运算的艺术与力量：有理数乘除混合运算及其应用

运算的艺术与力量：有理数乘除混合运算及其应用一、教学内容分析  本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生在掌握了有理数乘法、除法单项运算法则基础上的自然延伸与综合应用。从知识图谱看，它处于有理数运算单元的中枢位置：向上，它巩固和深化了符号法则与绝对值的运算；向下，它为后续学习有理数的四则混合运算、实数运算乃至代数式的运算奠定了坚实的程序性基础与规则意识。课标要求不仅限于“能进行简单的有理数乘除混合运算”，更深层次地蕴含着对运算能力、推理能力等核心素养的培养。其过程方法路径体现为：引导学生在具体算式的观察、比较、归纳中，主动建构运算顺序的普遍规则；在运用运算律简化运算的过程中，体会化归与优化的数学思想。其素养价值在于，通过严谨的运算步骤训练，培育学生言必有据、条理清晰的思维品质；通过解决蕴含实际背景的问题，发展数学建模的初步意识，感悟数学运算作为解决现实问题有力工具的价值，实现从“算得对”到“算得巧”的思维进阶。  学情研判需立足于“以学定教”。学生的已有基础是明确了有理数乘、除各自的运算法则，但对于两者交织时的运算顺序、符号的连续处理可能存在混淆，这是本课的关键障碍点。他们的兴趣点可能在于寻找更快捷、更聪明的算法。为此，教学前测可设计包含顺序陷阱和符号辨析的12道简单计算题，通过快速巡批或学生互查，即时诊断普遍性问题。在教学调适上，需采用“小步快走、及时反馈”策略：对于运算顺序不清的学生，提供“回到单项运算”的分解脚手架；对于符号处理易错的学生，强化“先定符号，再算数值”的口诀化程序；对于已掌握基础的学生，则鼓励其探索运算律的应用，追求运算的简洁与优雅，实现分层递进的支持。二、教学目标  知识目标：学生能准确陈述有理数乘除混合运算的运算顺序规则，理解其与小学所学顺序的一致性；能在具体算式中正确识别并执行“从左到右依次计算”或“利用除法化乘法后运用运算律”的路径，最终达成运算结果的准确无误。  能力目标：学生能够灵活选用恰当的策略（按顺序算或简便运算）进行有理数乘除混合运算，并初步具备根据算式结构特征预判简化可能性的能力；能够将运算技能应用于解决简单的、具有实际背景的问题情境中，实现数学知识与现实世界的初步勾连。  情感态度与价值观目标：在探索简便算法的过程中，学生能感受到数学的简洁美与逻辑力量，激发对优化思维的追求；在小组协作解决复杂问题的过程中，表现出倾听他人思路、尊重不同解法的开放态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号意识与运算能力。通过处理连续运算中的符号问题，强化对符号抽象性的理解；通过对比不同算法，经历“观察特征—提出猜想—验证优化”的数学推理过程，提升逻辑思维的严谨性。  评价与元认知目标：引导学生建立运算过程的自我监控习惯，能利用“回头看”（检查顺序、符号、数值）的策略检验结果合理性；鼓励学生在练习后反思：“我刚才用的方法是最优的吗？有没有更快捷的路径？”从而提升学习策略的调控能力。三、教学重点与难点  教学重点确立为“有理数乘除混合运算中运算顺序的确定与执行，以及运算律的合理运用”。其依据源于课标对“运算能力”的核心要求，该能力是初中数学的基石。从学业评价视角看，混合运算的顺序规则是各类考试中考查运算基本功的高频考点，也是学生后续学习更复杂代数运算的逻辑前提。掌握它不仅关乎技能，更关乎数学规则意识的建立。  教学难点在于“在含有分数或复杂符号的乘除混合运算中，灵活、准确地运用运算律进行简便计算”。成因在于：其一，这需要学生克服“按部就班从左往右算”的思维定势，具备较高的算式结构洞察力；其二，将除法统一为乘法后，涉及多个负号的处理与约分技巧的综合运用，对学生的符号敏感性与计算专注度提出挑战。