六年级数学上册：列方程解稍复杂百分数问题进阶练习

六年级数学上册：列方程解稍复杂百分数问题进阶练习一、教学内容分析  本课内容位于苏教版小学数学六年级上册“百分数”单元，是学生在掌握了用方程解决简单百分数问题基础上的深化与整合。从课标视角审视，其知识技能图谱的核心在于“应用意识”与“模型思想”的交汇点：学生需从复杂的现实情境中抽象出“部分量1±百分率=部分量2”或“标准量×（1±百分率）=比较量”等核心数量关系，并将其转化为“ax±bx=c”形式的方程予以求解。这一过程上承分数、百分数意义及等量关系寻找的基础，下启更为复杂的综合性问题解决，是发展代数思维与解决实际问题能力的关键节点。过程方法路径上，本课强调“数学建模”的全过程体验，即从情境识别、数学化表征（设未知数、列方程）、求解到解释与检验，引导学生体验将现实世界“翻译”为数学语言并予以解决的系统方法。其素养价值渗透于理性精神与审辩思维的培养，通过解决诸如折扣、成数、增长率等真实问题，学生不仅习得技能，更能体会数学作为分析工具在理解复杂社会经济现象中的力量，从而提升数学应用的信心与社会参与感。  学情诊断需基于两项关键认知前提：一是学生已具备用方程解决简单问题的能力，但对于涉及两个及以上关联运算的复杂关系，其等量关系的识别与抽取仍存困难；二是学生虽熟悉百分数在生活中的表述，但常混淆“单位1”在变化前后的指代，导致列式错误。因此，教学需设计阶梯性任务，通过“可视化”线段图辅助分析、关键句拆解训练等手段，搭建认知桥梁。过程评估将贯穿始终，通过课堂巡视中观察学生列式的思维痕迹、小组讨论中的观点碰撞、以及分层练习的完成情况，动态把握不同层次学生（如：能独立建模者、需图示辅助者、概念混淆者）的学情进展，并即时调整讲解的侧重点与个别辅导策略，确保教学支持精准有效。二、教学目标  知识目标：学生能深度理解“比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”等复杂问题的结构本质，熟练运用线段图等工具分析数量关系，并准确建立形如x±a%x=b或ax±bx=c的方程模型。他们不仅能解释方程每一步的实际意义，还能辨析问题中“单位1”的变化，实现从程序性操作到概念性理解的跨越。  能力目标：学生能够在面对含有折扣、利率、浓度等真实情境的问题时，经历“阅读与理解—分析与画图—寻找与表达等量关系—列方程求解—检验与反思”的完整解题过程。他们能够独立或通过协作，从复杂的文字叙述中筛选关键信息，进行数学化表征，并清晰地表达自己的解题思路，展现结构化的问题解决能力。  情感态度与价值观目标：在解决贴近生活的百分数问题时，学生能感受到数学的工具性与实用性，激发探究兴趣。在小组合作与交流中，能认真倾听同伴的多样化解题策略，尊重不同见解，并愿意分享自己的思考过程，建立起运用数学知识理性分析生活现象的信心与积极态度。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与符号意识。通过将纷繁的实际问题抽象为统一的方程模型，学生将经历“去情境化”与“再情境化”的思维过程。课堂上，我们将通过“你能用一道方程概括这类问题的核心吗？”等任务，引导他们进行模式识别与概括，强化用数学语言刻画现实世界的思维方式。  评价与元认知目标：引导学生建立自我监控的意识。设计环节让学生依据“等量关系是否找准”、“方程是否匹配关系”、“解答是否合乎实际”等标准来评价自己或同伴的解题过程。鼓励他们反思：“我最初卡在哪里？是什么方法帮我突破了瓶颈？”从而提升对自身学习策略的认知与调控能力。三、教学重点与难点  教学重点：准确分析稍复杂百分数实际问题中的数量关系，并据此正确列出方程。其确立依据源于课标对“问题解决”领域的高阶要求，此类问题是考查学生应用意识和模型思想的核心载体，在学业评价中常见且分值较高。掌握此重点，意味着学生打通了算术思维向代数思维过渡的关键通道，为后续学习更复杂的数学问题奠定方法论基础。  