六年级数学下册：行程问题之相遇模型探究与应用

六年级数学下册：行程问题之相遇模型探究与应用一、教学内容分析  本课教学内容隶属于苏教版小学数学六年级下册“解决问题的策略”及总复习延伸板块，核心在于“相遇问题”这一典型数量关系模型的深度建构与应用。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角解构，本课处于“数与代数”领域中“数量关系”主题的高阶阶段。知识技能图谱上，它是对“速度、时间、路程”三者关系（S=v×t）的综合性应用与深化，是学生从单一对象的运动分析迈向多对象互动关系分析的认知跃迁点，为后续学习追及问题、环形路线问题及更复杂的工程问题奠定了关键的模型基础。过程方法路径上，本课是渗透“数学建模”思想的绝佳载体。教学需引导学生经历“从现实生活情境中抽象出数学问题—用图表（线段图）表征数量关系—归纳提炼基本等量关系（速度和×相遇时间=总路程）—应用模型解决变式问题”的完整建模过程，培养将复杂现实情境转化为可操作数学模型的抽象能力与符号意识。素养价值渗透方面，通过合作探究解决相遇问题，旨在发展学生的几何直观（利用线段图清晰表征运动过程）、模型观念（从具体问题中抽象出普遍适用的数学模型）和应用意识（运用模型解决真实或模拟的实际问题），并在此过程中锻炼逻辑推理和有序思考的能力，体会数学建模在解决实际问题中的威力和简洁美。  学情诊断与对策方面，六年级学生已牢固掌握速度、时间、路程的基本公式，具备初步的方程思想和画线段图分析简单问题的经验。然而，已有基础与障碍并存：学生在理解“速度和”这一核心概念、准确绘制多对象运动过程的线段图、以及处理“相遇前后继续行驶”、“中点相遇”等变式情境时，常存在认知困难，容易混淆个体路程与总路程的关系。部分学生倾向于机械套用公式，对模型本质理解不深。为此，过程评估设计将贯穿课堂：通过导入环节的开放式提问、新授环节的探究任务单完成情况、小组讨论中的观点陈述以及随堂练习的即时反馈，动态诊断学生对“同时出发、相向而行、相遇”等关键条件的理解深度及模型应用水平。教学调适策略将体现差异化：对于基础薄弱的学生，提供带提示步骤的线段图模板和基础公式卡片作为“脚手架”；对于大多数学生，引导其自主探究并总结模型；对于学有余力的学生，则挑战其解决涉及速度比、提前出发或多次相遇的复杂变式，并鼓励用不同策略（算术、方程、比例）解题，促进思维灵活性。二、教学目标  知识目标：学生能深刻理解“相遇问题”的基本要素（同时、相向、相遇），精准说出并推导“路程和=速度和×相遇时间”这一核心等量关系。他们不仅能直接应用该公式解决标准型相遇问题，还能辨析与“追及问题”在模型结构上的本质区别，从而在行程问题的知识网络中清晰地定位相遇模型。  能力目标：学生能够独立、规范地绘制描述两人（或两物）相向运动直至相遇过程的线段图，并利用线段图直观地分析、标注已知量与未知量，建立等量关系。在面对“相距一段距离后出发”、“一方先行”等变式情境时，能通过改造线段图，将其有效转化为基本相遇模型进行求解，展现出灵活的问题转化与建模能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究任务中，学生能积极参与讨论，乐于分享自己的作图思路和解题策略，认真倾听同伴的不同见解。通过解决与生活实际紧密相连的行程问题，体验到数学的工具价值，增强学习数学的兴趣和运用数学自信解决实际问题的意愿。  科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的模型建构思维和数形结合思想。学生将经历从具体情境中剥离非数学信息、抽象出关键数量关系、并用图形（线段图）和符号（公式）进行表征与概括的完整思维过程。