一位时，必须加上这个进位数。▲思维方法：通过“慢镜头分解”和“正误对比”，将抽象的连续过程具体化、可视化，这是理解复杂算理、克服思维难点的重要策略。任务三：方法建模，提炼计算法则教师活动：引导学生从具体例子上升到一般方法。“我们刚刚成功解决了36×4。现在，你能总结一下，做这种可能会连续进位的乘法竖式，stepbystep，到底应该怎么做，才能保证万无一失吗？小组内讨论一下，试着用几句话把‘秘诀’说出来。”巡视指导，聆听各小组的总结。随后请小组代表分享，教师板书关键词，并最终与学生共同完善、归纳出清晰的计算步骤法则。随后，教师进行规范性示范书写，强调数位对齐、进位数字的书写位置（略小，写在横线上方相应数位右下角）。学生活动：以小组为单位，围绕教师提出的问题展开讨论，回顾刚才的计算过程，尝试用自己的语言总结计算步骤和注意事项。派代表向全班汇报小组的“秘诀”，倾听其他小组的补充，共同参与计算法则的最终建构。即时评价标准：1.合作与交流：小组内是否人人参与讨论，能否倾听同伴意见并整合观点。2.归纳与抽象：小组总结的“秘诀”是否抓住了计算的核心步骤（对齐、顺序、进位处理），语言是否简洁、准确。形成知识、思维、方法清单：★完整算法：两、三位数乘一位数（连续进位）的笔算法则：1.相同数位对齐；2.从个位乘起；3.用一位数依次去乘多位数的每一位；4.哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几；5.计算前一位时，要加上后一位进上来的数。▲易错警示：进位数字是“过程记录”，必须参与下一次计算，算完后可以不刻意划去，但书写应轻小以免与结果数字混淆。计算顺序的坚持是避免混乱的保证。★书写规范：竖式中进位的“小数字”书写位置需统一、规范，保持卷面整洁，这既是良好习惯，也能辅助思维清晰。任务四：巩固内化，“小老师”讲解教师活动：出示一道新的计算题：48×7。“现在，我们请一位‘小老师’到讲台上来，边写竖式边讲解计算过程。其他同学仔细听，他讲得是否清晰，计算是否完全正确。”在学生讲解完毕后，教师可追问：“在计算十位时，4乘7等于28之后，你心里想的下一步是什么？”“最后百位上这个‘3’是怎么来的？”通过追问深化对连续进位过程的理解。学生活动：积极争取或认真观察“小老师”的讲解。在聆听过程中，心里同步计算，判断讲解的正确性与清晰度。回答教师的追问，进一步厘清算理。即时评价标准：1.讲解的清晰度与自信：“小老师”能否步骤分明、语言流畅地复述计算过程，并正确完成计算。2.听众的专注与反馈：台下学生能否专注聆听，并能发现讲解中可能存在的细微问题或提出有价值的补充问题。形成知识、思维、方法清单：★技能内化：“讲出来”是比“做出来”更高层次的掌握。通过角色扮演，促使学生将外部操作步骤与内在算理理解进行整合输出，巩固记忆与理解。▲元认知激活：在扮演“小老师”和作为听众评价的过程中，学生自然地站在了教学者的角度审视计算过程，这有助于其反思和优化自己的计算策略，提升自我监控能力。任务五：挑战迁移，尝试三位数相乘教师活动：提出迁移性挑战：“看来两位数的连续进位乘法已经难不倒大家了。如果乘数变成三位数，比如计算172×4，你们敢不敢挑战？规则还一样吗？请大家先独立思考计算。”巡视，关注学生是否将法则迁移过来，特别是十位和百位的连续进位处理。完成后，展示一份优秀作品，并提问：“这道题和刚才做的有什么相同和不同？在计算哪一步时需要特别小心？”学生活动：独立尝试计算三位数乘一位数（连续进位）172×4。计算后思考并回答教师的对比性问题，总结三位数与两位数在连续进位计算上方法的一致性，以及位数增多可能带来的更多进位环节。即时评价标准：1.