教学难点：确定问题中的“单位1”并正确表示与之相关的另一个量，尤其是在涉及“比……增加/减少百分之几”然后“再……”的多步变化情境中。难点成因在于学生的思维需从静态的百分率理解转向动态的数量关系分析，且需克服“见多就加，见少就减”的思维定势。预设依据来自常见作业错误，如将“实际比计划增产20%”错误表示为“计划×(120%)=实际”。突破方向在于强化线段图的规范性使用与关键句的句式变换练习。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：多媒体课件，内含生活化问题情境动画、动态线段图生成演示、分层练习题组。  1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础、进阶、挑战三个层次）、课堂练习纸、小组讨论记录卡。2.学生准备  复习用方程解决简单百分数问题的步骤，准备直尺、铅笔用于画线段图。3.环境预设  黑板划分为“核心模型区”、“例题演示区”与“学生成果展示区”。学生按异质分组就座，便于合作学习。五、教学过程第一、导入环节  1.情境激趣，提出问题：“同学们，请大家看看屏幕上的这个‘购物大冒险’情境：一款心仪的书包，先涨价15%，后来促销又降价15%。你们猜，它最后的价格和原价比，是涨了、降了，还是不变？”（学生众说纷纭）。“感觉有点复杂，对吗？单靠感觉不靠谱，我们需要一个可靠的工具——今天，我们就用‘列方程’这个数学法宝，来拨开这类复杂百分数问题的迷雾，看清数量关系的本质。”  1.1唤醒旧知，明晰路径：“要解决这个‘冒险’，我们先得热身。回想一下，解决百分数问题的关键是什么？（找准单位‘1’）。列方程解决问题的核心步骤又是什么？（找等量关系）。”边回顾边板书：审题→画图（找单位“1”）→找等量关系→设未知数列方程→解方程检验。“今天，我们将特别强化‘画图’和‘找关系’这两个环节，用它们来攻克更复杂的堡垒。”第二、新授环节  本环节通过一系列递进式任务，引导学生主动建构解决复杂百分数问题的策略。任务一：解剖“比一个数多（少）百分之几”的结构教师活动：首先出示基础题例1：“小宇读一本故事书，第一天读了全书的25%，第二天读了全书的35%，还剩80页没读。这本书一共多少页？”教师不急于讲解，而是抛出引导性问题：“同学们，这道题里的‘单位1’是谁？你能试着用线段图把它表示出来吗？请大家在任务单上画一画。”巡视中，重点关注学生是否能用一条线段表示总页数，并合理分段。邀请一位学生上台板演线段图。接着追问：“看着线段图，谁能用不同的方式说说‘剩下的80页’相当于全书的百分之几？”引导学生得出“125%35%”。继续搭建脚手架：“如果设全书为x页，那么第一天读的页数怎么表示？（0.25x）第二天呢？（0.35x）关键的等量关系是什么？谁能根据线段图，用一句话概括？”引导学生说出“总页数第一天读的第二天读的=剩下的页数”，并列出方程x0.25x0.35x=80。“大家看，这个方程左边可以合并吗？合并后是（10.250.35）x，也就是‘剩下部分对应的分率×全书页数=剩下页数’。看，线段图让隐藏的关系一目了然！”学生活动：学生独立阅读题目，尝试在纸上绘制线段图，用图形表征问题。在教师引导下，积极参与讨论，明确将全书总页数设为x。根据线段图，尝试用语言描述数量关系，并列出方程。观察方程合并同类项的过程，理解“ax±bx=c”形式与分率直接对应的联系。即时评价标准：1.绘制的线段图是否清晰标注了“单位1”及各部分分率与数量。2.在寻找等量关系时，表述是否基于线段图，逻辑清晰。3.所列方程是否能准确反映其口头或图示表达的等量关系。形成知识、思维、方法清单：  ★核心数量关系模型：总量（单位“1”）部分量1部分量2=剩余量。其方程形式可表现为xa%xb%x=c，通过合并可简化为[1(a%+b%)]x=c。关键点：合并后括号内的分率之和，必须对应剩余量所占的分率。  ★线段图的核心价值：它不仅是示意图，更是思维的“脚手架”。画图时，务必先确定并画出一条线段代表“单位1”，再根据分率进行分割，并标出已知的具体数量。