他们将学会把“相遇”这一动态过程“定格”为静态的线段图进行分析，这是将几何直观服务于代数推理的典型思维训练。  评价与元认知目标：在课堂小结环节，学生将尝试使用如“关键条件是否标全”、“线段图与题意是否一致”、“等量关系建立是否正确”等简要量规，对同伴或自己的解题过程进行评价。同时，引导学生反思在解决变式问题时，自己是如何想到对基本模型进行调整的，从而提升对自身解题策略的监控与调控能力。三、教学重点与难点  教学重点：构建并理解“相遇问题”的基本数学模型——路程和=速度和×相遇时间。其确立依据在于，该等量关系是解决所有相遇类问题的理论基石，它深刻揭示了两个对象在相向运动过程中，空间距离缩小的内在规律。从课程标准看，它属于“数量关系”大概念下的核心规律；从小升初考试命题趋势分析，该模型是高频考点，更是解决复杂行程问题的逻辑起点，后续的追及、环形相遇等问题均可视为该模型的变式或组合。  教学难点：准确理解“速度和”的概念内涵，并能灵活运用线段图分析和解决非标准型的相遇问题（如：总路程非全程、出发时间不同步）。预设依据源于学情：首先，“速度和”是一个复合量，学生容易将其与单个速度混淆，理解其表示“单位时间内两者共同缩短的距离”需要空间想象和抽象概括。其次，面对变式情境，学生常因无法有效处理“时间不同步”或“路程分段”而思维受阻，这要求他们具备较强的信息转化与模型迁移能力。突破方向在于强化线段图的工具作用，通过对比不同变式的线段图，引导学生发现化归为基本模型的通用思路。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件，内含动态演示两人相向而行直至相遇的动画、标准及变式例题、课堂练习题。1.2学习材料：分层探究任务单（A基础型/B拓展型）、课堂巩固练习卷、小组讨论记录卡。2.学生准备2.1课前预习：复习速度、时间、路程的关系式，尝试用线段图表示一个简单的行程问题。2.2学具：直尺、铅笔、不同颜色的彩笔（用于画图区分）。3.环境布置3.1座位安排：提前将学生分为46人异质小组，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节  1.情境激趣，提出问题：“同学们，想象一下，你的两位朋友分别从学校的东门和西门同时出发，相向而行，准备在校内汇合。你能算出他们多久后相遇吗？需要知道哪些信息？”（等待学生回答：两人的速度和两门之间的距离。）“非常好！这就是我们今天要深入探究的经典问题——相遇问题。”  1.1动态演示，聚焦核心：在白板上播放一段两人从两地同时相向而行直至相遇的动画。“请大家仔细观察，在相遇的这一刻，两人走过的路程和与原来两地的距离有什么关系？”（学生齐答：相等。）“眼光很锐利！这个‘路程和等于总路程’就是我们分析的突破口。”  1.2唤醒旧知，明确路径：“要研究路程、速度、时间，我们得请出我们的老朋友——线段图。本节课，我们将化身‘行程分析师’，通过画线段图来拆解各种相遇情境，最终找到解决这类问题的通用‘法宝’。准备好了吗？我们的探究之旅正式开始！”第二、新授环节任务一：激活旧知，初绘模型教师活动：教师呈现基础例题1：“甲、乙两车从相距540千米的A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度是80千米/时，乙车速度是100千米/时。几小时后相遇？”首先，引导学生提取关键信息：“同时”、“相向”、“相遇”、“540千米”。接着，教师示范如何用线段图表征：先画一条线段表示总路程540千米，两端标上A、B。提问：“如何用线段表示甲、乙的运动过程？它们从哪里开始，向哪个方向？”引导学生理解可用从两端向中间画的箭头线段表示，相遇点标在中间某处。