预设依据来自常见作业错误，如忽视改变为乘法后符号的变化、约分不彻底等。突破方向在于设计对比性任务，让学生在亲历“繁琐算法”与“简便算法”的差异中，主动寻求优化策略。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含情境导入动画、阶梯式例题与变式训练题）；实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含“探索区”、“演练场”、“攀登峰”三个板块）；课堂即时反馈卡片（红/黄/绿三色）。2.学生准备2.1知识预习：复习有理数乘法、除法法则及乘法的运算律。2.2学具：课堂练习本、红黑双色笔。3.环境布置3.1座位安排：四人异质小组，便于合作探究与互评。3.2板书记划：左侧主板书呈现运算规则与思想方法流程图，右侧副板书用于展示学生解题过程及典型错例分析。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，想象一下你是登山队的数据记录员。已知山峰海拔1500米，你们从山脚出发，第一段攀登了平均每分钟上升6米，用了25分钟；之后遇到一段下坡，平均每分钟下降4米，用了15分钟。现在我们需要计算整个过程的‘净上升高度’。有同学眉头皱起来了，是不是觉得一步步算有点麻烦？其实，我们可以用一个综合算式来优雅地解决：(6×25)+[(4)×15]。看，这里就出现了乘法，而且是正数与负数的乘法。那么，如果路程更复杂，运算步骤交织在一起，我们该如何高效、准确地处理呢？”1.1明晰路径与联系旧知：“今天，我们就来专研‘有理数的乘除混合运算’。这就像给我们的运算工具箱升级，让它能同时处理‘兄弟俩’——乘法和除法。我们会先从回顾运算的顺序规则开始，然后一起寻找让计算变得更‘聪明’的方法。请大家先回忆，在小学学的乘除混合运算，比如‘12÷3×2’，我们是先算哪一步？”第二、新授环节任务一：规则重建——回顾运算顺序教师活动：首先，板书小学算式“12÷3×2”，提问运算顺序。待学生确认“从左到右”后，将其替换为有理数算式“(12)÷3×(2)”。引发认知冲突：“现在数变成了有理数，多了负号，运算顺序规则会改变吗？谁来勇敢地猜一猜？”接着，引导学生将除法化乘法：(12)×(1/3)×(2)。让学生观察，此时算式变成了几个有理数相乘？顺势提问：“几个有理数相乘的法则是什么？”从而将新问题（乘除混合）转化为已解决问题（连续乘法）。最后，教师总结并板书核心规则：“有理数的乘除混合运算，可以统一成乘法运算，再按几个数相乘的法则处理；也可以严格按照从左到右的顺序依次计算。关键是，顺序规则没有变！”学生活动：回忆并齐答小学运算顺序。观察、思考教师提出的新算式，大胆猜测顺序规则。跟随教师引导，完成除法到乘法的转化。回顾并应用“几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定”的法则进行计算。通过对比，确信运算顺序规则在有理数范围内依然成立。即时评价标准：1.能否清晰、肯定地陈述小学乘除混合运算顺序。2.在算式转化过程中，是否能准确地将除数转化为它的倒数。3.讨论时，能否倾听同伴观点并对“规则是否改变”提出自己的见解。形成知识、思维、方法清单：★核心规则：有理数乘除混合运算的顺序与小学一致，即从左到右依次进行。这是运算的“交通规则”，必须首先明确。★转化思想：遇到除法运算时，可以将其转化为乘以除数的倒数，从而将乘除混合运算转化为纯乘法运算。这是一种重要的化归策略。▲认知提示：“顺序不变”是数学规则普遍性与一致性的体现，减轻了学生的记忆负担，增强了学习信心。任务二：符号探秘——连续运算中的符号确定教师活动：出示计算题：6÷(2)×3。不急于让学生计算，而是提问：“请大家先‘预判’一下，这道题的结果是正数还是负数？说说你的理由。”让持不同意见的学生简要说明。