这是将文字“翻译”成数学关系不可省略的一步。  ▲设未知数的技巧：通常将问题中求的“单位1”设为x，这是列方程的通用起点，能让后续的代数表达最简洁。任务二：逆向思维——“已知结果求原数”教师活动：变换问题，出示例2：“一款手机，先提价10%后，现售价是2200元。这款手机原价是多少元？”提问：“这道题的‘单位1’发生变化了吗？提价10%是相对于谁？”让学生意识到这里的“单位1”是原价。引导学生画线段图：先画原价线段，标为“？元”；再画出现价线段，比原价线段长出一小段，标注“多10%”，整段现价标“2200元”。“好，线段图画好了，现价2200元对应的是原价的百分之几？”（学生答：1+10%=110%）“太棒了！那等量关系可以怎么说？”（原价×(1+10%)=现价）。“来，大家一起说出方程！”（x×(1+0.1)=2200）。强调：“这就是‘已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数’的模型。关键是找准‘1+百分率’这个对应关系。”学生活动：跟随教师引导，绘制表示价格变化的线段图，特别注意区分原价与现价两条线段的关系。通过观察图形，直观理解“现价对应的分率是（1+10%）”。集体参与等量关系的归纳与方程的构建。即时评价标准：1.能否在线段图中正确区分变化前后的量，并标注对应分率。2.能否从“比…多百分之几”的语句中，准确推导出“（1+百分率）”这个关键乘数。3.所列方程是否反映了“标准量×对应分率=比较量”这一乘法关系。形成知识、思维、方法清单：  ★逆向问题模型：已知比一个数多（少）a%的数是b，求这个数。核心等量关系为：这个数×(1±a%)=b。教学提示：这是学生易错点，务必通过线段图强化“对应分率”的理解，避免误用b×(1±a%)来求原数。  ★分率与具体量的对应：这是列方程的“钥匙”。在线段图上，必须明确每一个已知的具体数量对应的是哪个分率段。找到这种一一对应关系，方程自然浮现。  ▲语言转换训练：将“降低了20%”转换为“是原价的80%”；“超额完成15%”转换为“是计划的115%”。这种句式转换能力能极大提升分析效率。任务三：合作探究——含两个独立“单位1”的复杂情境教师活动：呈现更具挑战性的情境：“班级图书角有科技书和故事书共120本，科技书的本数比故事书少20%。两种书各有多少本？”提出问题链：“这道题中有几个‘单位1’？（两个：故事书本数是‘单位1’，科技书本数也与它比较）我们设谁为x比较好？为什么？”引导学生分析，设故事书为x本，则科技书可表示为(120%)x本。“那么，等量关系非常明显，是什么？”（故事书本数+科技书本数=总本数）。让学生以小组为单位，共同完成设未知数、列方程并求解的全过程。巡视指导，关注小组内不同想法的交流，并提醒检验答案是否符合“科技书比故事书少20%”的条件。学生活动：以小组形式展开讨论。分析两个量之间的关系，共同决策设哪个量为x更为简便。协作完成从设未知数、列方程（x+(10.2)x=120）到求解、检验的全过程。小组代表准备分享解题思路和结果。即时评价标准：1.小组讨论是否围绕“如何设元”和“寻找等量关系”有效展开。2.所列方程是否能清晰体现两个量与总和的关系。3.解答后是否主动进行“求差”和“求百分率”的双重检验。形成知识、思维、方法清单：  ★双量关系模型：当问题涉及两个有百分数关系的量及其和（或差）时，通常将作为比较标准的量（即“单位1”）设为x，则另一个量可用含x的式子（如(1±a%)x）表示，再根据“和”或“差”的等量关系列方程。  ★设元策略：遵循“求谁设谁”并非金科玉律，关键在于设哪个量能使另一个量的表达式最简洁。通常设那个作为比较基准的“单位1”为x最直接。  ★双重检验的必要性：解出答案后，不仅要代入方程检验，更要放回原题情境中检验百分数关系是否成立。这是培养严谨思维的习惯。任务四：思维进阶——连续变化问题（“涨价后又降价”）教师活动：回归导入时的悬念问题，但赋予具体数字：“一款书包原价200元，先涨价15%，后来因促销又降价15%。