迁移应用能力：能否在没有详细步骤指导的情况下，独立将刚总结的笔算法则正确应用到三位数乘法中。2.概括与联系：能否总结出不同位数乘法在算理和算法上的统一性，认识到方法是普适的。形成知识、思维、方法清单：★方法普适性：笔算乘法的连续进位规则适用于任意多位数乘一位数的计算。位数增加只是增加了应用该规则的次数，并未改变规则本身。▲思维进阶：从两位数到三位数的尝试，是学习从具体到一般、从特殊到普遍的归纳与迁移过程，是培养学生数学迁移能力和自信心的关键一步。★复杂情况预判：三位数相乘可能出现两次或三次连续进位，需更强的短时记忆和注意力分配。可通过“边说边算”或“分步标记”来辅助。第三、当堂巩固训练本环节设计分层、变式的练习体系，以满足不同学生的学习需求，并提供即时反馈。1.基础巩固层（全员过关）：1.2.内容：列竖式计算：47×8,69×7,128×3。这三题涵盖了两位数、三位数及典型的连续进位情形。2.3.实施与反馈：学生独立完成，完成后同桌互换，依据黑板上的计算法则清单进行互评，用红笔圈出错误步骤并签名。教师巡视，收集共性错误，为集中讲评做准备。“同桌就是你的第一任‘质检员’，要认真负责哦！”4.综合应用层（大多数学生挑战）：1.5.内容：情境应用题：“一个影剧院有258个座位，一天放映4场电影，每场都坐满。这一天最多有多少人观看电影？”2.6.实施与反馈：学生需先判断用乘法计算，再列竖式解答。请一名学生上台板演并讲解解题思路。教师侧重评价其“问题识别策略选择计算执行答案回应”的完整解题链。“他不仅算对了，更重要的是讲清楚了‘为什么用乘法’，这就叫‘知其然，更知其所以然’。”7.思维挑战层（学有余力选做）：1.8.内容：①在□里填上合适的数字，完成竖式谜题（设计有连续进位逻辑的缺数字竖式）。②思考：计算一个三位数乘9，积的百位数字可能会是进位得来的吗？举例说明。2.9.实施与反馈：提供在任务单背面或单独卡片上。学生自主选择完成。在下课前几分钟，请有想法的学生分享其解决策略或发现，教师予以激励性点评。“这些挑战题就像数学花园里的小径，探索下去可能会有意想不到的风景。”第四、课堂小结引导学生进行结构化总结与元认知反思，是课堂的升华环节。1.知识整合：“同学们，这节课的‘探险’接近尾声。如果让你用思维导图或者几个关键词来概括今天的收获，你会写下什么？”（引导学生说出：连续进位、乘加同步、从个位算起、不忘加进位等）教师随即板书核心关键词，形成简易的知识网络图。2.方法提炼与元认知：“回顾一下，我们是如何一步一步掌握这个新本领的？（从尝试→对比错例→弄清算理→总结方法→练习巩固）这个方法对我们以后学习新的计算有帮助吗？”“计算中最容易掉进去的‘坑’是什么？你想到什么好办法来避开它？”（学生可能回答：仔细、算一步查一步、心里默念步骤等）3.作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下一个“引子”：“今天我们用竖式征服了连续进位的乘法。其实古人计算乘法也有很巧妙的方法，比如‘铺地锦’。有兴趣的同学可以课后去了解一下，看看古人的智慧和我们的竖式有什么异曲同工之妙。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成练习册指定页面中关于两、三位数乘一位数（连续进位）的基础计算题，共5道。要求书写规范，并利用估算大致判断结果合理性。2.从今天练习的计算题中，挑选一道你最容易出错的题，在旁边用红笔写出“提醒自己的话”（如：“十位算完一定要加进位！”）。拓展性作业（建议完成）：3.生活小调查：请你回家找一找生活中的“一个数连续乘以几次”的例子（如：一箱苹果的个数×箱数；一盒巧克力的块数×盒数），自己编一道需要用连续进位乘法解决的数学题，并解答。