然后引导学生用两种方法实践：方法一，严格从左到右算：6÷(2)=3，3×3=9；方法二，转化乘法：6×(1/2)×3。追问：“在方法二中，有几个负因数？积的符号如何？”引导学生发现，无论哪种方法，本质都是在动态确定每一步或整体的符号。板书强调：“在依次计算时，每一步结果都带有符号；在统一乘法时，关注负因数的总个数。”学生活动：观察算式，尝试进行符号预判，可能产生争议。按照教师引导，用两种方法具体计算，验证自己的预判。思考两种方法在确定符号上的异同，理解符号处理的本质。跟随总结，形成符号确定的双重思路。即时评价标准：1.能否主动尝试对运算结果的符号进行预判。2.在计算过程中，每一步的符号处理是否准确无误。3.能否理解“依次计算确定符号”与“统乘后看负因数个数定符号”之间的内在一致性。形成知识、思维、方法清单：★符号定乾坤：有理数运算的结果由绝对值和符号共同决定。混合运算中，符号的确定贯穿始终。★双重视角：确定符号有两种等效视角：一是过程视角（从左到右，每步结果的符号参与下一步运算）；二是整体视角（转化为乘法后，统计所有负因数的个数）。▲易错警示：学生容易在连续运算中丢失中间步骤的符号，或在化乘后漏数负因数。教学时需强调“步步有据，符号同行”。任务三：化繁为简——运算律的引入与识别教师活动：创设对比情境。出示两组计算：A组：①(48)÷8÷(2)②(48)÷[8×(2)]B组：③(125)×3÷(5)④(125)÷(5)×3“请大家先观察，大胆地猜一猜，这两组中每一对算式的结果会相等吗？然后动笔算一算，验证你的猜想。”学生计算后，引导发现A组相等，B组也相等。追问：“为什么它们会相等？这背后藏着我们学过的什么‘法宝’？”引导学生联系乘法运算律（乘法结合律、交换律）。指出：除法化乘后，这些律同样适用。但更重要的是，直接观察乘除混合算式，我们能否“看出”简便计算的机会？例如B组，125和5是好朋友，先算(125)÷(5)更简便。学生活动：观察算式结构，进行猜想。通过计算验证猜想。在教师引导下，将除法的结合与交换现象与乘法运算律建立联系。尝试总结：在乘除混合运算中，有时可以调整运算顺序使计算简便，但其依据是转化为乘法后运用运算律。即时评价标准：1.能否通过计算发现成对算式结果相等的事实。2.能否将观察到的现象（运算顺序改变结果不变）与已学的乘法运算律主动关联。3.是否开始有意识地在计算前先观察算式结构特征。形成知识、思维、方法清单：★律的延伸：乘法的交换律与结合律，在将除法转化为乘法后，可以应用于乘除混合运算，以达到简化计算的目的。★审题习惯：“计算前，先观察。”这是优化思维的起点。观察算式的数字特点（如互为倒数、可约分、接近整百整千）和运算结构，寻找简便运算的突破口。▲方法提炼：简便运算往往通过合理交换运算顺序或巧妙组合运算项来实现。例如，将能整除或能约分的项优先计算。任务四：巧算实战——分数参与下的综合简化教师活动：出示进阶例题：(2/3)÷4×(9)÷(3/4)。“这道题看起来有点复杂，分数、除法、乘法、负数全在一起。大家别慌，我们把它‘拆解’。第一步，通常怎么做？”（引导化除为乘）板书转化过程：(2/3)×(1/4)×(9)×(4/3)。“现在，它是一个四个有理数相乘的算式。请仔细观察，怎样计算最巧妙？”启发学生发现：(2/3)与(4/3)存在关联吗？(9)与(1/4)呢？鼓励学生尝试不同的组合顺序进行计算，并比较优劣。最后展示最优路径：利用乘法交换律与结合律，将互为倒数的数或可约分的数优先相乘。学生活动：跟随教师引导，将算式统一为乘法形式。仔细观察转化后的乘法算式，寻找数字之间的特殊关系（如倒数关系、可约分关系）。尝试不同的组合方式进行计算，体验“直接按顺序算”与“巧算”在步骤和难度上的差异。总结寻找简便方法的经验。即时评价标准：1.化除为乘的步骤是否准确无误，特别是分数除数的倒数是否正确。2.能否在多个分数相乘的算式中，有效识别出可约分或存在简便运算关系的数字组合。