随后，带领学生在线段图上分段标注甲的路程（甲速×时间）和乙的路程（乙速×时间），并强调两者之和等于总路程。学生活动：学生跟随教师引导，口述关键条件。在教师示范时，同步在任务单上模仿绘制线段图。尝试用自己的语言解释图中每一部分的含义，并与同桌互相检查标注是否完整、清晰。即时评价标准：1.能否完整复述题目中的“同时”、“相向”等关键条件。2.绘制的线段图是否结构正确，箭头方向是否相对。3.能否在线段图上正确标注出已知的总路程和未知的相遇时间对应的路程段。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：标准的“相遇问题”包含三个核心要素：同时出发、相向（相对）而行、途中相遇。缺一不可，这是判断是否适用相遇模型的前提。▲方法工具：线段图是分析数量关系的可视化利器。画图时，先确定“总路程”这条基准线，再用不同颜色或标注从两端向中间表示运动，能直观体现“路程和”。（提示：养成边读题边画图的习惯！）任务二：合作探究，归纳公式教师活动：教师提出驱动性问题：“根据这个线段图，我们能找出甲路程、乙路程、总路程以及甲速度、乙速度、相遇时间之间的数量关系吗？请大家以小组为单位，利用任务单上的线段图，一起推导。”巡视各组，给予提示：“甲路程怎么表示？乙路程呢？它们加起来等于什么？”对于提前完成的小组，抛出拓展思考：“如果已知相遇时间和总路程，能求出什么？（速度和）这个速度和有什么实际意义？”学生活动：小组展开讨论。学生甲可能负责写出甲路程=80×时间，学生乙写出乙路程=100×时间。组长协调大家将两个式子相加，得到（80+100）×时间=540。各组派代表上台板书推导过程，并解释“速度和”的意义：“它表示每小时甲和乙一共走的路程，也就是他们之间的距离每小时缩短了多少。”即时评价标准：1.小组推导过程是否逻辑清晰，数学表达是否准确。2.对“速度和”意义的解释是否到位，能否结合线段图说明。3.小组内部成员参与度如何，是否每个人都有贡献。形成知识、思维、方法清单：★核心模型：相遇问题的基本等量关系：(甲速度+乙速度)×相遇时间=总路程，即速度和×相遇时间=路程和。这是解决所有相遇问题的“万能钥匙”。★概念深化：“速度和”是一个复合量，代表两个运动物体在单位时间内共同推进的距离之和，它决定了距离缩短的快慢。（教学提示：通过动画演示单位时间内距离的缩短，强化理解。）任务三：变式初探，理解“路程和”教师活动：教师呈现变式例题2：“A、B两地相距600千米。甲车从A地，乙车从B地同时出发相向而行。3小时后，两车还相距120千米。已知甲车速度是90千米/时，求乙车速度。”提问：“这次‘相遇’了吗？线段图该怎么画？”引导学生发现，此时两车行驶的“路程和”不再是全程600千米，而是（600120）千米。鼓励学生独立绘制线段图，并比较与例题1线段图的异同。“看，虽然没完全相遇，但‘路程和’（共同走的路）依然是清晰可求的，模型还适用吗？”学生活动：学生独立思考并画图。部分学生可能initially困惑，通过对比和教师引导，能画出两段未连接的线段，中间空出120千米。学生列式：（90+乙速）×3=600120。他们意识到，“路程和”不一定等于总距离，而是“实际共同覆盖的距离”。即时评价标准：1.绘制的线段图是否能准确反映“还相距120千米”的状态。2.能否正确计算出实际的路程和。3.列方程时，是否依然基于“速度和×时间=路程和”的结构。形成知识、思维、方法清单：▲易错点与关键：准确理解“路程和”是应用模型的核心。它不一定等于题目给出的全程，而是指从出发到所考察时刻为止，两物体实际共同行驶的里程总和。审题时必须明确“是否相遇”、“相距多远”。★思维方法：对比与转化。通过对比变式与标准模型的线段图，发现本质未变，只是“路程和”的具体数值发生了变化，从而学会将非标准情境转化为基本模型处理。