现价是多少元？它和原价相比如何？”首先让学生不列方程，凭直觉或分步计算尝试。学生会发现现价并非200元。教师追问：“如果我不知道原价，只知道先涨a%，再降a%，现价一定比原价低吗？为什么？”引导学生用代数思维进行一般化证明：设原价为x，则现价为x×(1+a%)×(1a%)=x×[1(a%)²]。由于(a%)²>0，所以现价一定低于原价。“瞧，列方程不仅能算具体数，还能帮我们发现普遍的数学规律！”学生活动：先尝试分步计算解决具体问题，发现结果与直觉可能不同。在教师引导下，尝试用字母表示原价和变化率，列式计算现价的一般表达式。通过观察代数式x×[1(a%)²]，理解“先涨后降同样百分比，现价必低于原价”的数学原理，感受代数推理的力量。即时评价标准：1.能否将连续两次变化的百分数问题，用连贯的乘法算式表示。2.能否从具体的数字计算过渡到抽象的字母表示。3.能否从最终的代数式中解读出一般性结论。形成知识、思维、方法清单：  ▲连续变化模型：对于连续两次百分率变化（无论增减），关键是认清每次变化的“单位1”是不同的。模型为：最终量=初始量×(1±变化率1)×(1±变化率2)。易错警示：绝不能将两次变化率直接相加或相减。  ▲代数概括的魅力：当用字母代替具体数字，我们就能超越特例，发现事物背后不变的规律。这是数学从“术”走向“道”的重要一步。  ★数学与直觉：数学是检验直觉的利器。许多生活经验（如先涨后降同样比例）需要数学推理来验证或修正，这正体现了数学学习的价值。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，实施差异化巩固。  基础层（全体必做）：  1.果园里有苹果树和梨树共150棵，其中苹果树占60%。苹果树和梨树各有多少棵？（旨在巩固单一“单位1”的基础模型）  2.一件商品打八折后售价是160元，原价多少元？（巩固逆向求原价问题）  综合层（大多数学生完成）：  3.某工厂上月用水540吨，本月开展节约活动，比上月节约了10%。本月用水多少吨？若本月用水486吨，是比上月节约了百分之几？（一题两问，正向与逆向结合，并需辨别“单位1”）  4.饲养场养鸡和鸭共2400只，其中鸡的只数比鸭多40%。鸡和鸭各有多少只？（双量关系模型的应用）  挑战层（学有余力选做）：  5.小华将一笔钱存入银行，年利率为3%，到期后连本带息共取出2060元（不计利息税）。他存入了多少钱？若他将这笔钱购买一款年化收益率为4%的理财产品，一年后收益相差多少？（联系金融常识，综合利率计算）  反馈机制：学生独立完成后，首先开展小组内互评，重点对照“是否画图”、“等量关系是否找对”、“方程列式是否规范”进行交流。教师巡视，收集共性问题和优秀解法。随后进行集中讲评，展示一份有典型错误（如混淆“单位1”）的解题过程，让全班学生“当医生”诊断；同时展示一份优秀解答，强调其规范的线段图和清晰的等量关系表述。对挑战题，请有思路的学生简要分享其思考过程。第四、课堂小结  “同学们，今天的‘数学探险’即将结束，我们来一起绘制一份‘思维地图’。”引导学生共同回顾：1.知识整合：“我们今天解决了几类问题？它们的核心方程模型分别是什么？”（师生共同完善板书上的“核心模型区”）。2.方法提炼：“回顾整个过程，你认为解决这类复杂百分数问题的‘法宝’是什么？”（引导学生总结出：一画线段图明关系；二找“单位1”定标准；三抓等量关系列方程；四检验答案要全面）。3.作业布置与延伸：“课后，请大家完成作业单上的分层任务。基础题是我们必须掌握的‘基本功’；拓展题邀请大家当一回‘家庭财务小顾问’，算算家里的某项消费折扣；挑战题则是一个关于种群增长的有趣模型，供有兴趣的同学钻研。下节课，我们将利用这些工具，尝试解决更综合的‘工程与百分数’问题。”六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.解方程：x30%x=14；(1+15%)x=92。  2.一套《百科全书》现价打七五折出售是180元。这套书原价多少元？  