3.在尝试不同算法后，能否理性判断并选择最优计算路径。形成知识、思维、方法清单：★分数运算要点：分数参与乘除运算时，化除为乘后，核心技巧是约分。约分可以极大简化计算。★优化策略：面对多个因数，运用交换律、结合律进行“重新分组”，目标是创造约分条件或凑整。▲思维提升：简便运算是一种目的导向的思维。它要求我们从追求“过程正确”迈向追求“结果高效”，体现了数学的智慧。任务五：回归生活——解决简单实际问题教师活动：呈现问题：“某气象站记录显示，山区某处气温随海拔变化规律约为：每升高100米，气温下降0.6℃。已知山脚气温是5℃，测得山顶气温是1℃。请列式计算这座山的相对高度大约是多少米？”引导学生分析：温差是多少？每100米温差是多少？如何列式？学生可能列出：[5(1)]÷0.6×100。引导学生解释算式中每一步的意义，并完成计算。追问：“这个算式包含了减法、除法、乘法，我们今天学的乘除混合运算在其中扮演了什么角色？你能指出其中的乘除混合部分吗？”学生活动：阅读问题，提取关键信息（初始温度、最终温度、变化率）。分析数量关系，尝试列出综合算式。解释算式的实际意义。执行计算，其中涉及小数的乘除混合运算。思考并回答教师的追问，体会数学运算在解决实际问题中的连贯性。即时评价标准：1.能否从实际问题中正确抽象出数学关系并列出算式。2.在解释算式时，能否清晰说明每一步计算对应的实际含义。3.计算过程中，能否正确处理小数与整数的乘除运算，并注意运算顺序。形成知识、思维、方法清单：★建模初探：将实际问题转化为数学算式，就是简单的数学建模过程。核心是识别已知量、未知量和等量关系。★综合应用：实际问题的算式往往是多种运算的复合。乘除混合运算是其中重要的“组件”，需嵌入到更大的运算逻辑中准确执行。▲素养指向：此任务直接关联“应用意识”，让学生看到冰冷运算规则背后的火热生活应用，理解数学的实用性。第三、当堂巩固训练基础层（全员通关）：1.口答：(15)÷5×(2)的结果是正数还是负数？2.计算：①(0.25)÷(1/4)×(8)；②12×(3)÷(4)。【设计意图：巩固运算顺序和基本符号法则，侧重直接应用。】综合层（多数挑战）：3.用简便方法计算：①(36)×(5)÷12；②(7/8)÷(7/4)×(16)。4.一个长方体的体积是60立方厘米（规定向东为长正，向上为高正，向北为宽正），已知它的高是4厘米，宽是3厘米，求它的长，并解释长的符号意义。【设计意图：在需要观察和选择策略的情境中应用知识，第4题融入几何概念与符号意义理解。】挑战层（学有余力）：5.探究：计算(11/2)÷(1/31/4)×(12)。观察特点，你发现了什么？能否设计一道类似结构的题目？【设计意图：涉及复杂分数运算与规律探索，鼓励创造性。】反馈机制：基础题采用全班核对、手势反馈（举牌：红有疑问，黄不确定，绿全正确）。综合题请不同层次学生板演，教师引导全班进行“找亮点”和“找茬”式互评，聚焦典型错误（如顺序错误、约分遗漏）。挑战题邀请完成的学生分享思路，着重展示其观察和构造的过程。第四、课堂小结知识整合：“同学们，今天我们共同探索了有理数乘除混合运算的天地。谁能用一句话概括我们的核心收获？”引导学生总结出“顺序不变，可化乘，巧用律”。教师可辅以简易思维导图板书：中心“乘除混合运算”，延伸出“顺序规则（左→右）”、“转化策略（除→乘）”、“简化思想（用律、观察）”。方法提炼：“回顾今天的学习过程，我们遇到新问题（混合运算）时，是怎么做的？对，先是‘回归旧知’（小学顺序），然后‘转化化归’（变乘除为纯乘），最后‘追求优化’（巧用运算律）。这条思考路径，在很多数学学习中都有用。”作业布置与延伸：“课后，请大家完成作业单上的分层作业。必做题是巩固我们今天的运算规则。选做题A是一个生活中的小应用，B则是一个有趣的规律探索。另外，提前思考一下：如果加减乘除‘全家福’一起出现，运算顺序又该如何规定呢？