任务四：综合应用，模型内化教师活动：出示一道需要稍作分析的题目：“小张和小王在环形跑道上跑步。跑道一圈400米，他们从同一地点反向出发（相向）。小张速度是5米/秒，小王速度是3米/秒。多久后第一次相遇？”提问：“这是相遇问题吗？总路程是多少？”引发认知冲突后，借助动态图示或实物演示，帮助学生理解“环形跑道反向出发”的本质是相遇问题，总路程就是一圈的长度。“看，相遇模型的应用范围很广，关键在于识别‘相向’和确定‘路程和’。”学生活动：学生经历短暂的思考，在教师点拨后恍然大悟。迅速画出环形示意图并“剪开拉直”成线段图，理解总路程为400米。列式解答：（5+3）×时间=400。部分学生可能直接说出答案：“50秒！”教师追问过程以巩固思维。即时评价标准：1.能否识别出环形跑道反向而行属于“相向而行”的变式。2.能否理解并确定此情境下的“路程和”是一圈的长度。3.解题过程是否完整、规范。形成知识、思维、方法清单：▲应用拓展：相遇模型不仅适用于直线上两点间的运动，也适用于环形跑道反向（相向）而行的情况。此时，“总路程”即环形跑道的周长。★核心素养：此任务强化了模型观念和几何直观。学生需要将环形空间关系转化为线性模型，体现了数学的抽象与转化之美。任务五：分层挑战，思维进阶（供学有余力小组）教师活动：为B组（拓展组）提供挑战任务：“如果甲、乙不是同时出发，比如甲先出发1小时后乙才出发，然后相向而行直至相遇，线段图该如何调整？模型公式需要怎么变？”教师提供提示卡：“甲先走的路程是单独的，剩余路程才是两人同时相向而行的。”巡视并指导，鼓励用方程解决。学生活动：B组学生合作研讨。他们尝试画图：先画一段表示甲单独1小时的路程，剩下的路程再用两个箭头表示相向而行。他们推导模型：总路程=甲先走的路程+(甲速+乙速)×共同行驶时间。积极尝试列方程求解示例题目。即时评价标准：1.线段图能否清晰区分“先行阶段”和“相向阶段”。2.能否正确分段表示路程并建立复合的等量关系。3.小组是否展现出解决问题的韧性和创造性。形成知识、思维、方法清单：▲高阶模型：对于出发时间不同的相遇问题，核心思想是“分段处理”。总路程可以分解为：先行者单独行驶的路程+两者共同行驶的路程和。解题时，常设相遇时间为未知数，利用总路程不变来列方程。（提示：这是小升初的常见拉分点，重在理解分段思想。）第三、当堂巩固训练  设计分层练习题，学生独立完成，教师巡视，针对性指导。  基础层（全体必做）：1.直接应用公式题。如：两地相距300千米，两车速度分别为60km/h和40km/h，同时相向出发，求相遇时间。“请大家先画图，再列式，确保每一步都有依据。”  综合层（大部分学生完成）：2.变式情境题。如：例题2的类型（未完全相遇）。3.已知相遇时间和一速，求另一速或总路程的逆用题目。“注意，已知‘速度和’与时间，可以反推路程。灵活运用公式的各个变形。”  挑战层（学有余力选做）：4.稍微复杂的变式，如涉及速度比或需要间接求速度的题目。“这道题有点‘绕’，需要大家把题目中的文字信息，一步一步翻译成线段图和数学等式。看看谁的速度快又准！”  反馈机制：完成后，同桌交换，利用PPT出示的答案和简要步骤进行互评。教师选取具有代表性的正确解法及典型错误（如忘记“同时”、路程和计算错误）进行集中评讲。展示一份优秀线段图作业，强调其规范性。第四、课堂小结  知识整合：教师引导学生一起回顾：“今天我们收获了哪些‘法宝’？”学生总结：1.相遇问题的三要素。2.核心公式：速度和×相遇时间=路程和。3.关键工具：线段图。鼓励学生尝试用思维导图的形式在笔记本上整理本节课的核心内容。  方法提炼：“我们是如何获得这些知识的？”引导学生回顾“实际问题—画图分析—发现关系—总结模型—应用解题”的探究路径，强调建模思想和数形结合的重要性。  