3.某校六年级有男生120人，女生人数比男生少10%。六年级一共有学生多少人？  拓展性作业（建议完成）：  4.【情境应用】“双十一”期间，某网店推出“满300减50”的优惠券，同时某商品还可叠加“店铺九五折”。妈妈看中一件原价450元的衣服，她最终需要支付多少钱？相当于打了几折？（请用方程思维分析其中的数量关系）  探究性/创造性作业（选做）：  5.【数学探究】查阅资料，了解“复利”的概念。假设本金为P元，年利率为r，存期为n年，复利计息下的本息和公式为A=P(1+r)^n。请尝试用这个公式解释：为什么长期投资中，复利效应被称为“世界第八大奇迹”？并计算：10000元本金，按年利率5%复利计算，10年后的本息和是多少？（可使用计算器）七、本节知识清单及拓展  ★核心数量关系模型一（总量与部分）：总量（单位“1”）部分量1部分量2=剩余量。方程形式：xa%xb%x=c或[1(a%+b%)]x=c。关键：明确各分率之和与剩余分率的对应。  ★核心数量关系模型二（已知比较量求标准量）：标准量×(1±百分率)=比较量。方程形式：x×(1±a%)=b。关键：准确判断是“多百分之几”用“+”，还是“少百分之几”用“”。  ★核心数量关系模型三（和差问题中的百分数）：A量+B量=总和，其中B量=A量×(1±百分率)。方程形式：x+(1±a%)x=总和。关键：设作为比较基准的A量（单位“1”）为x。  ★线段图分析法：解决百分数应用题的灵魂步骤。规范步骤：1.确定并画出一条线段代表“单位1”；2.根据条件分割线段，并标注各部分对应的分率；3.在相应线段段上标注已知的具体数量；4.找出未知量（通常设为x）的位置。  ★设未知数策略：通用原则是设题目所求的量为x。但在涉及两个量比较时，优先设那个作为比较基准的“单位1”为x，可使另一个量的表达式更简洁，降低列方程难度。  ▲连续变化问题：经历两次或多次百分率变化。核心：每次变化的基数（单位“1”）都不同。公式：终值=初值×(1±变率1)×(1±变率2)×…。典型误区：误将变率直接相加。  ★检验的双重性：1.方程检验：将解代入原方程，看左右是否相等。2.情境检验：将解代入原题条件，验算百分数关系是否成立。后者常被忽略但至关重要。  ▲百分率与分数、小数的互化熟练度：75%=3/4=0.75。快速、准确的互化是保证解题速度和正确率的基本功，需在日常加强记忆与练习。  ▲生活概念与数学概念的对接：“打折”即“按原价的百分之几十出售”；“成数”如“三成”即30%；“增长率”、“亏损率”等都对应特定的百分数计算模型。理解这些术语的数学本质是应用的前提。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析从课堂反馈与巩固练习情况看，大部分学生能掌握三类核心问题的方程模型，并能规范使用线段图辅助分析，知识目标基本达成。能力目标上，学生在任务三的小组合作与任务四的探究中表现出良好的信息筛选与模型构建意识，但在将复杂生活情境（如拓展作业中的叠加折扣）快速转化为纯数学问题时，部分学生仍显迟疑，这表明“数学化”能力需持续培养。情感目标在课堂活跃的讨论氛围中得到积极体现，学生对“先涨后降”问题的兴趣浓厚。  （二）教学环节有效性评估导入环节的悬念创设成功激发了认知冲突，有效驱动了整堂课的学习。“任务驱动式”新授环节结构清晰，梯度合理。任务一与任务二的“教师引导示范”与任务三的“学生合作探究”衔接自然，脚手架逐步拆除。其中，线段图作为贯穿始终的思维工具，其价值得到充分发挥，学生从“要我画”逐渐变为“我要画”。巩固环节的分层设计照顾了差异，但课堂时间有限，对挑战题的深度讨论略显不足。小结环节引导学生自主梳理模型与方法，促进了知识的结构化。  （三）学生表现的深度剖析课堂中，学生大致呈现三层状态：约30%的“领先者”能迅速抽象模型，并乐于探索如任务四般的规律性问题，他们需要更具挑战性的任务以防思维停滞；约60%的“跟进者”在脚手架支持下能顺利掌握核心方法，他们是课堂的主体，其巩固效果直