我们下节课来揭晓。”六、作业设计1.基础性作业（必做）：(1)教科书对应节次的基础练习题，重点完成涉及乘除混合运算顺序与基本计算的题目。(2)订正本节课学习任务单“演练场”中的错题，并用红笔在旁边写上错误原因。2.拓展性作业（建议大部分学生完成）：设计一道来源于你生活观察或有兴趣领域的有理数乘除混合运算应用题。例如：“我每周的零花钱规划…”、“手机流量使用速率…”。要求写出完整的问题、算式和解答过程。3.探究性/创造性作业（选做）：探索“24点”游戏中的有理数版本。给定四个有理数（可包含分数），如：2,4,1/2,6。尝试运用加、减、乘、除（每个数用一次）使其结果等于24。你能找到几种不同的算式？记录下你的发现。七、本节知识清单及拓展★1.运算顺序铁律：有理数的乘除混合运算，在没有括号指明的情况下，必须严格按照从左到右的顺序依次计算。这一规则与算术中的规定完全一致，是运算的“基本法”。★2.除法转化口诀：“除以一个数，等于乘以这个数的倒数。”这是将乘除混合运算转化为统一乘法运算的关键一步，也是应用运算律简化计算的前提。★3.符号确定双路径：路径一（过程法）：在从左到右的每一步计算中，依据单项乘除法则确定该步结果的符号，并带入下一步。路径二（整体法）：将所有运算转化为乘法后，统计整个算式中负因数的个数。若个数为奇数，则结果为负；若为偶数，则结果为正。▲4.运算律的应用边界：乘法的交换律（a×b=b×a）与结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）可以在统一为乘法后灵活运用，以改变运算顺序，达到简化目的。但需注意，这本质上是乘法运算律的延伸使用。★5.简便运算的序曲：观察。计算前养成先观察算式结构的习惯。重点关注：①是否存在互为倒数的数；②是否有可约分的数字组合；③小数与分数是否能互化以方便计算。观察是选择最优计算策略的起点。▲6.分数运算核心：约分。当算式转化为分数乘法后，约分是简化计算最有效的工具。尽可能在相乘之前进行约分，能大幅降低计算量。★7.步骤书写的规范性：建议初学时清晰写出每一步的转化或计算过程，特别是符号的变化。规范的书写有助于理清思路，便于检查。例如，将“÷”明确改写为“×倒数”。▲8.实际背景中的理解：在解决应用题时，要能将文字叙述中的数量关系（如“单位变化率”、“比例关系”）转化为乘除运算。算式中每一步都应具有实际意义，计算结果的符号也往往对应着实际情境中的方向、盈亏、升降等状态。八、教学反思（一）目标达成度评估  从当堂巩固训练的反馈来看，约85%的学生能独立、准确地完成基础层运算，表明“掌握运算顺序”这一知识目标基本达成。在综合层问题中，约60%的学生能主动尝试寻找简便方法，其中部分学生能清晰表述选择该方法的理由，可见“灵活选用策略”的能力目标在多数学生身上有了初步体现。情感目标通过小组合作中的讨论得以渗透，学生在对比不同算法时表现出的惊叹（“原来这样算更快！”）是情感投入的直观证据。然而，“将运算应用于复杂实际问题”的目标达成度稍弱，部分学生在将文字转化为综合算式时存在障碍，这提示在建模思维的培养上需要更连贯的设计。（二）环节有效性分析  导入环节的生活情境成功引发了学生的兴趣和认知冲突，提出的核心问题贯穿了整个新授过程，导向性明确。“任务一”的规则重建平稳有效，利用学生原有的认知基础，减轻了学习焦虑。“任务二”至“任务四”的梯度设计基本合理，形成了从“巩固规则”到“探究巧法”的思维爬坡。其中，“任务三”的对比猜想环节课堂气氛活跃，是激发学生主动探究的亮点。但“任务五”的实际应用环节时间稍显仓促，部分学生未能充分完成从理解题意到列式的思维过程，若能将此问题前置为导入情境的深化，或单独作为一个小探究环节，效果可能更佳。（三）学生表现与差异化应对  课堂观察显示，学生表现大致分为三层：基础层学生能跟随着完成计算，但在自主观察和