作业布置：“今天的作业是分层套餐：必做部分是《练习册》基础题，巩固我们的‘法宝’；选做部分是一道‘中点相遇’的趣味题，挑战一下你的分析能力。下节课，我们将带着相遇模型的经验，去探索它的‘兄弟’——追及问题。”六、作业设计1.基础性作业（必做）  （1）完成课本相关练习题，要求每题必须配以规范的线段图。  （2）整理并默写相遇问题的基本公式及三种变形（求时间、求速度和、求单个速度）。2.拓展性作业（建议完成）  （3）解决一个情境化的相遇问题：例如，结合本地两个车站之间的距离和公交车的平均速度，设计一个双车同时相向发车，计算相遇站点的实际问题。  （4）对比相遇问题与已学的“工程问题”（合作完成一项工作），找出两者在数学模型上的共通之处，写一份简短的发现报告（一两句话即可）。3.探究性/创造性作业（选做）  （5）探究“多次相遇问题”：在直线两端，甲乙两人持续往返运动，计算第N次相遇的地点或时间。可以通过画图寻找规律。  （6）创作一个包含相遇问题情节的数学小故事或漫画，并将解题过程融入其中。七、本节知识清单及拓展  ★1.相遇问题核心三要素：同时出发、相向（相对）而行、途中相遇。这是判断能否使用相遇模型的“试金石”。  ★2.基本等量关系（模型）：路程和=速度和×相遇时间。公式变形：相遇时间=路程和÷速度和；速度和=路程和÷相遇时间。  ★3.关键概念“速度和”：指两个物体在单位时间内共同移动的距离，数值上等于两速度之和，直观反映了距离缩短的快慢。  ★4.核心工具“线段图”绘制规范：一画（总线段定路程），二标（端点定地点），三析（箭头示方向，分段表路程），四找（标注已知未知，明确等量关系）。  ▲5.“路程和”的灵活理解：它不一定等于两地初始距离。若未完全相遇，路程和=初始距离最终相距距离；若超过，则需具体分析。审题是关键。  ▲6.环形跑道反向相遇：本质是相遇问题，总路程（路程和）为跑道一圈的周长。  ▲7.出发时间不同的处理策略：采用“分段分析法”。总路程=先行者单独路程+两者共同行驶的路程和。通常设相遇时间为未知数列方程求解。  ▲8.相遇问题与方程思想：相遇模型天然适合用方程解决。设未知数（常设时间为x），根据“路程和”的等量关系列方程，是解决复杂变式的通法。  ★9.易错点提醒：混淆“路程和”与单个路程；忽略“同时”或“相向”条件；画线段图时比例严重失调导致分析困难。  ▲10.学科思想方法小结：本节深刻体现了数学建模（从实际到模型）、数形结合（线段图辅助分析）、转化与化归（变式化为标准）三大思想方法。八、教学反思  （一）目标达成度分析：从课堂练习反馈和小组汇报来看，大多数学生能够准确说出相遇模型的三要素和基本公式，并能利用线段图解决标准问题，知识目标基本达成。能力目标方面，约80%的学生能独立绘制规范线段图，但在处理变式问题时，约30%的学生仍需教师或同伴提示才能完成转化，这表明模型应用能力的分化较为明显。情感与思维目标在小组探究环节表现积极，学生乐于讨论和分享，“速度和”意义的探讨环节有效地引发了学生的深度思考。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的动态动画迅速抓住了学生注意力，提出的核心问题贯穿全课，效果良好。新授环节的五个任务层层递进，逻辑线清晰。任务二（合作探究公式）是课堂的高潮和枢纽，小组讨论充分，但时间把控需更精准，个别小组陷入细节争论。任务五（分层挑战）为学优生提供了“思维饥饿”时的“营养加餐”，但如何让这部分资源惠及更多学生，值得设计分享环节。巩固训练的分层设计满足了不同需求，互评环节提升了学生的评价意识。  （三）学生表现深度剖析：基础较弱的学生（A层）在画图模仿和公式记忆上表现稳固，但在面对任务三（变式）时表