写下题目和计算过程。4.计算小医生：老师提供了两道有错误的竖式计算题，请你诊断“病因”并改正。探究性/创造性作业（选做）：5.数学文化探秘：查阅资料，了解一种非竖式的乘法计算方法（如“铺地锦”法或划线法），尝试用它计算一道连续进位的乘法题（如25×8），并记录你的探索过程和感受。6.规律发现者：观察一组算式如15×9,25×9,35×9,45×9的积，你能发现积的个位、十位、百位有什么规律吗？大胆提出你的猜想，并再试几个例子验证。七、本节知识清单及拓展★核心概念：连续进位乘法。指在多位数乘一位数的笔算中，从个位起，某一位或连续几位相乘后加上进位数，结果仍达到或超过10，需要继续向更高位进位的乘法运算。它是基本进位规则的迭加应用。★算理本质：笔算乘法中，每一位上的计算结果都由两部分构成：“本位乘积累”+“低位进位数”。连续进位只是这一规则在多位上的连续体现。理解这一点是避免漏加进位的根本。★算法步骤（法则）：1.对齐：相同数位对齐。2.顺序：从个位乘起。3.逐位计算：用一位数依次乘多位数的每一位。4.处理本位：将所得积的个位写在当前位上。5.判断进位：若积满几十，就向前一位进几。6.关键叠加：计算前一位时，必须加上后一位进上来的数。口诀：“乘加同步，步步为营”。▲书写规范要点：竖式结构工整，进位的“小数字”通常写在横线上方相应数位的右下角，大小适中，清晰可辨。规范的书写是清晰思维的体现。★典型错误辨析：错误类型1：漏加进位数。这是最普遍的错误，源于对算理第二步“加”的忽视。对策：计算时心中默念或轻声说出“几乘几得几，再加几得几”。错误类型2：进位加错数位。如将个位的进位2加到了百位上。对策：明确进位数字应加在紧邻的左侧高位上，书写时对准数位。▲估算辅助验算：在笔算前或后，可用近似数估算结果范围。如36×4，可看作40×4=160或30×4=120，实际结果应在120160之间。这能快速发现明显的计算错误。★从两位数到多位数的迁移：计算方法完全一致。计算三位数乘一位数（如172×4）时，只是将上述步骤在百位上再重复一次。位数越多，需保持的短时记忆信息越多，更需耐心与细致。▲历史方法拓展：“铺地锦”是一种格子乘法，将乘数与被乘数分别写在格子外围，通过对角线相加得到乘积。它直观展示了乘法分配律和进位过程，与竖式算理相通，是体现数学多元文化的生动素材。★核心素养落脚点：本节课主要发展运算能力（正确、熟练、灵活计算）、推理意识（依据规则进行逻辑演算，解释每一步合理性）和严谨求实的科学态度。八、教学反思（一）教学目标达成度分析从预设的当堂巩固练习反馈来看，约85%的学生能独立、正确地完成基础层计算题，表明知识技能目标基本达成。在“小老师”讲解和小组讨论环节，多数学生能使用“乘加”语言描述过程，体现了对算理的理解。情感目标方面，学生在挑战三位数乘法时表现出的跃跃欲试，以及在错例辨析中的认真态度，可见其学习兴趣与严谨意识被有效调动。然而，在综合应用题中，仍有少数学生列式正确但计算失误，说明运算的熟练度与稳定性有待进一步加强，特别是在高认知负荷情境下的应用能力需通过后续练习巩固。（二）核心环节有效性评估“任务二：算理辨析”是本课突破难点的关键环节。通过动态课件将连续进位过程“慢镜头”分解，并结合强烈的正误对比，成功地将学生模糊的、易错的操作感知，提升为清晰的、理性的算理认知。学生在这一环节的眼神是专注而恍然的，“哦，原来十位上这个14是这么来的！”类似的低语反映了认知冲突的解决。任务四的“小老师”讲解，不仅巩固了知识，更营造了积极的课堂氛围，赋予了学生主体感。如果时间允许，可增加一名学生讲解错例，从反面强化印象，效果可能更佳。（三）差异化